Ограниченные, монотонные последовательности.

       Определение. Последовательность {x_n} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

       Например, последовательности 2⁰), 3⁰), 4⁰), 5⁰) – ограниченные, а последовательность 1⁰) – неограниченная.

       Непосредственно из определения ограниченной последовательности и определения предела последовательности следует теорема:

Теорема. Если x_n ® a, то последовательность { x_n} ограничена.

 

Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

 

       Например, последовательность не имеет предела, хотя

       Определение. Последовательность {x_n}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что x_n £ M.

       Определение. Последовательность {x_n}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что x_n ³ M

       Пример. {x_n} = 3n – ограничена снизу {3, 6, 9, … }.

 

Монотонные последовательности.

 

       Определение. 1) Если x_n+1 > x_n для всех n, то последовательность возрастающая.

                    2) Если x_n+1 ³ x_n для всех n, то последовательность неубывающая.

                              3) Если x_n+1 < x_n для всех n, то последовательность убывающая.

                          4)Если x_n+1 £ x_n для всех n, то последовательность невозрастающая

 

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

 

       Пример. {x_n} = 1/n – убывающая и ограниченная

                   {x_n} = n – возрастающая и неограниченная.

 

       Пример. Доказать, что последовательность {x_n}=  монотонная возрастающая.

 

       Решение. Найдем член последовательности {x_n+1}=

Найдем знак разности: {x_n}-{x_n+1}=

, т.к. nÎN, то знаменатель положительный при любом n.

Таким образом, x_n+1 > x_n. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

 

       Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность

{x_n} = .

       Решение. Найдем . Найдем разность

, т.к. nÎN, то 1 – 4n <0, т.е. х_n+1 < x_n. Последовательность монотонно убывает.

 

Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.

 

       Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

 

       Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность

 

х₁ £ х₂ £ х₃ £ … £ х_n £ x_n+1 £ …

 

Эта последовательность ограничена сверху: x_n £ M, где М – некоторое число.

Т.к. любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет четкую верхнюю грань, то для любого e>0 существует такое число N, что x_N > a - e, где а – некоторая верхняя грань множества.

Т.к. {x_n}- неубывающая последовательность, то при N > n  а - e < x_N £ x_n,

x_n > a - e.

Отсюда a - e < x_n < a + e

-e < x_n – a < e или ôx_n - aô< e, т.е. lim x_n = a.

 

Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично.

Теорема доказана.

 

§3. Число е.

Рассмотрим последовательность {x_n} = .

Если последовательность {x_n} монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел.

По формуле бинома Ньютона:

или, что то же самое

Покажем, что последовательность {x_n} – возрастающая. Действительно, запишем выражение x_n+1 и сравним его с выражением x_n:

       Каждое слагаемое в выражении x_n+1 больше соответствующего значения x_n, и, кроме того, у x_n+1 добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность {x_n} возрастающая.

       Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: x_n < 3.

Итак, последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е.

Из неравенства  следует, что е £ 3. Отбрасывая в равенстве для {x_n} все члены, начиная с четвертого, имеем:

переходя к пределу, получаем

       Таким образом, число е заключено между числами 2,5 и 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа е.

Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно 2,71828…

Аналогично можно показать, что , расширив требования к х до любого действительного числа:

Предположим:                            

Найдем  

Число е является основанием натурального логарифма.

Выше представлен график функции y = lnx.

 

Связь натурального и десятичного логарифмов.

 

       Пусть х = 10^у, тогда lnx = ln10^y , следовательно lnx = yln10 

 у = , где М = 1/ln10 » 0,43429…- модуль перехода.

§4. Понятие предела функции.

4.1. Предел функции в точке.

                                            y                                 f(x)

 

                                              

                                        A + e

                                             A

                                         A - e

 

                                                      0                 a - D a a + D x

 

       Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

 

       Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что

 ïx - aï < D

верно неравенство                           ïf(x) - Aï< e.

 

       То же определение может быть записано в другом виде:

Если а - D < x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.

 

Запись предела функции в точке:

Основные теоремы о пределах.

       Теорема 1. , где С = const.

       Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а.

       Теорема 2.

Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.

       Теорема 3.

       Следствие.

       Теорема 4.     при

       Теорема 5. Если f( x)>0 вблизи точки х = а и , то А>0.

Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.

 

       Теорема 6. Если g( x) £ f( x) £ u( x) вблизи точки х = а и , то и .

       Определение. Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что ïf(x)ï<M вблизи точки х = а.

       Теорема 7. Если функция f( x) имеет конечный предел при х ®а, то она ограничена вблизи точки х = а.

           

Доказательство. Пусть , т.е. , тогда

 или

, т.е.

где М = e + ïАï

Теорема доказана.

4.2. Односторонние пределы.

       Определение. Если f(x) ® A₁ при х ® а только при x < a, то  - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A₂ при х ® а только при x > a, то  называется пределом функции f(x) в точке х = а справа.

 

                                                                  у

                                                                                                                 f(x)

 

                                                                  А₂

 

                                                                  А₁

 

                                                                  0       a                               x

           

 

 

Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

           

Пределы А₁ и А₂ называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).

4.3.Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.

       Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®¥, если для любого числа e>0 существует такое число М>0, что для всех х, ïхï>M выполняется неравенство

При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности.

Записывают:  

                                              

       Графически можно представить:                                     

       y                                                                      y

 

 

       A                                                                     A

 

       0                                                                      0

                                                      x                                                                   x

 

 

       y                                                                      y

 

       A                                                                     A

 

       0                                                                      0

                                                      x                                                                       x

 

Аналогично можно определить пределы  для любого х>M и

 для любого х<M.

 

 

4.4. Бесконечно малые функции.

 

       Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если .

       Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.

       Пример. Функция f(x) = xⁿ является бесконечно малой при х®0 и не является бесконечно малой при х®1, т.к. .

       Теорема. Для того, чтобы функция f( x) при х ®а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие

f( x) = A + a( x),

где a(х) – бесконечно малая при х ® а ( a(х) ®0 при х ® а).

 

       Свойства бесконечно малых функций:

1) Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

2) Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

3) Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х®а.

4) Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.

 

Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах, приведенных выше.

Доказательство теоремы 2. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где

, тогда

f(x) ± g(x) = (A + B) + a(x) + b(x)

A + B = const, a(х) + b(х) – бесконечно малая, значит

Теорема доказана.

Доказательство теоремы 3. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где

, тогда

A×B = const, a(х) и b(х) – бесконечно малые, значит

Теорема доказана.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: