Система n линейных уравнений с n неизвестными.

       Пусть число уравнений системы (1.1) равно числу переменных, т.е. n=m. Тогда матрица системы является квадратной. Рассмотрим методы решения таких систем.

        2.1. Матричный метод (метод обратной матрицы).

       Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.

       Метод удобен для решения систем невысокого порядка.

       Метод основан на применении свойств умножения матриц.

       Пусть дана система уравнений: 

Составим матрицы: A = ;        B = ;      X = .

 

Систему уравнений можно записать:

A×X = B.

 

Сделаем следующее преобразование: A^-1×A×X = A^-1×B,

 

т.к. А^-1×А = Е, то Е×Х = А^-1×В

Х = А^-1 ×В

       Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.

       Пример . Решить систему уравнений:

Х = , B = , A =

Найдем обратную матрицу А^-1.

D = det A = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.

 

А₁₁ =  = -5;             А₂₁ =  = -1;              А₃₁ =    = -1;

А₁₂ =                А₂₂ =                     А₃₂ =

А₁₃ =                  А₂₃ =                     А₃₃ =

 

                A^-1 = ;

Cделаем проверку:

A×A^-1 = =E.

Находим матрицу Х:

Х = = А^-1В = × = .

Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.

       Несмотря на ограничения возможности применения данного метода и сложность вычислений при больших значениях коэффициентов, а также систем высокого порядка, метод может быть легко реализован на ЭВМ.

       2.2. Метод Крамера. (Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик).

       Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.

       Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.

D(A) ¹ 0;

Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.

Теорема. (Правило Крамера):

       Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

x_i = D _i/ D, где

D = D( A),  а D _i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой i-го столбца  столбцом свободных членов b_i.

D _i =

 

       Пример .

 

A = ; D₁= ; D₂= ; D₃= ;

 

x₁ = D₁/ D(A);  x₂ = D₂/D(A);   x₃ = D₃/D(A);

 

       Пример. Найти решение системы уравнений:

D =  = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

D₁ =  = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

 

x₁ = D₁/D = 1;

D₂ =  = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

 

x₂ = D₂/D = 2;

D₃ =  = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

x₃ = D₃/D = 3.

 

       Как видно, результат совпадает с результатом, полученным выше матричным методом.

       Если система однородна, т.е. b_i = 0, то при D¹0 система имеет единственное нулевое решение x₁ = x₂ = … = x_n = 0.

При D = 0 система имеет бесконечное множество решений.

       Для самостоятельного решения:

;        Ответ: x = 0; y = 0; z = -2.

§3. Метод Гаусса. (Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)

       В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных - заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

       К элементарным преобразованиям систем относятся:

       1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.

       2)Перестановка уравнений местами.

       3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

 

       Рассмотрим систему линейных уравнений:

(3.1)

       Предположим, что в системе (3.1) коэффициент при переменной х₁ в первом уравнении a₁₁ ¹ 0 (если это не так, то перестановкой уравнений местами добьемся того, что a₁₁ ¹ 0).

       Шаг 1.       Разделим обе части 1–го уравнения на a₁₁ ¹ 0, затем:

1) умножим на а₂₁ и вычтем из второго уравнения

2) умножим на а₃₁ и вычтем из третьего уравнения

                                и т.д.

Получим:

, 

 где d_1j = a_1j/a₁₁, j = 2, 3, …, n+1, d_ij = a_ij – a_i1d_1j ( i = 2, 3, … , n;  j = 2, 3, … , n+1).

       Шаг 2.  Предположим, что d₂₂ ¹0 (если это не так, то перестановкой уравнений местами добьемся того, что d₂₂ ¹ 0). Разделим обе части 2-го уравнения на d₂₂ ¹0, затем:

1) умножим на d₃₂ и вычтем из третьего уравнения

  2) умножим на d₄₂ и вычтем из четвертого уравнения

и т.д.

       Продолжая процесс последовательного исключения переменных х₃, х₄, …, х _r-1, после (r-1)-го шага получаем систему:

 (3.2)

       Число 0 в последних m- r уравнениях означает, что их левые части имеют вид 0 ×х₁+0 ×х₂+ . . . +0 ×x _n. Если хотя бы одно из чисел t_r+1, . . ., t_m не равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво, и система (3.1) несовместна. Таким образом, для любой совместной системы числа t_r+1, . . ., t_m в системе (3.2) равны нулю. В этом случае последние m- r уравнений в системе (3.2) являются тождествами и их можно не принимать во внимание при решении системы (3.1). Очевидно, что после отбрасывания «лишних» уравнений возможны два случая: а) число уравнений системы (3.2) равно числу неизвестных, т.е. r= n (в этом случае система (3.2.) имеет треугольный вид); б) r < n (в этом случае система (3.2) имеет ступенчатый вид).

       Переход системы (3.1) к равносильной ей системе (3.2) называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из системы (3.2) – обратным ходом.

       Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов.

           

       Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

 

Составим расширенную матрицу системы.

 

А* =

 

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

 

, откуда получаем: x₃ = 2; x₂ = 5; x₁ = 1.

 

       Пример. Решить систему методом Гаусса.

 

Составим расширенную матрицу системы.

 

Таким образом, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво – оно привелось к неверному равенству 0 = -1, следовательно, данная система несовместна.

 

       Для самостоятельного решения:

                   Ответ: {1, 2, 3, 4)

      

       Метод Жордана-Гаусса.

       Суть метода Жордана-Гаусса заключается в построении такой ступенчатой матрицы, вдоль главной диагонали которой будут стоять лишь одни единицы. Затем, не производя обратного хода, как это было в методе Гаусса, нужно продолжать элементарными преобразованиями снизу вверх обращать в нули элементы, стоящие над гловной диагональю, до тех пор, пока слева до черты в расширенной матрице не будет стоять единичная матрица. Тогда справа получим решение системы уравнений. Это один из самых простых и изящных способов решения систем линейных уравнений.

 

       Пример. Решить систему уравнений методом Жордана-Гаусса:

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: