ГЛАВА 2. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

Основные сведения о матрицах.

Определение. Матрицей размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a_ij, где i- номер строки, а j- номер столбца. Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита: A,B,C, … Например, матрица

А =

Или, в сокращенной записи, А = (a_ij); i = 1,2, … , m; j = 1,2,…, n. ( Пример).

Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения матрицы: [ ], çç ÷÷.

Определение. Две матрицы А и В одинаковых размеров называются равными А_m_´_n=B_m_´_n, если все элементы с одинаковыми индексами обеих матриц совпадают, т.е. a_ij= b_ij для любых i = 1,2, … , m; j = 1,2,…, n.

Определение. Матрица размера 1´n, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором) – строкой, матрица размера m´1, состоящая из одного столбца – матрицей (вектором) – столбцом, а матрица размера 1´1 – скалярной матрицей.

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной. (Пример).

Определение. Если матрица квадратная, то совокупность тех ее элементов a_ii . у которых номер строки равен номеру столбца, называется главной диагональю или просто диагональю матрицы. Таким образом, главную диагональ квадратной матрицы образуют элементы a₁₁, a₂₂, . . . , a_nn.

Определение. Квадратная матрица называется диагональной, если все ее недиагональные элементы равны нулю, т.е. это матрица вида .

Определение. Если у диагональной матрицы n-ого порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n-ого порядка; она обозначается буквой Е:

Е =

Определение. Если a_mn = a_nm , то матрица называется симметрической.

Пример. - симметрическая матрица

Определение. Если все элементы матрицы любых размеров равны нулю, то она называется нулевой или нуль-матрицей.

Операции над матрицами.

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что, они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, можно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц A и B одинаковых размеров m´n является матрица С = А + В того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов исходных матриц, т.е.: c_ij = a_ij ± b_ij, i = 1,2, … , m; j = 1,2,…, n.

Определение. Произведением матрицы А на число a называется матрица В = aА, элементы которой b_ij = a a_ij, i = 1,2, … , m; j = 1,2,…, n.

Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В.

2А = , 2А + В = .

Определение: Произведением матриц А_m_´_k×B_k_´_n называется такая матрица С_m_´_n, каждый элемент которой c_ij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В: , i = 1,2, … , m; j = 1,2,…, n.

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Пример. Вычислить произведение А×В, где

А= ; В = .

Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами (это следует из определения этих операций)

Свойства операции над матрицами.

1) А + В = В + А;

2) (А + В) + С = А + (В + С);

3) a(А + В) = aА + aВ;

4) А×(В + С) = А×В + А×С;

5) (А + В)×С = А×С + В×С;

I. a(А ×В) = (aА)В = А(aВ);

7) (АВ)С = А(ВС).

Однако имеются и специфические свойства матриц. Так, операция умножения матриц имеет некоторые отличия от умножения чисел:

I. Если произведение матриц АВ существует, то после перестановки сомножителей произведение матриц ВА может и не существовать. Действительно, в примере, приведенном выше, получили произведение матриц А₂_´3×B₃_´3= С₂_´3, а произведение В₃_´3×А₂_´3 не существует.

II. Если даже произведения АВ и ВА существует, то они могу быть матрицами разных размеров. Например, А₂_´3×B₃_´2= С₂_´2 , а В₃_´2×А₂_´3= D₃_´3.

III. Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА даже если определены оба произведения и обе матрицы одинакового размера (это возможно только при умножении квадратных матриц А и В одинакового порядка).

Пример. Найти произведения АВ и ВА, где

А = , В = .

Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными (коммутирующими между собой).

Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой квадратной матрицей того же порядка:

А×Е = Е×А = А

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

A×O = O; O×A = O,

где О – нулевая матрица.

IV. Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. из того, что АВ = 0, не следует, что А=0 или В=0. Например, А= , B= , но АВ = = 0.

V. Важным частным случаем произведения матриц является произведение квадратной матрицы А_n_´_n на вектор-столбец Х = :

А×Х = × = = x₁ + x₂ + . . . + x_n , т.е. вектор А×Х является линейной комбинацией столбцов матрицы А с коэффициентами x_i.

Аналогично при умножении матрицы А на вектор-строку(слева) ХА мы получаем вектор-строку, являющийся линейной комбинацией строк матрицы А с коэффициентами x_i.

Рассмотрим еще одну операцию – транспонирование матрицы

Определение. Транспонирование матрицы – переход от матрицы А к матрице А^Т, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица А^Т называется транспонированной относительно матрицы А:

А = ; А^Т= ;