Раскрытие неопределенностей.

Правило Лопиталя.

(Лопиталь (1661-1704) – французский математик)

 

       К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:

 

       Теорема (правило Лопиталя). Если функции f( x) и g( x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g ¢( x) отлична от нуля вблизи а и f( a) = g( a) = 0, то предел отношения функций при х ®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.

 

       Доказательство. Применив формулу Коши, получим:

 

где e - точка, находящаяся между а и х. Учитывая, что f(a) = g(a) = 0:

 

       Пусть при х®а отношение  стремится к некоторому пределу. Т.к. точка e лежит между точками а и х, то при х®а получим e®а, а следовательно и отношение  стремится к тому же пределу. Таким образом, можно записать:

.

 

Теорема доказана.

 

       Пример: Найти предел .

 

Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

f¢(x) = 2x + ;    g¢(x) = e^x;

;

 

Пример: Найти предел .

;   ;

.

 

       Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

       Пример : Найти предел .

 

;     ;

;              ;

;       ;        

 

       Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой – либо другой метод (замена переменных, домножение и др.).

 

       Пример: Найти предел .

 

;         ;

 - опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.

 

;        ;

 - применяем правило Лопиталя еще раз.

 

;          ;

;

 

       Неопределенности вида  можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида , f(x)>0 вблизи точки а при х®а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).

 

       Пример: Найти предел .

 

Здесь y = x^x, lny = xlnx.

Тогда . Следовательно

       Пример: Найти предел .

;   - получили неопределенность. Применяем правило Лопиталя еще раз.

;      ;

 

 

ГЛАВА 5. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ.

§1. Возрастание и убывание функций.

       Теорема. 1) Если функция f( x) имеет производную на отрезке [ a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f ¢( x) ³ 0.

                         2) Если функция f( x) непрерывна на отрезке [ a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f ¢( x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [ a, b].

       Доказательство.

1) Если функция f(x) возрастает, то f(x + Dx) > f(x) при Dx>0 и f(x + Dx) < f(x) при Dх<0,

тогда:

 

2) Пусть f¢(x)>0 для любых точек х₁ и х₂, принадлежащих отрезку [a, b], причем x₁<x₂.

           

       Тогда по теореме Лагранжа: f(x₂) – f(x₁) = f¢(e)(x₂ – x₁), x₁ < e < x₂

По условию f¢(e)>0, следовательно, f(x₂) – f(x₁) >0, т.е. функция f(x) возрастает.

Теорема доказана.

 

       Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то f¢(x)£0 на этом отрезке. Если f¢(x)<0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает на отрезке [a, b].

       Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).

       Доказанную выше теорему можно проиллюстрировать геометрически:

 

       y                                                                  y

 

                 j       j                                                                             j        j

                                                      x                                                                       x

 

Точки экстремума.

 

       Определение. Функция f(x) имеет в точке х₁ максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х₁. Функция f(x) имеет в точке х₂ минимум, если f(x₂ +Dx) > f(x₂) при любом Dх (Dх может быть и отрицательным).

 

       Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.

 

       Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

 

       Теорема. (Необходимое условие существования экстремума) Если функция f( x) дифференцируема в точке х = х₁ и точка х₁ является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

 

       Доказательство. Предположим, что функция f(x) имеет в точке х = х₁ максимум.

       Тогда при достаточно малых положительных Dх>0 верно неравенство:

, т.е.

       Тогда

       По определению:

 

Т.е. если Dх®0, но Dх<0, то f¢(x₁) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, то f¢(x₁) £ 0.

       А возможно это только в том случае, если при Dх®0 f¢(x₁) = 0.

Для случая, если функция f(x) имеет в точке х₂ минимум теорема доказывается аналогично.

Теорема доказана.

Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х³, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.

Пример: f(x) = ôxô                                          Пример: f(x) =   

 

                   y                                                                        y

 

 

                                                                                                                                        x

 

                                                 x

                                                                      

В точке х = 0 функция имеет минимум, но      В точке х = 0 функция не имеет ни

не имеет производной.                                       максимума, ни минимума, ни произ-

                                                                             водной.

       Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.

       Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)

       Пусть функция f( x) непрерывна в интервале ( a, b), который содержит критическую точку х₁, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х₁).

       Если при переходе через точку х₁ слева направо производная функции f ¢( x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х₁ функция f( x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.

       Доказательство. 

Пусть

 

По теореме Лагранжа:      f( x) – f( x₁) = f ¢( e)( x – x₁), где x < e < x₁.

 

       Тогда: 1) Если х < x₁, то e < x₁; f¢(e)>0; f¢(e)(x – x₁)<0, следовательно

 

f(x) – f(x₁)<0 или f(x) < f(x₁).

                   2) Если х > x₁, то e > x₁ f¢(e)<0; f¢(e)(x – x₁)<0, следовательно

f(x) – f(x₁)<0 или f(x) < f(x₁).

Т. к. ответы совпадают, то можно сказать, что f(x) < f(x₁) в любых точках вблизи х₁, т.е. х₁ – точка максимума.

       Доказательство теоремы для точки минимума производится аналогично.

Теорема доказана.

На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

 

1) Найти критические точки функции.

2) Найти значения функции в критических точках.

3) Найти значения функции на концах отрезка.

4) Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.

 

Исследование функции на экстремум с помощью

производных высших порядков.

 

       Пусть в точке х = х₁ f¢(x₁) = 0 и f¢¢(x₁) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х₁.

       Теорема. Если f ¢( x₁) = 0, то функция f( x) в точке х = х₁ имеет максимум, если f ¢¢( x₁)<0 и минимум, если f ¢¢( x₁)>0.

       Доказательство.

       Пусть f¢(x₁) = 0 и f¢¢(x₁)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x₁) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х₁.

Т.к. f¢¢(x) = (f¢(x))¢ < 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х₁, но f¢(x₁)=0, т.е. f¢(x) > 0 при х<x₁ и f¢(x) < 0 при x>x₁. Это и означает, что при переходе через точку х = х₁ производная f¢(x) меняет знак с “+” на “-“, т.е. в этой точке функция f(x) имеет максимум.

Для случая минимума функции теорема доказывается аналогично.

Если f¢¢(x) = 0, то характер критической точки неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование.

 

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: