ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ)

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ)

I СЕМЕСТР

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА С ЭЛЕМЕНТАМИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ.

Вектор. Основные понятия.

Очень часто для построения экономических моделей требуется простая и i = 1, 2, . . . n. компактная форма записи сложных экономических процессов. С этой целью будущим экономистам необходимо знать основные понятия и положения такого раздела математики как матричная алгебра. При изложении материала мы будем опираться на понятия и теоремы школьного курса элементарной математики. Например, определения вещественных (действительных) чисел, декартовой системы координат, отображения, точки, прямой, длины отрезка.

Понятие вектора известно из школьного курса математики, но вспомним основные факты, связанные с ним.

Если про две точки известно, какая из них первая, а какая – вторая, то эту пару точек назовем упорядоченной.

Определение. Отрезок, концы которого упорядочены, называется направленным отрезком или вектором. Первый из его концов называется началом, а второй – концом вектора.

Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Нулевой вектор обозначается . Длина его равна нулю, а направление – любое.

Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых.

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору, так как он не имеет определенного направления.

Определение. Для каждого ненулевого вектора вводится понятие противоположного вектора - , который коллинеарен данному, имеет такую же длину, но направлен в противоположную сторону.

Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.

Если компланарные векторы привести к одному началу, то они будут лежать в одной плоскости.

В любой системе координат вектор полностью определяется своими координатами: . Например, пусть в прямоугольной декартовой системе координат OXYZ координаты начала и конца вектора соответственно A(x₁, y₁, z₁) и B(x_2, y₂, z₂). Тогда координатами этого вектора будут являться его проекции на соответствующие координатные оси и определяются они формулами:

Очевидно, что длина вектора определяется по формуле: .

Линейные операторы.

Рассмотрим два линейных пространства: Rⁿ размерности n и R^m размерности m.

Определение. Если задан закон (правило), по которому каждому вектору Х пространства Rⁿставится в соответствие единственный вектор Y пространства R^m , то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) А(Х) и записывают Y = A( X).

Оператор (преобразование) называется линейным, если для любых векторов X иY пространства Rⁿ и любого числа a выполняются соотношения:

1.A( X+ Y) = A( X)+ A( Y) – свойство аддитивности оператора;

2. A ( a X) = a A( X) – свойство однородности оператора.

Вектор Y = A( X) называется образом вектора Х, а сам вектор Х – прообразом вектора Y.

Если пространства Rⁿ и R^m совпадают, то оператор А отображает пространство Rⁿ в себя. Именно такие операторы мы и будем рассматривать в дальнейшем.

Линейный оператор полностью определяется своими значениями на базисных векторах. В самом деле. пусть в n- мерном линейном пространстве с базисом e₁, e₂, . . . e_n задано линейное преобразование А. Тогда векторы А( e₁), А( e₂), . . . , А( e_n)- также векторы этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса:

А (e₁)= a₁₁e₁+ a₂₁ e₂+…+ a_n1 e_n

А (e₂)= a₁₂ e₁+ a₂₂ e₂+…+ a_n2 e_n

……………………………….

А (e_n)= a_n1 e₁+ a_n2 e₂+…+ a_nn e_n

Тогда таблица (матрица) n´n А = называется матрицей линейного преобразования А.

Таким образом, каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе. И наоборот, каждой матрице размерности n´n соответствует линейный оператор n- мерного пространства.

Операции над матрицами.

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что, они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, можно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц A и B одинаковых размеров m´n является матрица С = А + В того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов исходных матриц, т.е.: c_ij = a_ij ± b_ij, i = 1,2, … , m; j = 1,2,…, n.

Определение. Произведением матрицы А на число a называется матрица В = aА, элементы которой b_ij = a a_ij, i = 1,2, … , m; j = 1,2,…, n.

Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В.

2А = , 2А + В = .

Определение: Произведением матриц А_m_´_k×B_k_´_n называется такая матрица С_m_´_n, каждый элемент которой c_ij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В: , i = 1,2, … , m; j = 1,2,…, n.

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Пример. Вычислить произведение А×В, где

А= ; В = .

Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами (это следует из определения этих операций)

Свойства операции над матрицами.

1) А + В = В + А;

2) (А + В) + С = А + (В + С);

3) a(А + В) = aА + aВ;

4) А×(В + С) = А×В + А×С;

5) (А + В)×С = А×С + В×С;

I. a(А ×В) = (aА)В = А(aВ);

7) (АВ)С = А(ВС).

Однако имеются и специфические свойства матриц. Так, операция умножения матриц имеет некоторые отличия от умножения чисел:

I. Если произведение матриц АВ существует, то после перестановки сомножителей произведение матриц ВА может и не существовать. Действительно, в примере, приведенном выше, получили произведение матриц А₂_´3×B₃_´3= С₂_´3, а произведение В₃_´3×А₂_´3 не существует.

II. Если даже произведения АВ и ВА существует, то они могу быть матрицами разных размеров. Например, А₂_´3×B₃_´2= С₂_´2 , а В₃_´2×А₂_´3= D₃_´3.

III. Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА даже если определены оба произведения и обе матрицы одинакового размера (это возможно только при умножении квадратных матриц А и В одинакового порядка).

Пример. Найти произведения АВ и ВА, где

А = , В = .

Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными (коммутирующими между собой).

Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой квадратной матрицей того же порядка:

А×Е = Е×А = А

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

A×O = O; O×A = O,

где О – нулевая матрица.

IV. Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. из того, что АВ = 0, не следует, что А=0 или В=0. Например, А= , B= , но АВ = = 0.

V. Важным частным случаем произведения матриц является произведение квадратной матрицы А_n_´_n на вектор-столбец Х = :

А×Х = × = = x₁ + x₂ + . . . + x_n , т.е. вектор А×Х является линейной комбинацией столбцов матрицы А с коэффициентами x_i.

Аналогично при умножении матрицы А на вектор-строку(слева) ХА мы получаем вектор-строку, являющийся линейной комбинацией строк матрицы А с коэффициентами x_i.

Рассмотрим еще одну операцию – транспонирование матрицы

Определение. Транспонирование матрицы – переход от матрицы А к матрице А^Т, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица А^Т называется транспонированной относительно матрицы А:

А = ; А^Т= ;

Из определения следует, что если матрица А имеет размер m´n, то транспонированная матрица А^Т имеет размер n´m.

Свойства операции транспонирования:

1) (А^Т)^Т = А;

2) (kA)^T = kA^T;

3) (A + B)^T = A^T + B^T;

4) (АВ)^Т= В^ТА^Т.

Пример. Даны матрицы А = , В = , С = и число a = 2. Найти А^ТВ+aС.

A^T = ; A^TB = × = = ;

aC = ; А^ТВ+aС = + = .

Обратная матрица.

Для каждого числа а ¹0 существует обратное число а^-1 такое, что произведение а ×а^-1=1. Для квадратных матриц вводится аналогичное понятие.

Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,

где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А^-1.

Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица является квадратной того же порядка.

Однако, не каждая квадратная матрица имеет обратную. Если условие а ¹0 является необходимым и достаточным для существования числа а^-1, то для существования матрицы А^-1 таким условием является требование DA¹0.

Определение. Квадратная матрица n-го порядка называется невырожденной (неособенной), если ее определитель DA¹0.

Если же DA=0, то матрица А называется вырожденной (особенной).

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Если квадратная матрица неособенная (т.е. ее определитель не равен нулю), то для нее существует единственная обратная матрица.

Доказательство.

I. Необходимость. Пусть матрица А имеет обратную А^-1, т.е. АА^-1= А^-1А=Е. По свойству 3 определителей (§11) имеем D(АА^-1)= D(А^-1) D(А)= D(Е)=1, т.е. DA¹0 и DA^-1¹0.

I I. Достаточность. Пусть квадратная матрица А неособенная, т.е. DA¹0. Напишем транспонированную матрицу А^Т:

А^Т = .

В этой матрице каждый элемент заменим его алгебраическим дополнением, получим матрицу:

А^* = .

Матрица А^* называется присоединенной матрицей к матрице А.

Найдем произведение АА^* (и А^*А):

АА^* = ,

Где диагональные элементы = DA,

=DA,

=DA.(формуле 11.1 §11)

А все остальные недиагональные элементы матрицы АА^* равны нулю по свойству 10 §11, например:

и т.д. Следовательно,

АА^* = или АА^* = DA = DA×Е.

Аналогично доказывается, что А^*А = DA×Е.

Разделив оба полученных равенства на DA, получим: . Отсюда, по определению обратной матрицы, следует существование обратной матрицы

, т.к. АА^-1=А^-1А=Е.

Существование обратной матрицы доказано. Докажем единственность. Предположим, что существует еще другая обратная матрица F для матрицы А, тогда AF = E и FA = E. Умножив обе части первого равенства на А^-1 слева, а второго на А^-1 справа, получим: А^-1AF = А^-1E и FA А^-1 = E А^-1, откуда EF = А^-1E и FE = E А^-1. Следовательно, F = А^-1. Единственность доказана.

Пример. Дана матрица А = , найти А^-1.

DA = 4 - 6 = -2.

А₁₁=4; А₁₂= -3; А₂₁= -2; А₂₂=1

Таким образом, А^*= А^-1= = .

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

Находим определитель исходной матрицы. Если DA =0, то матрица А-вырожденная и обратная матрица А^-1 не существует. Если DA ¹0, то матрица А-невырожденная и обратная матрица А^-1 существует.
Находим алгебраические дополнения элементов исходной матрицы А _ij и составляем из них присоединенную матрицу А^*, записывая алгебраические дополнения элементов строки в столбец.
Вычисляем обратную матрицу по формуле: .
Проверить правильность вычисления обратной матрицы

Свойства обратных матриц.

1) (A^-1)^-1 = A;

2) (AB)^-1 = B^-1A^-1

3) (A^T)^-1 = (A^-1)^T.

Окружность.

Определение. Окружностью называется множество всех точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии, называемом радиусом, от фиксированной точки, называемой центром окружности.

Выведем уравнение окружности радиуса R с центром в точке С(х₀, у₀). Для любой точки М(х, у) окружности имеем СМ = R или СМ² = R². Отсюда и получаем уравнение окружности:

(х — х₀)² + (у — у₀)² = = R². (3.1)

Если центр окружности расположен в начале координат, т.е. х₀ – 0, у₀= 0, то уравнение окружности имеет простейший вид и называется каноническим:

x² + y² = R². (3.2)

Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде:

2x² + 2y² – 8x + 5y – 4 = 0.

Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к виду, указанному выше в п.9. Для этого выделим полные квадраты:

x² + y² – 4x + 2,5y – 2 = 0

x² – 4x + 4 –4 + y² + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2)² + (y + 5/4)² – 25/16 – 6 = 0

(x – 2)² + (y + 5/4)² = 121/16

Отсюда находим О(2; -5/4); R = 11/4.

Эллипс.

Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

r₁

r₂

F₁ O F₂ х

F₁, F₂ – фокусы. F₁ = (-c; 0); F₂(c; 0)

Для любой точки М(х, у) эллипса расстояния до фокусов есть

По определению эллипса r₁ + r₂ = 2a

После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:

Если а = с, то последнее уравнение дает у = 0 — уравнение отрезка [F₁, F₂]. Если же а > с, то, обозначив а²- с²= b²(а < с < b) и разделив на а² b², получим каноническое уравнение эллипса

, (3.3)

при этом а² - с² = b².

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

b – малая полуось.

Согласно этому уравнению, эллипс симметричен относительно осей координат. Положительные числа a, b называются большой и малой полуосями эллипса.

Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.

е = с/a. (3.4)

Т.к. с < a, то е < 1.

При е = 0 имеем: а = b, с = 0 и эллипс превращается в окружность радиуса а. При е = 1 имеем: а = с, b = 0 и эллипс вырождается в отрезок [F_1, F₂].

Если для точки М(х₁, у₁) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если , то точка находится вне эллипса.

Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны соотношения:

r₁ = a – ex, r₂ = a + ex.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением:

1) Координаты нижней вершины: x = 0; y² = 16; y = -4.

2) Координаты левого фокуса: c² = a² – b² = 25 – 16 = 9; c = 3; F₂(-3; 0).

3) Уравнение прямой, проходящей через две точки:

Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F₁(0; 0), F₂(1; 1), большая ось равна 2.

Уравнение эллипса имеет вид: . Расстояние между фокусами:

2c = , таким образом, a² – b² = c² = ½

по условию 2а = 2, следовательно а = 1, b =

Итого: .

Гипербола.

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

M(x, y)

r₁

r₂

F₁ a F₂

По определению ïr₁ – r₂ï= 2a. F₁, F₂ – фокусы гиперболы. F₁ F₂ = 2 c.

Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда:

обозначим с² – а² = b² (геометрически эта величина – меньшая полуось)

(3.5)

Получили каноническое уравнение гиперболы.

Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.

Ось 2а называется действительной осью гиперболы.

Ось 2b называется мнимой осью гиперболы.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых (3.6)

Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

С учетом того, что с² – а² = b²:

Если а = b, e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

Пример. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса .

Для эллипса: c² = a² – b².

Для гиперболы: c² = a² + b².

Уравнение гиперболы: .

Пример. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением

Находим фокусное расстояние c² = 25 – 9 = 16.

Для гиперболы: c² = a² + b² = 16, e = c/ a = 2; c = 2 a; c² = 4a²; a² = 4;

b² = 16 – 4 = 12.

Итого: - искомое уравнение гиперболы.

Парабола.

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.

А М(х, у)

О F x

p/2 p/2

Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.

Из геометрических соотношений: AM = MF; AM = x + p/2;

MF² = y² + (x – p/2)²

(x + p/2)² = y² + (x – p/2)²

x² +xp + p²/4 = y² + x² – xp + p²/4

y² = 2px (3.7)

Уравнение директрисы: x = - p/2, координаты фокуса F( p/2;0), центр параболы находится в начале координат. Ось симметрии – ось Ох, ветви параболы направлены в положительном направлении оси Ох (вправо).

Пучок лучей с источником, расположенном в фокусе, после отражения от параболы обратится в параллельный пучок лучей. На этом принципе построены параболические зеркальные антены.

В зависимости от выбора положения точки начала отсчета и осей координат относительно фокуса и директрисы можно получить еще три канонических уравнения параболы:

y² = -2 px: координаты фокуса F(- p/2;0), центр параболы находится в начале координат. Ось симметрии – ось Ох, ветви параболы направлены в отрицательном направлении оси Ох (влево).

х² = 2 pу: координаты фокуса F(0; p/2), центр параболы находится в начале координат. Ось симметрии – ось Оу, ветви параболы направлены в положительном направлении оси Оу (вверх).

х² = -2 pу: координаты фокуса F(0;- p/2), центр параболы находится в начале координат. Ось симметрии – ось Оу, ветви параболы направлены в отрицательном направлении оси Оу (вниз).

Однако чаще приходится иметь дело с обычным уравнением параболы, известным из школы:

y = ax²+ bx + c (3.8), где a, b,c – параметры параболы. Графики при различных значениях этих параметров:

a < 0

O X

O X

a > 0

Обычно для построения графика параболы используют несколько ключевых моментов: корни, ось симметрии, вершина параболы, куда (вверх или вниз) направлены ветви параболы и т.п. Предполагается, что нахождение этих ключевых моментов из уравнения параболы

Пример. На параболе у² = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.

Из уравнения параболы получаем, что р = 4.

r = x + p/2 = 4; следовательно:

x = 2; y² = 16; y = ±4. Искомые точки: M₁(2; 4), M₂(2; -4).

Системы координат.

Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощи различных координатных систем, выбор которых определяется различными факторами.

Способ задания начальных условий для решения какой – либо конкретной практической задачи может определить выбор той или иной системы координат. Для удобства проведения вычислений часто предпочтительнее использовать системы координат, отличные от декартовой прямоугольной системы. Кроме того, наглядность представления окончательного ответа зачастую тоже сильно зависит от выбора системы координат.

Рассмотрим так называемую полярную систему координат; она весьма удобна и используется довольно часто.

Полярная система координат.

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из точки луча l, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, какие повороты вокруг точки О считаются положительными. Обычно считают положительными повороты против часовой стрелки.

Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью.

Суть задания какой- либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел, определяющих положение этой точки на плоскости. В случае полярной системы координат роль этих чисел играют расстояние точки от полюса и угол между полярной осью и радиус– вектором этой точки. Этот угол j называется полярным углом.

r =

Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ох.

Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах координат связываются соотношениями:

x = rcos j ; y = rsin j ; x² + y² = r²

Пример. Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид:

. Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат, определит тип кривой, найти фокусы и эксцентриситет. Схематично построить кривую.

Воспользуемся связью декартовой прямоугольной и полярной системы координат: ;

Получили каноническое уравнение эллипса. Из уравнения видно, что центр эллипса сдвинут вдоль оси Ох на 1/2 вправо, большая полуось a равна 3/2, меньшая полуось b равна , половина расстояния между фокусами равно с = = 1/2. Эксцентриситет равен е = с/ a = 1/3. Фокусы F₁(0; 0) и F₂(1; 0).

F₁ F₂

-1 0 ½ 1 2 x

Пример. Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид:

Подставим в заданное уравнение формулы, связывающие полярную и декартову прямоугольную системы координат.

Получили каноническое уравнение гиперболы. Из уравнения видно, что гипербола сдвинута вдоль оси Ох на 5 влево, большая полуось а равна 4, меньшая полуось b равна 3, откуда получаем c² = a² + b² ; c = 5; e = c/a = 5/4.

Фокусы F₁(-10; 0), F₂(0; 0).

Построим график этой гиперболы.

F₁ -9 -5 -1 0 F₂ x

-3

Плоскость в пространстве.

Пусть Р – произвольная плоскость в пространстве. Точка М₀( x₀, y₀, z₀) Î Р. Вектор = (A,B,C) –ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости Р (нормальный вектор плоскости)

Необходимо получить уравнение плоскости.

Решение.

Для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, составим вектор . Т.к. вектор - вектор нормали, то он перпендикулярен плоскости, а, следовательно, перпендикулярен и вектору . Тогда скалярное произведение

× = 0

Таким образом, получаем уравнение плоскости

(5.1)

Уравнение (5.1) называют уравнением плоскости, проходящей через заданную точку.

Легко показать, что уравнение (5.1) приводится к виду:

Ax + By + Cz + D = 0 – уравнение 1-ой степени относительно переменных координат х, у, z ( D = - Ax₀ – By₀ – Cz₀).

Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:

Ax + By + Cz + D = 0, (5.2)

где А, В, С – координаты вектора - вектор нормали к плоскости.

Рассмотрим особенности расположения плоскости в тех случаях, когда те или иные коэффициенты уравнения (5.2) обращаются в нуль.

Частные случаи общего уравнения плоскости:

D = 0: Ax + By + Cz = 0– уравнение плоскости, проходящей через начало координат
А = 0: By + Cz + D = 0 – уравнение плоскости, параллельной оси ОХ, т.к. нормальный вектор = (0,B,C) – перпендикулярен оси ОХ (его проекция на ось ОХ равна нулю). Аналогично при

В = 0: Ax + Cz + D = 0 – плоскость параллельна оси Оу
С = 0: Ax + By + D = 0– плоскость параллельна оси Оz

А = D = 0: By + Cz = 0 – уравнение плоскости, проходящей через ось Ох, поскольку она параллельна оси Ох (А=0) и проходит через начало координат (D=0). Аналогично при

В = D = 0: Ax + Cz = 0 – плоскость проходит через ось Оу
С = D = 0: Ax + By = 0 – плоскость проходит через ось Oz

А = В = 0: Cz + D = 0– уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости хОу, поскольку она параллельна осям Ох (А=0) и Оy (В=0). Аналогично:

А = С = 0: By + D = 0 – уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости хОz
В = С = 0: Ax + D = 0 – уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости yOz.

А = В = D = 0 : Cz = 0 (z = 0 ) – уравнение координатной плоскости хОу, т.к. она параллельна плоскости хОу (А = В = 0) и проходит через начало координат (D=0). Аналогично при

А = С = D = 0: By = 0 (y = 0) – плоскость совпадает с плоскостью xOz
В = С = D = 0: Ax = 0 (x = 0)– плоскость совпадает с плоскостью yOz

Плоскостей.

На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Условие перпендикулярности плоскостей: Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:

. (5.10)

Условие параллельности плоскостей: Плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы коллинеарный: ïï .

Это условие выполняется, если: (5.11)

Направляющему вектору.

Возьмем произвольную прямую и вектор (m, n, p), параллельный данной прямой. Вектор называется направляющим вектором прямой.

На прямой возьмем две произвольные точки М₀( x₀, y₀, z₀) и M( x, y, z).

M₁

M₀

0 y

Обозначим радиус- векторы этих точек как и , очевидно, что - = .

Т.к. векторы и коллинеарны, то верно соотношение = t, где t – некоторый параметр.

Итого, можно записать: = + t. (5.12)

Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение (5.12) – параметрическое уравнение прямой.

Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме:

(5.13)

Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические уравнения прямой в пространстве:

. (5.14)

Определение. Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора , которые могут быть вычислены по формулам:

; . (5.15)

Отсюда получим: m : n : p = cosa : cosb : cosg.

Числа m, n, p называются угловыми коэффициентами прямой. Т.к. - ненулевой вектор, то m, n и p не могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители.

Через две точки.

Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M₁( x₁, y₁, z₁) и M₂( x₂, y₂, z₂), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой:

Кроме того, для точки М₁ можно записать:

Решая совместно эти уравнения, получим:

. (5.16)

Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.

Системами координат.

Аналогично полярной системе координат на плоскости можно записать соотношения, связывающие между собой различные системы координат в пространстве. Для цилиндрической и декартовой прямоугольной систем эти соотношения имеют вид:

h = z; x = rcosq; y = rsinq; cosq = ; sinq = .

Декартовой прямоугольной.

В случае сферической системы координат соотношения имеют вид:

§6. Линейные преобразования.

Определение: Будем считать, что в линейном пространстве L задано некоторое линейное преобразование А, если любому элементу Î L по некоторому правилу ставится в соответствие элемент А Î L.

Определение: Преобразование А называется линейным, если для любых векторов Î L и Î L и любого a верно:

A( + ) = A +A

A(a ) = aA

Определение: Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует элемент линейного пространства сам в себя.

Е =

Пример. Является ли А линейным преобразованием. А = + ; ¹ 0.

Запишем преобразование А для какого- либо элемента . А = +

Проверим, выполняется ли правило операции сложения для этого преобразования А( + ) = + + ; A( ) + A( ) = + + + , что верно только при = 0, т.е. данное преобразование А нелинейное.

Определение: Если в пространстве L имеются векторы линейного преобразования , то другой вектор является линейной комбинацией векторов .

Определение: Если только при a = b = … = l = 0, то векторы называются линейно независимыми.

Определение: Если в линейном пространстве L есть n линейно независимых векторов и любые n + 1 векторов линейно зависимы, то пространство L называется n-мерным, а совокупность линейно независимых векторов называется базисом линейного пространства L.

Следствие: Любой вектор линейного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса.

Пусть в n- мерном линейном пространстве с базисом , ,…, задано линейное преобразование А. Тогда векторы А ,А ,…,А - также векторы этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса:

A = a₁₁ + a₂₁ +…+ a_n1

A = a₁₂ + a₂₂ +…+ a_n2

……………………………….

A = a_n₁ + a_n₂ +…+ a_nn

Тогда матрица А = называется матрицей линейного преобразования А.

Если в пространстве L взять вектор = x₁ + x₂ +…+ x_n , то A Î L.

, где

……………………………..

Эти равенства можно назвать линейным преобразованием в базисе , ,…, .

В матричном виде:

, А× ,

Пример. Найти матрицу линейного преобразования, заданного в виде:

x¢ = x + y

y¢ = y + z

z¢ = z + x

x¢ = 1×x + 1×y + 0×z

y¢ = 0×x + 1×y + 1×z

z¢ = 1×x + 0×y + 1×z

A =

На практике действия над линейными преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами.

Определение: Если вектор переводится в вектор линейным преобразованием с матрицей А, а вектор в вектор линейным преобразованием с матрицей В, то последовательное применение этих преобразований равносильно линейному преобразованию, переводящему вектор в вектор (оно называется произведением составляющих преобразований).

С = В×А

Пример. Задано линейное преобразование А, переводящее вектор в вектор и линейное преобразование В, переводящее вектор в вектор . Найти матрицу линейного преобразования, переводящего вектор в вектор .

С = В×А

Т.е.

Примечание: Если ïАï= 0, то преобразование вырожденное, т.е., например, плоскость преобразуется не в целую плоскость, а в прямую.

§7. Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования.

Определение: Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число l, что выполняется равенство:

A (7.1)

При этом число l называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору .

Перенеся правую часть (7.1) в левую и принимая во внимание соотношение , перепишем (7.1) в виде

(7.2)

Уравнение (7.2) эквивалентно системе линейных однородных уравнений:

(7.3)

Для существования ненулевого решения системы линейных однородных уравнений (7.3) необходимо и достаточно, чтобы определитель коэффициентов этой системы равнялся нулю, т.е.

|A-λE|= (7.4)

Этот определитель является многочленом n-ой степени относительно λ и называется характеристическим многочленом линейного преобразования А, а уравнение (7.4) - характеристическим уравнением матрицы А.

Определение: Если линейное преобразование А в некотором базисе , ,…, имеет матрицу А = , то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни l₁, l₂, … ,l_n характеристического уравнения:

Рассмотрим частный случай. Пусть А – некоторое линейное преобразование плоскости, матрица которого равна . Тогда преобразование А может быть задано формулами:

;

в некотором базисе .

Если преобразование А имеет собственный вектор с собственным значением l, то А .

или

Т.к. собственный вектор ненулевой, то х₁ и х₂ не равны нулю одновременно. Т.к. данная система однородна, то для того, чтобы она имела нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю. В противном случае по правилу Крамера система имеет единственное решение – нулевое, что невозможно.

Полученное уравнение является характеристическим уравнением линейного преобразования А.

Таким образом, можно найти собственный вектор (х₁, х₂) линейного преобразования А с собственным значением l, где l - корень характеристического уравнения, а х₁ и х₂ – корни системы уравнений при подстановке в нее значения l.

Понятно, что если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то линейное преобразование А не имеет собственных векторов.

Следует отметить, что если - собственный вектор преобразования А, то и любой вектор ему коллинеарный – тоже собственный с тем же самым собственным значением l.

Действительно, . Если учесть, что векторы имеют одно начало, то эти векторы образуют так называемое собственное направление или собственную прямую.

Т.к. характеристическое уравнение может иметь два различных действительных корня l₁ и l₂, то в этом случае при подстановке их в систему уравнений получим бесконечное количество решений. (Т.к. уравнения линейно зависимы). Это множество решений определяет две собственные прямые.

Если характеристическое уравнение имеет два равных корня l₁ = l₂ = l, то либо имеется лишь одна собственная прямая, либо, если при подстановке в систему она превращается в систему вида: . Эта система удовлетворяет любым значениям х₁ и х₂. Тогда все векторы будут собственными, и такое преобразование называется преобразованием подобия.

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

Запишем линейное преобразование в виде:

Составим характеристическое уравнение:

l² - 8l + 7 = 0;

Корни характеристического уравнения: l₁ = 7; l₂ = 1;

Для корня l₁ = 7:

Из системы получается зависимость: x₁ – 2 x₂ = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: ( t; 0,5 t) где t- параметр.

Для корня l₂ = 1:

Из системы получается зависимость: x₁ + x₂ = 0. Собственные векторы для второго корня характеристического уравнения имеют координаты: ( t; - t) где t- параметр.

Полученные собственные векторы можно записать в виде:

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

Запишем линейное преобразование в виде:

Составим характеристическое уравнение:

l² - 4l + 4 = 0;

Корни характеристического уравнения: l₁ = l₂ = 2;

Получаем:

Из системы получается зависимость: x₁ – x₂ = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: ( t; t) где t- параметр.

Собственный вектор можно записать: .

Рассмотрим другой частный случай. Если - собственный вектор линейного преобразования А, заданного в трехмерном линейном пространстве, а х₁, х₂, х₃ – компоненты этого вектора в некотором базисе , то

где l - собственное значение (характеристическое число) преобразования А.

Если матрица линейного преобразования А имеет вид:

, то

Характеристическое уравнение:

Раскрыв определитель, получим кубическое уравнение относительно l. Любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет либо один, либо три действительных корня.

Тогда любое линейное преобразование в трехмерном пространстве имеет собственные векторы.

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А = .

Составим характеристическое уравнение:

(1 - l)((5 - l)(1 - l) - 1) - (1 - l - 3) + 3(1 - 15 + 3l) = 0

(1 - l)(5 - 5l - l + l²- 1) + 2 + l - 42 + 9l = 0

(1 - l)(4 - 6l + l²) + 10l - 40 = 0

4 - 6l + l²- 4l + 6l²- l³+ 10l - 40 = 0

-l³ + 7l² – 36 = 0

-l³ + 9l² - 2l² – 36 = 0

-l²(l + 2) + 9(l² – 4) = 0

(l + 2)(-l² + 9l - 18) = 0

Собственные значения: l₁ = -2; l₂ = 3; l₃ = 6;

1) Для l₁ = -2:

Если принять х₁ = 1, то Þ х₂ = 0; x₃ = -1;

Собственные векторы:

2) Для l₂ = 3:

Если принять х₁ = 1, то Þ х₂ = -1; x₃ = 1;

Собственные векторы:

3) Для l₃ = 6:

Если принять х₁ = 1, то Þ х₂ = 2; x₃ = 1;

Собственные векторы:

Составим характеристическое уравнение:

-(3 + l)((1 - l)(2 - l) – 2) + 2(4 - 2l - 2) - 4(2 - 1 + l) = 0

-(3 + l)(2 - l - 2l + l²- 2) + 2(2 - 2l) - 4(1 + l) = 0

-(3 + l)(l²- 3l) + 4 - 4l - 4 - 4l = 0

-3l²+ 9l - l³+ 3l²- 8l = 0

-l³ + l = 0

l₁ = 0; l₂ = 1; l₃ = -1;

Для l₁ = 0:

Если принять х₃ = 1, получаем х₁ = 0, х₂ = -2

Собственные векторы ×t, где t – параметр.

Аналогично можно найти и для l₂ и l₃.

§7. Квадратичные формы.

Определение: Однородный многочлен второй степени относительно переменных х₁ и х₂

Ф(х₁, х₂) = а₁₁ ,

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени, называется квадратичной формой переменных х₁ и х₂.

Определение: Однородный многочлен второй степени относительно переменных х₁, х₂ и х₃

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных х₁, х₂ и х₃.

Рассмотрим квадратичную форму двух переменных. Квадратичная форма имеет симметрическую матрицу А = . Определитель этой матрицы называется определителем квадратичной формы.

Пусть на плоскости задан ортогональный базис . Каждая точка плоскости имеет в этом базисе координаты х₁, х₂.

Если задана квадратичная форма Ф(х₁, х₂) = а₁₁ , то ее можно рассматривать как функцию от переменных х₁ и х₂.

ГЛАВА 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ)

I СЕМЕСТР

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Последнее изменение этой страницы: 2019-05-08; Просмотров: 198; Нарушение авторского права страницы