Основні теореми диференціального числення (Ферма, Лагранжа, Коші, Роля)

Т.1.(Ферма):

Нехай y=f(x) – ф-ція визначена в деякому і значення  max із всіх які ф-ція приймає в цьому околі. Тоді, якщо ф-ція диф. в т.  то .

Дов. Нех.в т. х₀ ф-ція набирає мах значення тобто   (1)

Поск.  то  і (2)

              (3)

              (4)

Із 2)-4) одержимо  і .

Як наслідок цієї теореми одержується наступна теорема

Т.2. (Ролля)

Нех. y=f(x) і диф. на (a,b). Якщо f(a)=f(b) то .

Дов. Оск. f(x) , то за ІІ т. Вейєрштрасса тут $  і  : ,

Можливі два варіанти :

1)  тоді f(x)=const на [a,b], тоді , і в якості с буде " точка з [a,b] .

2) m<M тоді хоча б одна із точок  не співпадатиме з точками a і b (інакше обидві ці точки співпадали б із кінцями і згідно умови теореми , а значить M=m).

Нех.  Þ :  min значення ф-ції в цьому околі тоді за т. Ферма, врахувавши що в т.  ф-ція диф. на всьому інтервалі. Будемо мати .

Т.3. (Лагранжа)

Нехай y=f(x)  і диф. на (a,b) тоді

Дов. Розгл. ф-цію  покажемо що F(x) задовольняє умовам т. Ролля :

1.

2. F(x) диф. на інтервалі (a,b).

3.

4.

Отже, F(x) задовольняє умовам т. Ролля значить  маємо  підставивши замість х b і врахувавши що  , зразу одержимо потрібну рівність.

Т.4. (Коші)

Нехай y=f(x) i y=g(x) ф-ції і диф. на (a,b) причому  , тоді :

Дов. Розгл. ф-цію

Вона здовільняє умовам т. Ролля:

1.

2. F(x) диф. на (a,b).

3.

4.

 підставивши замість x с і врахувавши що  будемо мати .

***25. Властивості функцій Неперервних на відрізку

     (І – ІІ теореми Вейєрштрасса)

1. Озн. Нех. ф-ція y=f(x) задана на проміжку (a,b) т.  якщо  то ф-ція f(x) наз.неперервною в т.  

Нехай маємо y=f(x) на множині Е,  і в будь-якому лівому пів околі цієї точки є безліч ел-тів множини Е. тоді можна говорити про  f(x) неперервна в точці  зліва. Аналогічно вводиться означення неперервності справа.

Т.1. (1-а Вейєрштрасса)

Якщо ф-ція y=f(x) , то вона обмежена на ньому.

Дов. Те що ф-ція f(x) обмежена на [a,b] означає, що

 (1)

МВС: Прип., що f(x) необмежена. Тоді будемо мати  (2)

Звідси матимемо що для ( в якості с береться n )  (3)

Із (3) одержимо деяку  всі елементи якої належать [a,b]. А значить  обмежена. Тому за т. Больцано-Веєрштрасса $ збіжна підпослідовність  тобто

Оск.

То за теоремами про граничний перехід в нерівностях одержимо, що  тому з умови т. матимемо що f(x) . Тому за озн. Гейне неперервності ф-ції матимемо, що . А раз ця посл. збіжна, то обмежена. Тобто  обмежена (4).

З (3) Þ  (5), оск.  взята із озн. посл., то  значить як Þ із (5)  є НВП, а значить необмеженою, що протирічить (4). Припущення невірне.

 

Т.2. (2-а Вейєрштрасса)

Якщо f(x) , то

А значить  і  найб. і найм. значення цієї ф-ції на [a,b] . Тут відрізок не може замін. інтервалом чи півінтервалом.

Дов.

 Позначимо  Прип. що нема такого  , щоб . Матимемо

Розгл. .  і  на [a,b]. Звідси за Т.1.

Це озн., що  нижня межа мн. значень ф-ції f(x), яка більша за m, яка є найбільшою з нижніх меж . Протиріччя! Значить є таке  на  в цій частині Т.2. доведена.

Інша частина доводиться аналогічно.

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: