Применение производной в экономике

5.1 Предельные микроэкономические показатели.

Рассмотрим однофакторную или одноресурсную, производственную функцию у=f(х), которая представляет собой зависимость объёма производимой продукции от объёма затраченного ресурса х. Часто этот ресурс – это количество живого человеческого труда, выраженного в человеко-часах или числе работников. Пусть в некоторый момент времени число работников фирмы равно а. Возникает вопрос о целесообразности принятия на работу ещё одного рабочего, т. е оценить разность f(а+Δа)-f(а), при Δа=1. Обычно производственные функции дифференцируемы, так что                                                                                                                                                                                f(а+1)-f(а) ≈ f´(а). Если а велико, то это равенство довольно точное. Тогда f´(а)- добавочная продукция, производимая новым сотрудником. Пусть С – цена единицы продукции, а р зарплата работника. Тогда, если Сּf´(а) > р, то надо нанять ещё одного сотрудника, т. к. он принесёт фирме больше, чем она ему заплатит. Это золотое правило экономики (оно имеет универсальный характер.)

В экономике производную производственной функции называют предельной производительностью труда (при размере фирмы а), она приблизительно показывает на сколько увеличится объём выпускаемой продукции, если нанять ещё одного работника.

      Рассмотрим некоторые экономические функции и определим экономический смысл их предельных величин (т. е. производных).

Функция спроса  

D = D (р) – зависимость спроса D на некоторый товар от его цены р. D´(р) показывает приблизительно увеличение спроса при увеличении цены на 1 единицу. Поскольку D(р) – функция убывающая, то абсолютное значение производной D´(р)  показывает уменьшение спроса со стороны покупателей на товар при повышении его цены на единицу.

Функция предложения

S = S (р) – зависимость предложения некоторого товара от его цены р. S ´(р) показывает на сколько приблизительно увеличится предложение товара со стороны продавцов (производителей) при увеличении цены на 1 единицу.

Функция полезности

U(х)- субъективная числовая оценка полезности данным индивидом количества товара х для него. U´(х) показывает приблизительную оценку дополнительной полезности от приобретения ещё одной единицы товара. U´(х)=М U(х) – предельная полезность.

Налоговая ставка

Зависимость налога N в процентах от величины годового дохода Q: N = N ( Q ). Пусть P – само значение налога, которое надо платить с годового дохода Q . Тогда P ´( Q )= N

5.2 Эластичность функции и её свойства.

Производная функции у=f(х) даёт величину мгновенного изменения функции у при значении аргумента х. В экономике часто удобно знать: на сколько процентов изменится значение функции у, если аргумент изменится на 1%. Для этого вводится понятие «эластичность функции» или относительная производная.

Рассмотрим функцию у=f(х). Пусть Δх – приращение аргумента, Δf(х) – соответствующее приращение функции. Тогда Δх/х относительное изменение аргумента, Δf(х)/f(х)- относительное изменение функции. Величина Δf(х)/f(х): Δх/х, т.е отношение относительного изменения функции к относительному изменению аргумента называется средней эластичностью функции f(х) по аргументу х на отрезке [х,х+Δх], а предел этого отношения при Δх→0 называется эластичностью функции у по аргументу в точке х и обозначается Е_х^у   т. е.

 

(1)

Свойства эластичности

1. Эластичность взаимообратных функции – есть взаимообратные функции:

 

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Например, эластичность величины спроса по цене обратна эластичности цены по величине спроса:

E_p^D = 1/ E_D^p

 

2. Эластичность произведения двух функций U(x) и V( x ) равна сумме эластичностей:

Е_х ^UV = E_x^U + E_x^V

 

Доказательство:

        . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

 

         . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . .. . . .. .. . . .

 

3. Эластичность частного функций U(х) и V(х) равна разности эластичностей

Е_х ^{U / V} = E_x^U - E_x^V

Доказательство:

        . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

 

          . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . .. . . .. .. . . .

4. Для сложной функции у=f(u), где u= u (х) эластичность функции у по х находится по формуле:

Е_х ^y = E_u^y ּ E_x^u

Доказательство:

 

        . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

 

          . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . .. . . .. .. . . .

 

Эластичность элементарных функций:

1) у = С =const         E_x^C =        =0.

2) у=а_х +в          E_x^y =

3) у=х^α                E_x^y =

4) у=а^х               E_x^y  =

5 .3 Эластичность спроса и предложения

Пусть D=D(р) – функция спроса от цены товара р. Тогда под эластичностью спроса понимается относительное изменение спроса при изменении цены товара на 1%:

 

E_p^D = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . .                         (2).

Аналогичное понятие можно ввести и для функции предложения S (р). Заметим, что функция D(р) убывает, а функция S (р) – возрастает с ростом р. Поскольку D(р) убывающая функция, то D´( р) <0 и тогда Е_p^D< 0. Различают три вида спроса в зависимости от величины |Е _p ^D |:

a. если |Е _p ^D | > 1 (Е _p ^D < -1), то считается эластичным;

b. если |Е _p ^D | = 1 (Е _p ^D = -1), то спрос нейтрален;

c. если |Е _p ^D | < 1 (Е _p ^D > -1), то спрос неэластичен.

 

Пример №1.

Пусть D(р)= D₀ e ^{- kp} , где D₀>0 и k >0 - известные величины.

Найти, при каких значениях цены p спрос будет эластичным. 

Решение.

Найдём E_p^D - ?

E_p^D = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . .      

      

Для того чтобы спрос был эластичным, составим неравенство:

|Е _p ^D | > 1    → |-2k p² | > 1

                               2kp² >1

                                  p² >

                                  | p |>   , т.к. p >0, то p >

                                        

Пример №2.

Найти изменение выручки с увеличением цены товара при разных эластичностях спроса.

 Выручка R от продажи какого-либо товара вычисляется по формуле:

                             R ( p ) = pD ( p), где p – цена товара,

                                                             D (p) – функция спроса.

Найдём эластичность: E_p^R = E_p^{pD ( p )} = E_p^p + E_p^D, т.к. E_p^D < 0, то

E_p^R = 1 - |Е _p ^D |           (3).

Проанализируем все варианты эластичности выручки:

с учётом формулы (3)

ü если спрос эластичен, т. е. |Е _p ^D | >1, то эластичность выручки E_p^R <0. Т.о., при эластичном спросе повышение цены ведёт к снижению выручки, а снижение цены увеличивает выручку.

ü если спрос нейтрален, т. е. |Е _p ^D |=1, то E_p^R =0, т. е. при нейтральном спросе изменение цены на товар не влияет на выручку.

ü если спрос неэластичен, т. е. |Е _p ^D |<1, то E_p^R >0, т.е. при неэластичном спросе повышение цены на товар приводит к росту выручки.

Пример №3.

Пусть зависимость между себестоимостью продукции S и объёмом её производства Q выражается формулой :    S= 50-0,4Q .

Треб-ся определить эластичность себестоимости при выпуске продукции Q=40 (ден. ед.).

Решение:

 

Запишем E_Q^S = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . .       

                                                                           

Подставим Q=40 E_{Q =40} ^s = … . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     

                                                            

т. е. при данном объёме выпуска Q увеличение его на 1%  приведёт к снижению себестоимости ≈ на 0,5%

 

5 .4 Максимизация прибыли

Пусть Q – количество реализованного товара, R ( Q ) – функция дохода, С( Q ) – функция затрат на производство товара. В реальности вид этих функций зависит от способа производства, организации инфраструктуры и т. п. Прибыль от реализации произведенного товара

П (Q) = R(Q) – C(Q) (4)

В микроэкономике известно утверждение: для того чтобы прибыль была максимальна необходимо, чтобы предельный доход был равен предельным издержкам, то есть R ^/ ( Q ) = C ^/ ( Q ) (5).    

Действительно, из необходимого условия экстремума для функции (4), следует, что П^/( Q ) =0, откуда и получается основной принцип (5).

Пример

Пусть R(Q) = 100Q – Q²; C(Q) = Q³ – 37Q² + 169Q + 4000.                     

 

Тогда прибыль определяется формулой:

П(Q) = 100Q – Q² – Q³ + 37Q² – 169Q – 4000;

П(Q) = – Q³ + 36Q² – 69Q – 4000.

Приравнивая производную к нулю, получаем уравнение:

-3Q² + 72Q – 69 = 0;

Q² – 24Q + 23 = 0.

Корни: Q ₁= 1

  Q ₂ = 2

Проверка показывает, что П _max= 1290:

П(1)=-1+36-69-4000=-40034

П(23)=-23³ +36ּ23²- 69ּ23-4000=-12167+19044-1587-4000=1290

 

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: