Результаты испытания времени безотказной работы

Номер интервала	Границы интервала, ч	Число значений времени безотказной работы, попавших в i-й интервал	Pi*
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14	0–20 20–40 40–60 60–80 80–100 100–120 120–140 140–160 160–180 180–200 200 – 220 220 – 240 240 – 260 Более 260	38 32 26 25 18 15 12 11 7 5 5 3 2 1	0, 19 0, 16 0, 13 0, 125 0, 09 0, 075 0, 06 0, 055 0, 035 0, 025 0, 025 0, 015 0, 01 0, 005

Решение. На основании статистических данных строим гистограмму распределения времени безотказной работы (рис. 3.7).

По внешнему виду гистограммы можно предположить, что время безотказной работы испытываемых устройств подчиняется экспоненциальному закону, плотность вероятности которого описывается выражением

 

,

т. е. характеризуется одним параметром ,

где Т₀ – математическое ожидание времени безотказной работы.

 

Вычислим значение среднего времени безотказной работы:

 

 

 

Предполагая экспоненциальный закон распределения, получим

 а функция плотности распределения вероятности безотказной работы испытываемых элементовблизка к экспоненциальному закону вида  (рис. 3.7).

 

 

Рис. 3.7. Гистограмма распределения времени безотказной работы

0.15

0

0.10 10

0.05

404

808

120

160

200

240

t, ч

Таким образом, экспериментальное распределение можно описать при помощи одного из теоретических распределений. Однако, как бы ни подбиралась теоретическая кривая ƒ (t), описывающая экспериментальные данные, теоретическое распределение неточно совпадает с экспериментальным: между ними неизбежны некоторые расхождения. Необходимо решить, случайны ли расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями, тоесть вызваны ли они ограниченным объемом экспериментальных данных или являются существенными, то есть выбранное теоретическое распределение неадекватно для описания данных статистического материала.

Если эмпирическую функцию распределения изучаемой случайной величины х обозначить через F ^*(x), а выбранную теоретическую функцию распределения – через F(х), то поставленную задачу можно сформулировать следующим образом: на основе экспериментальных данных проверить предположение о том, что изучаемая случайная величина х имеет закон распределения F(х).

Поставленная задача разрешается при помощи так называемых критериев согласия и заключается в следующем. Поскольку между эмпирической функцией распределения F *(х)и теоретической функцией распределения F(х) существует расхождение, вводят некоторую величину U, характеризующую это расхождение. При этом величина U может быть выбрана по-разному. Например, в качестве меры расхождения может быть выбрана максимальная величина расхождения между эмпирической и теоретической функциями распределения. Как бы ни была выбрана мера расхождения, она всегда является случайной величиной и должна подчиняться присущему ей закону распределения.

Если закон распределения этой случайной величины и ее конкретное значение известны, то можно определить вероятность того, что мера расхождения за счет случайных причин, примет значение большее, чем получено по результатам статистических данных, т. е. можно вычислить вероятность события U ≥ u.

Если полученное значение вероятности очень мало, то гипотезу о том, что случайная величина х имеет функцию распределения F(х), следует отвергнуть, как не подтверждаемую статистическими данными. И наоборот, если полученная вероятность значительна, то следует признать, что статистические данные не противоречат предположению, что случайная величина х распределена по закону F(х).

Рациональным выбором меры расхождения можно добиться того, что ее закон распределения при достаточно большом числе опытов п практически не будет зависеть от вида теоретической функции F(х). Таким свойством обладает критерий согласия χ ² Пирсона. В качестве меры расхождения между эмпирическим и теоретическим распределением в данном случае выбирается сумма квадратов разностей между эмпирическим и теоретическим значениями вероятности попадания случайной величины в заданный интервал:

где p^*_i – эмпирическая вероятность попадания случайной величины в ί -й интервал; p_i – теоретическая вероятность попадания случайной величины в этот интервал; n – количество опытов.

Критерий χ ² Пирсона рекомендуется применять следующим образом. Если имеется п независимых наблюдений над изучаемой случайной величиной, то их представляют в виде табл. 2.9, где указаны интервалы значений случайной величины и статистические вероятности попадания в эти интервалы, которые определяются как

где m_i – число экспериментальных данных, попавших в i-й интервал. Число экспериментальных данныхm_iв каждой группе вариационного ряда должно быть не менее пяти. Если это условие не выполняется, соседние группы объединяют до его выполнения.

Таблица 3.9

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Поделиться: