Плоскость в пространстве.

       Пусть Р – произвольная плоскость в пространстве. Точка М₀( x₀, y₀, z₀) Î Р. Вектор  = (A,B,C) –ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости Р (нормальный вектор плоскости)

       Необходимо получить уравнение плоскости.

       Решение.

       Для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, составим вектор . Т.к. вектор  - вектор нормали, то он перпендикулярен плоскости, а, следовательно, перпендикулярен и вектору . Тогда скалярное произведение

× = 0

Таким образом, получаем уравнение плоскости

(5.1)

Уравнение (5.1) называют уравнением плоскости, проходящей через заданную точку.

Легко показать, что уравнение (5.1) приводится к виду:

       Ax + By + Cz + D = 0 – уравнение 1-ой степени относительно переменных координат х, у, z ( D = - Ax₀ – By₀ – Cz₀).

       Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:

        Ax + By + Cz + D = 0,       (5.2)

 

где А, В, С – координаты вектора - вектор нормали к плоскости.

       Рассмотрим особенности расположения плоскости в тех случаях, когда те или иные коэффициенты уравнения (5.2) обращаются в нуль.

              Частные случаи общего уравнения плоскости:

1. D = 0:  Ax + By + Cz = 0–  уравнение плоскости, проходящей через начало координат
2. А = 0:   By + Cz + D = 0 – уравнение плоскости, параллельной оси ОХ, т.к. нормальный вектор  = (0,B,C) – перпендикулярен оси ОХ (его проекция на ось ОХ равна нулю). Аналогично при
• В = 0:  Ax  + Cz + D = 0 – плоскость параллельна оси Оу
• С = 0: Ax + By  + D = 0– плоскость параллельна оси Оz
3. А = D = 0:  By + Cz = 0 – уравнение плоскости, проходящей через ось Ох, поскольку она параллельна оси Ох (А=0) и проходит через начало координат (D=0). Аналогично при
• В = D = 0:  Ax + Cz = 0  – плоскость проходит через ось Оу
• С = D = 0:  Ax + By  = 0  – плоскость проходит через ось Oz
4. А = В = 0: Cz + D = 0– уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости хОу, поскольку она параллельна осям Ох (А=0) и Оy (В=0). Аналогично:
• А = С = 0: By + D = 0 – уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости хОz
• В = С = 0: Ax + D = 0 – уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости yOz.
5. А = В = D = 0 : Cz = 0 (z = 0 ) – уравнение координатной плоскости хОу, т.к. она параллельна плоскости хОу (А = В = 0) и проходит через начало координат (D=0). Аналогично при
• А = С = D = 0: By = 0 (y = 0) – плоскость совпадает с плоскостью xOz
• В = С = D = 0: Ax = 0 (x = 0)– плоскость совпадает с плоскостью yOz

 

Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

       Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.

       Рассмотрим точки М₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂), M₃(x₃, y₃, z₃) в общей декартовой системе координат.

       Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М₁, М₂, М₃ необходимо, чтобы векторы  были компланарны.

       Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

        (5.3)

 

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: