Дифференцирование сложной и обратной функций.

 Теорема.  (производная сложной функции). Если функция u = g( x) имеет производную в точке х, а функция y = f( u) имеет производную в соответствующей точке u = g( x), то сложная функция y = f( g( x)) имеет производную в точке х, которая находится по формуле:

  (4.1)

 

       Доказательство.     

       По условию . Отсюда, по теореме о связи предела функции и б.малой, имеем  или (*), где α → 0, при ∆ u → 0.

       Функция u = g( x) имеет производную в точке х:

       , поэтому , где β → 0, при ∆х → 0.

       Подставив ∆ u в равенство (*), получим

       , т.е.

       .

       Разделим полученное равенство на ∆х и перейдем к пределу при ∆х → 0:

       ,

 

ч.т.д.

       Правило нахождения производной сложной функции. Производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

           

Теорема. (Производная обратных функций.) Пусть функции у = f( x) и x = g( y) – взаимно обратные функции.

Если функция у = f( x) строго монотонна на интервале ( a, b) и имеет неравную нулю производную в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция x = g( y) также имеет производную  в соответствующей точке, причем

(4.2)

Доказательство.     

       Рассмотрим обратную функцию x = g( y). Дадим аргументу у приращение Dу ≠ 0. Ему соответствует приращение Dх≠ 0 в силу строгой монотонности функции у = f( x). Поэтому можно записать:    (*). Если Dу → 0, то в силу непрерывности обратной функции приращение Dх→ 0. И т.к. , т.е. . Ч.т.д.

Т.о., производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

 

§5. Производные основных элементарных функций.

                            1)С¢ = 0;                                         9)

                            2)(x^m)¢ = mx^m-1;                      10)

                            3)                                      11)

                             4)                                           12)

                             5)                                    13)

                              6)                           14)

                              7)                                  15)

                              8)                      16)

 

Логарифмическое дифференцирование.

 

Рассмотрим функцию .

Тогда (lnïxï)¢= , т.к. .

       Учитывая полученный результат, можно записать .

Отношение  называется логарифмической производной функции f(x).

       Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле

 

 

       Способ логарифмического дифференцирования удобно применять для нахождения производных сложных, особенно показательных и показательно-степенных функций, для которых непосредственное вычисление производной с использованием правил дифференцирования представляется трудоемким.

 

Производная показательно- степенной функции.

       Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно – степенной.

Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0.

Найдем производную функции y = u^v. Логарифмируя, получим:

lny = vlnu

 

       Пример. Найти производную функции .

По полученной выше формуле получаем:

Производные этих функций:

Окончательно:

 

       Пример. Найти формулу для производной функции arctgх.

 

       Функция arctgх является функцией, обратной функции tgх, т.е. ее производная может быть найдена следующим образом:

 

       Известно, что  

По приведенной выше формуле получаем:

 

Т.к.  то можно записать окончательную формулу для производной арктангенса:

       Таким образом, получены все формулы для производных арксинуса, арккосинуса и других обратных функций, приведенных в таблице производных.

Дифференциал функции.

       Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Тогда можно записать: , где a®0, при Dх®0.

Следовательно: .

Величина aDx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f¢(x)Dx, т.е. f¢(x)Dx- главная часть приращения Dу.

       Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главная линейная часть приращения функции.

       Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f¢(x)Dx или

dy = f ¢( x) dx.

Можно также записать:

Геометрический смысл дифференциала.

                                                      y

                                                                                                     f(x)

                                                                                 K

                                                                                                            dy

                                                                             M          Dy

                                                                                         L

                                                                                             

 

 

                                                           a

                                                                             x    x + Dx             x  

       Из треугольника DMKL: KL = dy = tg a × D x = y ¢ × D x

Таким образом, дифференциал функции f( x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.

Свойства дифференциала.

       Если u = f( x) и v = g( x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

 

1) d(u ± v) = (u ± v) ¢ dx = u ¢ dx ± v ¢ dx = du ± dv

 

2) d(uv) = (uv) ¢ dx = (u ¢ v + v ¢ u)dx = vdu + udv

3) d(Cu) = Cdu

 

4)  

Дифференциал сложной функции.

Инвариантная форма записи дифференциала.

       Пусть y = f( x), x = g( t), т.е. у - сложная функция.

Тогда                                          dy = f ¢( x) g ¢( t) dt = f ¢( x) dx.

 

       Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.

 

       Однако, если х - независимая переменная, то

dx = Dx, но

если х зависит от t, то      Dх ¹ dx.

 

Таким образом, форма записи dy = f¢(x)Dx не является инвариантной.

       Пример. Найти производную функции .

 

Сначала преобразуем данную функцию:

 

       Пример . Найти производную функции .

 

 

       Пример . Найти производную функции

 

       Пример . Найти производную функции

 

 

       Пример . Найти производную функции

 

 

§7. Производные и дифференциалы высших порядков.

       Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную

       Если найти производную функции f¢(x), получим вторую производную функции f(x).

т.е. y¢¢ = (y¢)¢ или .

 

Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n.

.

 

Общие правила нахождения высших производных.

       Если функции u = f(x) и v = g(x) дифференцируемы, то

1) (Сu)⁽ⁿ⁾ = Cu⁽ⁿ⁾;

2) (u ± v)⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾ ± v⁽ⁿ⁾;

3)

.

       Это выражение называется формулой Лейбница.

 

Также по формуле dⁿy = f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ может быть найден дифференциал n- го порядка.

 

 

Формула Тейлора.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: