ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ). ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Стр 1 из 20Следующая ⇒

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ)

II СЕМЕСТР

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ.

Понятие множества. Некоторые сведения о математической логике.

Числовые множества. Множество действительных чисел.

Числовые промежутки.

Модуль действительного числа.

ГЛАВА 2. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

§1. Понятие функции и способы ее задания.

Основные характеристики функций.

Элементарные функции.

Приложение функций в экономике.

ГЛАВА 3. ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

Пусть дана функция y = f( x).Зафиксируем произвольную точку хЄ D( f). Придадим значению аргумента х произвольное приращение ∆х так, чтобы точка х+∆х Є D( f). Тогда приращение функции будет ∆у=f(х+∆х) – f( x).

Определение. Производной функции y= f( x) в точке х = х₀ называется предел отношения приращения функции ∆ y в этой точке к приращению аргумента, при ∆х→0 (если этот предел существует и конечен).

(1.1)

Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Если функция f( x) имеет производную в каждой точке множества D, то производная также является функцией от аргумента х, определенной на множестве D.

В физическом смысле отношение является скоростью изменения функции y = f( x) на отрезке [х, х+∆х], а - мгновенной скоростью изменения этой функции в точке х.

Например, если S = f ( t ) – это зависимость пути S, пройденного некоторым телом, от времени t, то производная является скоростью движения ; если функция - зависимость количества производимой кем-то продукции от времени t, то ее производная - производительность труда.

Геометрический смысл производной.

Геометрически отношение является тангенсом угла β, который образует секущая МР с осью ОХ. Если ∆х→0, то точка Р стремится к точке М, а угол β→α, который образует касательная к графику функции в точке М с осью ОХ и, следовательно . Отсюда получаем

(1.2) – геометрический смысл производной,

где k – угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y= f( x) в точке с абсциссой х₀, следовательно, уравнение касательной к к графику функции y= f( x) в точке х₀ имеет вид :

или

(1.3), где

f(x)

f(x₀ +Dx) P

f(x₀) M

a b Dx

0 x₀ x₀ + Dx x

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

Уравнение нормали к кривой: .

Дифференциал функции.

Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Тогда можно записать: , где a®0, при Dх®0.

Следовательно: .

Величина aDx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f¢(x)Dx, т.е. f¢(x)Dx- главная часть приращения Dу.

Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главная линейная часть приращения функции.

Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f¢(x)Dx или

dy = f ¢( x) dx.

Можно также записать:

Геометрический смысл дифференциала.

f(x)

M Dy

x x + Dx x

Из треугольника DMKL: KL = dy = tg a × D x = y ¢ × D x

Таким образом, дифференциал функции f( x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.

Свойства дифференциала.

Если u = f( x) и v = g( x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

1) d(u ± v) = (u ± v) ¢ dx = u ¢ dx ± v ¢ dx = du ± dv

2) d(uv) = (uv) ¢ dx = (u ¢ v + v ¢ u)dx = vdu + udv

3) d(Cu) = Cdu

Дифференциал сложной функции.

Инвариантная форма записи дифференциала.

Пусть y = f( x), x = g( t), т.е. у - сложная функция.

Тогда dy = f ¢( x) g ¢( t) dt = f ¢( x) dx.

Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.

Однако, если х - независимая переменная, то

dx = Dx, но

если х зависит от t, то Dх ¹ dx.

Таким образом, форма записи dy = f¢(x)Dx не является инвариантной.

Пример. Найти производную функции .

Сначала преобразуем данную функцию:

Пример . Найти производную функции .

Пример . Найти производную функции

§7. Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную

Если найти производную функции f¢(x), получим вторую производную функции f(x).

т.е. y¢¢ = (y¢)¢ или .

Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n.

Общие правила нахождения высших производных.

Если функции u = f(x) и v = g(x) дифференцируемы, то

1) (Сu)⁽ⁿ⁾= Cu⁽ⁿ⁾;

2) (u ± v)⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾ ± v⁽ⁿ⁾;

Это выражение называется формулой Лейбница.

Также по формуле dⁿy = f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ может быть найден дифференциал n- го порядка.

Формула Тейлора.

Рис. 1. Два члена разложения

Рис. 2. Четыре члена разложения

Рис. 3. Шесть членов разложения

Рис. 4. Десять членов разложения

Чтобы получить наиболее точное значение функции при наименьшем количестве членов разложения надо в формуле Тейлора в качестве параметра а выбрать такое число, которое достаточно близко к значению х, и значение функции от этого числа легко вычисляется.

Для примера вычислим значение sin20⁰.

Предварительно переведем угол 20⁰ в радианы: 20⁰ = p/9.

Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами разложения:

В четырехзначных таблицах Брадиса для синуса этого угла указано значение 0,3420.

На графике показано изменение значений разложения в ряд Тейлора в зависимости от количества членов разложения. Как видно, если ограничиться тремя членами разложения, то достигается точность до 0,0002.

Выше говорилось, что при х®0 функция sinx является бесконечно малой и может при вычислении быть заменена на эквивалентную ей бесконечно малую функцию х. Теперь видно, что при х, близких к нулю, можно практически без потери в точности ограничиться первым членом разложения, т.е. sinx @ x.

Пример: Вычислить sin28⁰13¢15¢¢.

Для того, чтобы представить заданный угол в радианах, воспользуемся соотношениями:

1⁰ = ; 28⁰ ;

1¢ ; ;

; ;

рад

Если при разложении по формуле Тейлора ограничиться тремя первыми членами, получим: sinx = .

Сравнивая полученный результат с более точным значением синуса этого угла,

sin = 0,472869017612759812,

видим, что даже при ограничении всего тремя членами разложения, точность составила 0,000002, что более чем достаточно для большинства практических технических задач.

Функция f( x) = ln(1 + x).

Получаем: f( x) = ln(1 + x); f(0) = 0;

f ¢ (x) = ;

………………………………………

Итого:

Полученная формула позволяет находить значения любых логарифмов (не только натуральных) с любой степенью точности. Ниже представлен пример вычисления натурального логарифма ln1,5. Сначала получено точное значение, затем – расчет по полученной выше формуле, ограничившись пятью членами разложения. Точность достигает 0,0003.

ln1,5 = 0,405465108108164381

Разложение различных функций по формулам Тейлора и Маклорена приводится в специальных таблицах, однако, формула Тейлора настолько удобна, что для подавляющего большинства функций разложение может быть легко найдено непосредственно.

Ниже будут рассмотрены различные применения формулы Тейлора не только к приближенным представлениям функций, но и к решению дифференциальных уравнений и к вычислению интегралов.

§6. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Дифференциал функции y = f( x) зависит от Dх и является главной частью приращения Dх.

Также можно воспользоваться формулой

Тогда абсолютная погрешность

Относительная погрешность

Теоремы о среднем.

6.1.Теорема Ролля.

(Ролль (1652-1719)- французский математик)

Если функция f( x) непрерывна на отрезке [ a, b], дифференцируема на интервале (а, b) и значения функции на концах отрезка равны f( a) = f( b), то на интервале (а, b) существует точка e, a < e < b, в которой производная функция f( x) равная нулю,

f ¢( e) = 0.

Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы на интервале (a, b) существует точка e такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ох. Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки.

Доказательство. По свойству функций, непрерывных на отрезке функция f(x) на отрезке [a, b] принимает наибольшее и наименьшее значения. Обозначим эти значения М и m соответственно. Возможны два различных случая М = m и M ¹ m.

Пусть M = m. Тогда функция f(x) на отрезке [a, b] сохраняет постоянное значение и в любой точке интервала ее производная равна нулю. В этом случае за e можно принять любую точку интервала.

Пусть М = m. Так значения на концах отрезка равны, то хотя бы одно из значений М или m функция принимает внутри отрезка [a, b]. Обозначим e, a < e < b точку, в которой f(e) = M. Так как М- наибольшее значение функции, то для любого Dх (будем считать, что точка e + Dх находится внутри рассматриваемого интервала) верно неравенство:

D f( e) = f( e + D x) – f( e) £ 0

При этом

Но так как по условию производная в точке e существует, то существует и предел .

Т.к. и , то можно сделать вывод:

Теорема доказана.

Теорема Ролля имеет несколько следствий:

1) Если функция f(x) на отрезке [a, b] удовлетворяет теореме Ролля, причем

f(a) = f(b) = 0, то существует по крайней мере одна точка e, a < e < b, такая, что f¢(e) = 0. Т.е. между двумя нулями функции найдется хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

2) Если на рассматриваемом интервале (а, b) функция f(x) имеет производную (n-1)- го порядка и n раз обращается в нуль, то существует по крайней мере одна точка интервала, в котором производная (n – 1) – го порядка равна нулю.

6.2.Теорема Лагранжа.

(Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) французский математик)

Если функция f( x) непрерывна на отрезке [ a, b] и дифференцируема на интервале (а, b), то на этом интервале найдется по крайней мере одна точка e

a < e < b, такая, что .

Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке.

Рассмотренная выше теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.

Отношение равно угловому коэффициенту секущей АВ.

0 а e b x

Если функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы, то на интервале (а, b) существует точка e такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна секущей, соединяющей точки А и В. Таких точек может быть и несколько, но одна существует точно.

Доказательство. Рассмотрим некоторую вспомогательную функцию

F( x) = f( x) – y_{сек АВ}

Уравнение секущей АВ можно записать в виде:

Функция F(x) удовлетворяет теореме Ролля. Действительно, она непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b). По теореме Ролля существует хотя бы одна точка e, a < e < b, такая что F¢(e) = 0.

Т.к. , то , следовательно

Теорема доказана.

Определение. Выражение называется формулой

Лагранжа или формулой конечных приращений.

В дальнейшем эта формула будет очень часто применяться для доказательства самых разных теорем.

Иногда формулу Лагранжа записывают в несколько другом виде:

где 0 < q < 1, Dx = b – a, Dy = f(b) – f(a).

6.3.Теорема Коши.

( Коши (1789-1857)- французский математик)

Если функции f( x) и g( x) непрерывны на отрезке [ a, b] и дифференцируемы на интервале ( a, b) и g ¢( x) ¹ 0 на интервале ( a, b), то существует по крайней мере одна точка e, a < e < b, такая, что

Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению производных в точке e.

Для доказательства этой теоремы на первый взгляд очень удобно воспользоваться теоремой Лагранжа. Записать формулу конечных разностей для каждой функции, а затем разделить их друг на друга. Однако, это представление ошибочно, т.к. точка e для каждой из функции в общем случае различна. Конечно, в некоторых частных случаях эта точка интервала может оказаться одинаковой для обеих функций, но это - очень редкое совпадение, а не правило, поэтому не может быть использовано для доказательства теоремы.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

которая на интервале [a, b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Легко видеть, что при х = а и х = b F(a) = F(b) = 0. Тогда по теореме Ролля существует такая точка e,

a < e < b, такая, что F¢(e) = 0. Т.к.

, то

А т.к. , то

Теорема доказана.

Следует отметить, что рассмотренная выше теорема Лагранжа является частным случаем (при g(x) = x) теоремы Коши. Доказанная нами теорема Коши очень широко используется для раскрытия так называемых неопределенностей. Применение полученных результатов позволяет существенно упростить процесс вычисления пределов функций, что будет подробно рассмотрено ниже.

Точки экстремума.

Определение. Функция f(x) имеет в точке х₁ максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х₁. Функция f(x) имеет в точке х₂ минимум, если f(x₂ +Dx) > f(x₂) при любом Dх (Dх может быть и отрицательным).

Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.

Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Теорема. (Необходимое условие существования экстремума) Если функция f( x) дифференцируема в точке х = х₁ и точка х₁ является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Доказательство. Предположим, что функция f(x) имеет в точке х = х₁ максимум.

Тогда при достаточно малых положительных Dх>0 верно неравенство:

, т.е.

Тогда

По определению:

Т.е. если Dх®0, но Dх<0, то f¢(x₁) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, то f¢(x₁) £ 0.

А возможно это только в том случае, если при Dх®0 f¢(x₁) = 0.

Для случая, если функция f(x) имеет в точке х₂ минимум теорема доказывается аналогично.

Теорема доказана.

Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х³, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.

Пример: f(x) = ôxô Пример: f(x) =

y y

В точке х = 0 функция имеет минимум, но В точке х = 0 функция не имеет ни

не имеет производной. максимума, ни минимума, ни произ-

водной.

Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.

Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)

Пусть функция f( x) непрерывна в интервале ( a, b), который содержит критическую точку х₁, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х₁).

Если при переходе через точку х₁ слева направо производная функции f ¢( x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х₁ функция f( x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.

Доказательство.

Пусть

По теореме Лагранжа: f( x) – f( x₁) = f ¢( e)( x – x₁), где x < e < x₁.

Тогда: 1) Если х < x₁, то e < x₁; f¢(e)>0; f¢(e)(x – x₁)<0, следовательно

f(x) – f(x₁)<0 или f(x) < f(x₁).

2) Если х > x₁, то e > x₁ f¢(e)<0; f¢(e)(x – x₁)<0, следовательно

f(x) – f(x₁)<0 или f(x) < f(x₁).

Т. к. ответы совпадают, то можно сказать, что f(x) < f(x₁) в любых точках вблизи х₁, т.е. х₁ – точка максимума.

Доказательство теоремы для точки минимума производится аналогично.

Теорема доказана.

На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

1) Найти критические точки функции.

2) Найти значения функции в критических точках.

3) Найти значения функции на концах отрезка.

4) Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.

Исследование функции на экстремум с помощью

производных высших порядков.

Пусть в точке х = х₁ f¢(x₁) = 0 и f¢¢(x₁) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х₁.

Теорема. Если f ¢( x₁) = 0, то функция f( x) в точке х = х₁ имеет максимум, если f ¢¢( x₁)<0 и минимум, если f ¢¢( x₁)>0.

Доказательство.

Пусть f¢(x₁) = 0 и f¢¢(x₁)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x₁) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х₁.

Т.к. f¢¢(x) = (f¢(x))¢ < 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х₁, но f¢(x₁)=0, т.е. f¢(x) > 0 при х<x₁ и f¢(x) < 0 при x>x₁. Это и означает, что при переходе через точку х = х₁ производная f¢(x) меняет знак с “+” на “-“, т.е. в этой точке функция f(x) имеет максимум.

Для случая минимума функции теорема доказывается аналогично.

Если f¢¢(x) = 0, то характер критической точки неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование.

Асимптоты.

При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.

Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции . Ее наклонная асимптота у = х.

Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых.

Вертикальные асимптоты.

Из определения асимптоты следует, что если или или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).

Например, для функции прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты.

Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.

j P

Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте – М, Р – точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью Ох обозначим j. Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N.

Тогда MQ = y – ордината точки кривой, NQ = - ордината точки N на асимптоте.

По условию: , ÐNMP = j, .

Угол j - постоянный и не равный 90⁰, тогда

Тогда .

Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.

В полученном выражении выносим за скобки х:

Т.к. х®¥, то , т.к. b = const, то .

Тогда , следовательно,

Т.к. , то , следовательно,

Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

1) Вертикальные асимптоты: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.

2) Наклонные асимптоты:

Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.

Построим график функции:

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.

Найдем наклонные асимптоты:

y = 0 – горизонтальная асимптота.

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

Прямая х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.

Найдем наклонные асимптоты.

Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.

Схема исследования функций

Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

1) Область существования функции.

Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.

2) Точки разрыва. (Если они имеются).

3) Интервалы возрастания и убывания.

4) Точки максимума и минимума.

5) Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.

6) Области выпуклости и вогнутости.

7) Точки перегиба.(Если они имеются).

8) Асимптоты.(Если они имеются).

9) Построение графика.

Применение этой схемы рассмотрим на примере.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Областью значений данной функции является интервал (-¥; ¥).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции

Критические точки: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1.

Найдем вторую производную функции

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

-¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

-1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y¢¢ > 0, кривая вогнутая

< x < ¥, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

-¥ < x < - , y¢ > 0, функция возрастает

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

-1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢¢ > 0, функция возрастает

Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно -3 /2 и 3 /2.

Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.

Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.

Построим график функции:

Свойства эластичности

1. Эластичность взаимообратных функции – есть взаимообратные функции:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Например, эластичность величины спроса по цене обратна эластичности цены по величине спроса:

E_p^D = 1/ E_D^p

2. Эластичность произведения двух функций U(x) и V( x ) равна сумме эластичностей:

Е_х ^UV = E_x^U + E_x^V

Доказательство:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . .. . . .. .. . . .

3. Эластичность частного функций U(х) и V(х) равна разности эластичностей

Е_х ^U ^/ ^V = E_x^U - E_x^V

Доказательство:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . .. . . .. .. . . .

4. Для сложной функции у=f(u), где u= u (х) эластичность функции у по х находится по формуле:

Е_х ^y = E_u^y ּ E_x^u

Доказательство:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . .. . . .. .. . . .

Эластичность элементарных функций:

1) у = С =const E_x^C = =0.

2) у=а_х+в E_x^y =

3) у=х^α E_x^y =

4) у=а^х E_x^y =

5 .3 Эластичность спроса и предложения

Пусть D=D(р) – функция спроса от цены товара р. Тогда под эластичностью спроса понимается относительное изменение спроса при изменении цены товара на 1%:

E_p^D = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . (2).

Аналогичное понятие можно ввести и для функции предложения S (р). Заметим, что функция D(р) убывает, а функция S (р) – возрастает с ростом р. Поскольку D(р) убывающая функция, то D´( р) <0 и тогда Е_p^D< 0. Различают три вида спроса в зависимости от величины |Е _p ^D |:

a. если |Е _p ^D | > 1 (Е _p ^D < -1), то считается эластичным;

b. если |Е _p ^D | = 1 (Е _p ^D = -1), то спрос нейтрален;

c. если |Е _p ^D | < 1 (Е _p ^D > -1), то спрос неэластичен.

Пример №1.

Пусть D(р)= D₀ e ^- ^kp , где D₀>0 и k >0 - известные величины.

Найти, при каких значениях цены p спрос будет эластичным.

Решение.

Найдём E_p^D - ?

E_p^D = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Для того чтобы спрос был эластичным, составим неравенство:

|Е _p ^D | > 1 → |-2k p² | > 1

2kp² >1

p² >

| p |> , т.к. p >0, то p >

Пример №2.

Найти изменение выручки с увеличением цены товара при разных эластичностях спроса.

Выручка R от продажи какого-либо товара вычисляется по формуле:

R ( p ) = pD ( p), где p – цена товара,

D (p) – функция спроса.

Найдём эластичность: E_p^R = E_p^pD ⁽ ^p ⁾ = E_p^p + E_p^D, т.к. E_p^D < 0, то

E_p^R = 1 - |Е _p ^D | (3).

Проанализируем все варианты эластичности выручки:

с учётом формулы (3)

ü если спрос эластичен, т. е. |Е _p ^D | >1, то эластичность выручки E_p^R <0. Т.о., при эластичном спросе повышение цены ведёт к снижению выручки, а снижение цены увеличивает выручку.

ü если спрос нейтрален, т. е. |Е _p ^D |=1, то E_p^R =0, т. е. при нейтральном спросе изменение цены на товар не влияет на выручку.

ü если спрос неэластичен, т. е. |Е _p ^D |<1, то E_p^R >0, т.е. при неэластичном спросе повышение цены на товар приводит к росту выручки.

Пример №3.

Пусть зависимость между себестоимостью продукции S и объёмом её производства Q выражается формулой : S= 50-0,4Q .

Треб-ся определить эластичность себестоимости при выпуске продукции Q=40 (ден. ед.).

Решение:

Запишем E_Q^S = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . .

Подставим Q=40 E_Q ₌₄₀ ^s = … . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

т. е. при данном объёме выпуска Q увеличение его на 1% приведёт к снижению себестоимости ≈ на 0,5%

5 .4 Максимизация прибыли

Пусть Q – количество реализованного товара, R ( Q ) – функция дохода, С( Q ) – функция затрат на производство товара. В реальности вид этих функций зависит от способа производства, организации инфраструктуры и т. п. Прибыль от реализации произведенного товара

П (Q) = R(Q) – C(Q) (4)

В микроэкономике известно утверждение: для того чтобы прибыль была максимальна необходимо, чтобы предельный доход был равен предельным издержкам, то есть R ^/ ( Q ) = C ^/ ( Q ) (5).

Действительно, из необходимого условия экстремума для функции (4), следует, что П^/( Q ) =0, откуда и получается основной принцип (5).

Пример

Пусть R(Q) = 100Q – Q²; C(Q) = Q³ – 37Q² + 169Q + 4000.

Тогда прибыль определяется формулой:

П(Q) = 100Q – Q² – Q³ + 37Q² – 169Q – 4000;

П(Q) = – Q³ + 36Q² – 69Q – 4000.

Приравнивая производную к нулю, получаем уравнение:

-3Q² + 72Q – 69 = 0;

Q² – 24Q + 23 = 0.

Корни: Q ₁= 1

Q ₂ = 2

Проверка показывает, что П _max= 1290:

П(1)=-1+36-69-4000=-40034

П(23)=-23³+36ּ23²- 69ּ23-4000=-12167+19044-1587-4000=1290

Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция y = f( x) интегрируема на отрезке [a, b].

Теорема. Если функция y = f( x) непрерывна на отрезке [a, b] и F( x) какая-либо ее первообразная на этом отрезке ( F ¢ ( x)= f( x)), то имеет место формула

(1).

Доказательство:

Точками разобьем отрезок [a, b] на n частичных отрезков

a=x₀ x1 x2 xi-1 xi b=x_n

Рассмотрим тождество: F(b) – F(a) = F(x_n) – F(x₀) = (F(x_n) – F(x_n-1)) + (F(x_n-1 – F(x_n-2)) + . . . +( F( x₁) – F( x₀)).

К каждой разности в скобках применим формулу Лагранжа: f( b) – f( a) = f ¢ ( c) ×( b – a).

Получим:

F( b) – F( a) = F ¢ ( c_n)( x_n – x_n_-1) + F ¢ ( c_n_-1)( x_n_-1 – x_n_-2) + . . .+ F ¢ (c₂)(x₂ – x₁) + F ¢ (c₁)(x₁ – x₀) =

_{n n n}

å F ¢ (c_i)(x_i – x_i-1) = å f(c_i)(x_i – x_i-1) , т. е. F(b) – F(a) = å f(c_i)(x_i – x_i-1) (2), где c_i – некоторая ^I=1 ^I=1 ^I=1

точка интервала ( x_i_-1; x_i). Т. к. функция y = f( x) непрерывна на [a, b], то она интегрируема на этом отрезке. Поэтому существует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу от f( x) на отрезке [a, b].

Перейдем в равенстве (2) к пределу при n ® ¥ ( l ® 0), получим , т. е. . Ч.т.д.

Равенство (1) называется формулой Ньютона-Лейбница.

Разность F( b) – F( a) обозначают следующим образом: F( x)ç_a и формулу (1) в этом случае можно переписать

Формула (1) дает удобный способ вычисления определенного интеграла:

- надо найти первообразную подинтегральной функции – F( x);

- посчитать разность значений этой первообразной на концах отрезка [a, b] – F( b) – F( a).

Примеры.

1). ;

2). .

Кратные интегралы.

8.1.Двойные интегралы.

Пусть область Д – некоторая замкнутая и ограниченная область на плоскости ХОУ.

И в этой области определена некоторая непрерывная функция z= f( x; y).

Разобьём область Д на n- произвольных частей. Площади каждой части обозначим В каждой из частичных областей возьмём произвольную точку: .

(1)- интегральная сумма для функции z= f( x; y) на области Д.

Назовём диаметром области d – наибольшее расстояние между граничными точками этой области.

Пусть - шаг разбиения.

Определение. Если интегральная сумма (1) имеет предел при , то этот предел называется двойным интегралом от функции z= f( x; y) по области Д и обозначается:

(2)

dS=dxdy

При вычислении двойного интеграла используется теорема о сведении двойного интеграла к повторному, т.е. т.о. возможности дважды применить процесс обычного интегрирования.

Теорема. Пусть функция z= f( x; y) ограничена и интегрируема в области Д. Область Д ограничена сверху и снизу двумя непрерывными кривыми .

Пусть для каждого х из отрезка существует определенный интеграл.

- (внутренний интеграл.)

Тогда существует повторный интеграл: и двойной интеграл функции f( x; y) по области Д: (3)

В формуле (3) при вычислении внутреннего интеграла переменную х считают Const.

Пример: Найти двойной интеграл: , если область Д ограничена у=х, у=2х, х=0, х= ln2.

(*)

(смотреть*)

8.2. Тройные интегралы.

Пусть область V – некоторая замкнутая и ограниченная область в пространстве xOyz.

В этой области определена произвольная ограниченная функция u= f( x; y; z). Разобьём область V на n-произвольных частей. - объём этих частей.

В каждой из частей возьмём точку и составим произведение:

(4)- интегральная сумма для функции

u= f( x; y; z) в области V.

- шаг разбиения – наибольшее из всех диаметров частичных объёмов.

Если существует предел интегрирования суммы (4) при и он равен конечному числу, то он называется тройным интегралом от функции u= f( x; y; z) по области V:

(5)

(dV=dxdydz)

Теорема. (смотреть график выше) Если область V представляет из себя следующее:

ограничена поверхностями:

- проекции этих поверхностей на плоскости хОу.

х=а

х=в

И тогда формула для вычисления тройного интеграла:

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ)

II СЕМЕСТР

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Последнее изменение этой страницы: 2019-05-08; Просмотров: 193; Нарушение авторского права страницы