Определители квадратных матриц.

       Определение. Определителем (детерминантом) квадратной матрицы А=  называется число, которое записано в виде таблицы, состоящей из элементов матрицы, и может быть вычислено по формуле:

                           DA = = , где                        

М_{1 j} – определитель, полученной из исходной матрицы вычеркиванием первой строки и j – го столбца.

       Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.

       Предыдущая формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:

                                                           DA =                                     

       Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:

 

                                                DA = , i = 1,2,…, n. (11.1)                    

       Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители.

 Определитель единичной матрицы равен 1.

       Для указанной матрицы А число М _ij называется дополнительным минором элемента матрицы a_ij. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.

       Определение. Дополнительный минор М _ij произвольного элемента квадратной матрицы a_ij  равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

       Определение. Алгебраическим дополнением A_ij минора матрицы называется его дополнительный минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы.

       В частности, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его дополнительный минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если -  нечетное.

       Теорема Лапласа. Если выбрано s строк матрицы с номерами i₁, … , i_s, то определитель этой матрицы равен сумме произведений всех миноров, расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения.

 

Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение:

                                                                     DA = DA^T;                                      

           

Свойство 2.                   D( A ± B) = DA ± DB.

           

Свойство 3.              D (AB) = DA×DB

           

Свойство 4.  Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.

           

Свойство 5. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число.

 

Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.

           

Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю.

 

       Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.)

           

Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбцов) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю.

           

Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно соотношение: d = d₁ ± d₂ , e = e₁ ± e₂ , f = f₁ ± f₂ , то верно:

       Свойство 10. Сумма произведений элементов какой-либо строки(столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки(столбца) равна нулю.

       Пример. Вычислить определитель матрицы А =

= -5 + 18 + 6 = 19.

 

       Пример:. Даны матрицы А = , В = . Найти D(AB).

1-й способ: DA = 4 – 6 = -2; DB = 15 – 2 = 13;       D(AB) = DA ×DB = -26.

 

2- й способ: AB = ,  D(AB) = 7×18 - 8×19 = 126 –

 – 152 = -26.

Элементарные преобразования матрицы.

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования:

       1) умножение строки на число, отличное от нуля;

       2) прибавление к элемнтам одной строки элементов другой строки;

       3) перестановка строк;

       4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

       5) транспонирование;

       Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями.

С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк ( столбцов ).

           

       Выше было использовано понятие дополнительного минора матрицы. Дадим определение минора матрицы.

       Определение. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено s строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s.

       Заметим, что вышесказанное применимо не только к квадратным матрицам, но и к прямоугольным.

       Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки и столбцы, то определитель полученной матрицы будет являться дополнительным минором.

           

Обратная матрица.

       Для каждого числа а ¹0 существует обратное число а^-1 такое, что произведение а ×а^-1=1. Для квадратных матриц вводится аналогичное понятие.

       Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,

где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А^-1.

       Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица является квадратной того же порядка.

       Однако, не каждая квадратная матрица имеет обратную. Если условие а ¹0 является необходимым и достаточным для существования числа а^-1, то для существования матрицы А^-1 таким условием является требование DA¹0.

       Определение.   Квадратная матрица n-го порядка называется невырожденной (неособенной), если ее определитель DA¹0.

       Если же DA=0, то матрица А называется вырожденной (особенной).

       Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Если квадратная матрица неособенная (т.е. ее определитель не равен нулю), то для нее существует единственная обратная матрица.

Доказательство.

I. Необходимость. Пусть матрица А имеет обратную А^-1, т.е. АА^-1= А^-1А=Е. По свойству 3 определителей (§11) имеем D(АА^-1)= D(А^-1) D(А)= D(Е)=1, т.е. DA¹0 и DA^-1¹0.

I I. Достаточность. Пусть квадратная матрица А неособенная, т.е. DA¹0. Напишем транспонированную матрицу А^Т:

А^Т = .

       В этой матрице каждый элемент заменим его алгебраическим дополнением, получим матрицу:

А^* = .

       Матрица А^* называется присоединенной матрицей к матрице А.

       Найдем произведение АА^* (и А^*А):

АА^* = ,

       Где диагональные элементы = DA,

                                           =DA,

:

:

                                            =DA.(формуле 11.1 §11)

       А все остальные недиагональные элементы матрицы АА^* равны нулю по свойству 10 §11, например:

,

 и т.д. Следовательно,

АА^* =  или АА^* = DA  = DA×Е.

       Аналогично доказывается, что А^*А = DA×Е.

       Разделив оба полученных равенства на DA, получим: . Отсюда, по определению обратной матрицы, следует существование обратной матрицы

 

,      т.к. АА^-1=А^-1А=Е.

 

       Существование обратной матрицы доказано. Докажем единственность. Предположим, что существует еще другая обратная матрица F для матрицы А, тогда AF = E  и FA = E. Умножив обе части первого равенства на А^-1 слева, а второго на А^-1 справа, получим: А^-1AF = А^-1E и FA А^-1 = E А^-1, откуда EF = А^-1E и FE = E А^-1. Следовательно,        F = А^-1. Единственность доказана.

       Пример. Дана матрица А = , найти А^-1.

DA = 4 - 6 = -2.

 

А₁₁=4;  А₁₂= -3;   А₂₁= -2;   А₂₂=1

Таким образом, А^*= А^-1= = .

 

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1. Находим определитель исходной матрицы. Если DA =0, то матрица А-вырожденная и обратная матрица А^-1 не существует. Если DA ¹0, то матрица А-невырожденная и обратная матрица А^-1 существует.
2. Находим алгебраические дополнения элементов исходной матрицы А _ij  и составляем из них присоединенную матрицу А^*, записывая алгебраические дополнения элементов строки в столбец.
3. Вычисляем обратную матрицу по формуле: .
4. Проверить правильность вычисления обратной матрицы

Свойства обратных матриц.

1) (A^-1)^-1 = A;

                                                        2) (AB)^-1 = B^-1A^-1

                                                        3) (A^T)^-1 = (A^-1)^T.

 

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: