Свойства функций, заданных в евклидовом пространстве.

Многие понятия, определенные для функции одной переменной, почти без изменения переносятся на функции нескольких переменных, заданных в евклидовом пространстве. Так, функция одной переменной может быть четной, нечетной, возрастающей, убывающей, ограниченной и т.д. Как выглядят эти понятия для функции нескольких переменных?

Прежде чем дать определение возрастающей (убывающей) функции на множестве Е^п, должно быть определено отношение порядка: Х₁ < Х₂  понимается как строгое неравенство для всех компонент векторов: x₁¹< x₁², x₂¹< x₂², . . . , x_n¹< x_n². Тогда определение возрастающей (убывающей) функции нескольких переменных полностью аналогично соответствующему определению для функции одной переменной:

Определение. Функция y( X) называется возрастающей (убывающей) на множестве D Ì Е^п, если "Х₁, Х₂ Î D, таких что Х₁ < Х₂ следует, что y( X₁) < y( X₂) ( y( X₁)> y( X₂)); функция y( X) называется неубывающей (не возрастающей) на множестве D Ì Е^п, если "Х₁, Х₂ Î D, таких что Х₁ £ Х₂ следует, что y( X₁) £ y( X₂) ( y( X₁) ³ y( X₂)).

Определение. Функция f( X), область определения которой ( D( f)) симметрична относительно нуля называется четной (нечетной), если f(- X) = f( X) ( f(- X) = - f( X)) для любого X Î D( f).

Определение. Функция f( X) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве D, если существует такое число m, что f( X) £ m ( f( X) ³ m) " X Î D.

Определение. Функция f( X), ограниченная и сверху и снизу на множестве D называется ограниченной на этом множестве, если m₁ £ f( X) £ m₂, " X Î D (m₁, m₂ – некоторые числа).

Определение. Функция f( X) называется выпуклой (вогнутой ) на выпуклом множестве D, если "Х₁, Х₂ Î D и любого числа 0 £ l £ 1 верно, что f( l X₁ + (1- l) X₂) £ l f( X₁) + (1- l) f( X₂) ( f( l X₁ + (1- l) X₂) ³ l f( X₁) + (1- l) f( X₂)) .

Замечание. Из функции нескольких переменных можно получить несколько функций одной переменной: пусть функция y = f( x₁, x₂, . . . , x_n) – функция n переменных. Зафиксируем значения переменных x₂ = x₂⁰, x₃ = x₃⁰, . . . , x_n = x_n⁰, а х₁ – пусть изменяется. Тогда получим функцию одной переменной: y₁ = f( x₁, x₂⁰, x₃⁰, . . . , x_n⁰) = y₁( x₁). Аналогично можно получить функцию y₂( x₂), зафиксировав значения переменных х₁, х₃, . . . ,х _n, и т.п. Значит, выражение «функция y = f( x₁, x₂, . . . , x_n) возрастает по х₁» означает, что возрастает функция y₁( x₁) при x₂ = x₂⁰, x₃ = x₃⁰, . . . , x_n = x_n⁰.

Графическое изображение функции более чем двух переменных невозможно. В случае же если функция f – функция двух переменных x и y, а значения ее z, то z = f( x, y) и график этой функции – поверхность в пространстве R³, состоящая из точек ( x, y, z), где ( x, y) Î D( f) (D( f) – область определения функции).

Например.

1) z = x² + y² – параболоид.

Область определения D( z) – множество всех точек плоскости OXY.

Область значений E( z): [0; + ¥).   Z  

 

 

 

                                                 

                                                                                                              Y

                                                               О

 

                             X

2)  - эллиптический конус.

Область определения D( z) – множество всех точек плоскости OXY.

Область значений E( z): (-¥; + ¥). Z

                                                          

 

 

                                                             O                         Y

 

                              X

                                                      

 

 

3) x² + y² + z² = R² – сфера с центром в точке О(0;0;0) и радиуса R.

                                                          Z

 

 

                                                               O                     Y

 

                              X

4)  - эллипсоид с центром в точке О(0;0;0).

                                                                       Z                                                                               

                                                                                                               Y

                                                               O                   O

 

                                                X

 

Для образного представления функции многих переменных используются линии заданного уровня.

Определение. Линией уровня функции двух переменных z = f( x, y) называется плоская кривая, получаемая при пересечении графика этой функции с плоскостью, параллельной плоскости OXY: z = C, где C = const.

Из определения следует, что линия уровня – это линия, в каждой точке которой значение функции не изменяется ( = С ).

Обычно линии уровня, соответствующие различным значениям С, проецируются на плоскость OXY, тогда с их помощью можно исследовать характер поверхности, описываемой функцией z = f( x, y). Т.о. линии уровня функции z = f( x, y) – это семейство кривых на координатной плоскости OXY, описываемые уравнениями вида f( x, y)= С.

 

Аналогично вводится понятие поверхности уровня для функции n переменных:

Пусть y = f( x₁, x₂, . . . , x_n) – функция n переменных и С – какое-либо число, тогда f( x₁, x₂, . . . , x_n) = С – уравнение поверхности уровня С.

В частности, если n = 3: u = f( x, y, z) – функция 3-х переменных, то уравнение поверхности этой функции уровня C: f( x, y, z)=С – это уравнение поверхности в 3-ех мерном пространстве

 

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться: