Полярная система координат.

       Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из точки луча l, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, какие повороты вокруг точки О считаются положительными. Обычно считают положительными повороты против часовой стрелки.

       Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью.

       Суть задания какой- либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел, определяющих положение этой точки на плоскости. В случае полярной системы координат роль этих чисел играют расстояние точки от полюса и угол между полярной осью и радиус– вектором этой точки. Этот угол j называется полярным углом.

 

                                                                                         М

 

                                                      r

                                                                                                     r =

 

                                          j

                              0

                                                                                                     l

       Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ох.

       Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах координат связываются соотношениями:

x = rcos j ;  y = rsin j ;     x² + y² = r²

 

Пример. Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид:

. Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат, определит тип кривой, найти фокусы и эксцентриситет. Схематично построить кривую.

 

       Воспользуемся связью декартовой прямоугольной и полярной системы координат: ;

       Получили каноническое уравнение эллипса. Из уравнения видно, что центр эллипса сдвинут вдоль оси Ох на 1/2 вправо, большая полуось a равна 3/2, меньшая полуось b равна , половина расстояния между фокусами равно с = = 1/2. Эксцентриситет равен е = с/ a = 1/3. Фокусы F₁(0; 0) и F₂(1; 0).

                                                      y

 

                                         

 

                                                      F₁              F₂

                              -1               0    ½    1                  2                      x

 

                                          -

 

 

       Пример. Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид:

. Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат, определит тип кривой, найти фокусы и эксцентриситет. Схематично построить кривую.

 

       Подставим в заданное уравнение формулы, связывающие полярную и декартову прямоугольную системы координат.

       Получили каноническое уравнение гиперболы. Из уравнения видно, что гипербола сдвинута вдоль оси Ох на 5 влево, большая полуось а равна 4, меньшая полуось b равна 3, откуда получаем c² = a² + b² ; c = 5; e = c/a = 5/4.

       Фокусы F₁(-10; 0), F₂(0; 0).

 

       Построим график этой гиперболы.

 

                                                                                         y

 

                                                                                         3

 

 

                      F₁  -9           -5              -1  0 F₂                                x

 

 

                                                                                  -3

 

           

 

Аналитическая геометрия в пространстве.

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: