Интервалы случайных величин

Интервалы	х1 – х2	х2 – х3	х3 – х4	…	x k– xk–1
Вероятности	р1*	р2*	р3*	…	p k*

 

Затем выбирают теоретическую функцию F(x) и делают предположение, что случайная величинаc² распределена по закону F(х). По известной функции F(х) определяют теоретические вероятности р _i попадания случайной величины в соответствующие интервалы. Эти вероятности находятпо формуле:

 

 

Далее по формуле (3.9) определяют расхождение между эмпирической и теоретической функциями распределения, при этом коэффициент с _iпринимают равным .

При таком выборе коэффициентов с _i, законов распределения меры расхождения, U практически не зависит от вида выбранной теоретической функции распределения F(х) и от числа опытов n и приближается к распределению c².

При указанном выборе коэффициентов с _i мера расхождения c² равна:

 

Учитывая, что  приведенное выражение можно представить в виде:

 

Как следует из данного выражения, распределениеc²зависит от параметра, называемого числом степеней свободы. Число степеней свободы r равно числу интервалов k, минус число независимых условий, накладываемых на значения .

Примером таких условий чаще всего является требование:

 

 

а также требование совпадения параметров теоретического распределения и соответствующих параметров эмпирического распределения, например, требование равенства среднего значения случайной величины х математическому ожиданию теоретического распределения F(х):

 

Использование критерия c² позволяет оценить, насколько хорошо выбранная теоретическая функция распределения описывает экспериментальные данные. Действительно, в этом случае по полученному значению меры расхождения определяют вероятность того, что за счет случайных причин расхождение между теоретическим и эмпирическим значениями распределения не меньше, чем получившееся в данной серии опытов. Если эта вероятность столь мала, что такое событие ( ³ u) можно считать маловероятным, то делают вывод, что статистические данные противоречат гипотезе о том, что случайная величина х распределена по закону F(х), т. е. гипотеза отбрасывается как неправдоподобная.

Для определения вероятности расхождения между эмпирическим и теоретическим значениями распределения составлены таблицы распределения c².

Пользуясь данными таблиц, по известным значениям критерия c² и известному числу степеней свободы определяют вероятность р события

Число степеней свободы равно количеству разрядов, минус число наложенных связей s:

r= k– s.

Вопрос о выборе граничного значения вероятности р, при которой гипотеза принимается как правдоподобная, решается в каждом конкретном случае. При практическом применении критерия c² рекомендуется следующее.

Рекомендуется проверить эксперимент или повторить его, если вероятность р оказывается меньше чем 0, 1. Если повторение дает тот же результат, то считается, что принятый закон F(x) не пригоден для описания изучаемых статистических данных.

Следует отметить, что успешное применение критерия c²  возможно только при наличии достаточно обширного статистического материала (число наблюдений n должно составлять несколько сотен). Кроме того, число экспериментальных данных внутри каждого интервала должно быть не менее 5–10. Если окажется, что в некоторых интервалах число экспериментальных данных незначительно, то рекомендуется объединять соседние интервалы.

 

Пример3.8. Экспериментальные данные (табл. 3.8), представленные в предыдущем примере, были выровнены нормальным законом распределения следующим образом:

 

Проверить согласованность выбранного закона распределения с экспериментальными данными.

Решение. Определить число степеней свободы как разность количества интервалов (в нашем случае 10) и числа наложенных связей (в нашем случае три):

 

Следовательно, r = 10 – 3 = 7.

Для определения χ ² необходимо знать теоретические вероятности р _i попадания нормально распределенной случайной величины в заданные интервалы:

где a_i+1 и a_i – границы i-го интервала.

Например, для 1-го интервала a₁ = 14 мкв, a₂ = 16 мкв.

Следовательно,

 

Также вычисляются теоретические вероятности попадания в остальные интервалы. Дальнейшие расчеты удобно производить в определенной последовательности, по данным табл. 3.10.

По полученному значению c² = 4, 57 при числе степени свободы r = 7 определяем, что величина расхождения с вероятностью не менее 0, 7 возникла вследствие случайных причин.

Таблица 3.10

⇐ Предыдущая9101112131415161718Следующая ⇒

Поделиться: