Уравнение Гельмгольмца для плоской ЭМ волны в однородном диэлектрике

В физике колебательное движение непрерывной среды принято называть волновым процессом

Можно доказать волновой характер эл. поля математически ,сводя уравнения Максвелла к другим уравнениям ,которые описывают волновой процесс.

Рассмотрим эл. поле в некоторой области пространства ,где плотность зарядов отсутствует т.е. ρ=0.

Плотность сторонних эл.токов также равна 0.

Выпишем два уравнения

Применим операцию rot к левой и правой частям второго уравнения, а затем выразим полученную правую часть первое уравнение

 

 

Здесь в общем случае комплексное число, являющееся постоянной распространения электромагнитной волны. Для величины γ можно встретить также названия фазовая постоянная или волновое число.

Дальнейшее преобразование формулы можно осуществить, если воспользоваться известным тождест­вом векторного анализа:

Здесь ² (читается „набла квадрат") — векторный диф­ференциальный оператор второго порядка, конкретная форма которого полностью определяется той координат­ной системой, в которой проводятся вычисления. В де­картовой координатной системе действие оператора ² сводится к тому, что к каждой из проекций векторного поля применяется оператор Лапласа

Если воспользоваться законом Гаусса, который в со­ответствии с принятым условием ρ=0 обеспечивает div E’= 0, то уравнение может быть записано в следующем виде:

Пользуясь симметрией уравнений Максвелла, совер­шенно аналогично получаем также уравнение относи­тельно векторного поля Н:

Предыдущие 2-а уравнения носят название уравнений Гельмгольца по име­ни выдающегося немецкого физика Г. Гельмгольца. Можно показать, что эти уравнения опи­сывают стационарные волновые процессы, т. е. распро­странение в пространстве волн с некоторой постоянной частотой.

В координатной форме уравнение Гельмгольца записывается следующим образом:

или

 

Свойства плоской волны..

Рассмотрим безграничное трехмерное пространство с декартовой системой координат х, у,z ,в каждой точке которого задана некоторая величина А (физическая природа ее безразлична), которая во време­ни и в пространстве меняется по закону

При этом говорят, что в пространстве существует монохроматическая плоская волна. Аргумент косинуса, т. е ωt±βz,называемый обычно фазой волны, является функцией времени t и пространственной координаты z.

Если зафиксировать г, то величина А принимает те же самые значения через промежутки времени, кратные пе­риоду T=2π/ω. Если же фиксировано время, то величи­на А изменяется периодически вдоль оси Z с периодом λ , называемым длиной волны. Легко видеть, что величи­ны λ и β связаны друг с другом:

Число β служит важнейшей характеристикой волнового процесса и носит название постоянной распро­странения волны. Употребляются также термины фазовая постоянная и волновое число. Физиче­ский смысл величины β состоит в том, что она указывает, на сколько радиан изменяется фаза волны при прохож­дении одного метра пути.

Наличие двух возможных знаков в формуле связано с тем, что плоские волны могут распространять­ся в двух противоположных направлениях. Назовем по­верхность, удовлетворяющую уравнению

волновым фронтом плоской волны Очевидно, что в рассматриваемом случае волновые фронты представля­ют собой бесконечные плоскости, перпендикулярные оси г и перемещающиеся в пространстве со скоростью

носящей название фазовой скорости.

общий вид уравнение Гельмгольца для данной системы

где A1, A2— произвольные комплексные,
постоянные.                                                                               

Положим для определенности A2 = 0, тогда

Сравнивая вид решения с формулами A+=A0e-jβz и

A-=A0e+ jβz убеждаемся, что оно изображает сумму двух волн с одинаковыми постоянными распространения γ, распро­страняющихся в разные стороны вдоль оси z.

Положим для определенности A2 = 0, тогда

Найдем магнитный вектор в данной плоской волне. Для этого воспользуемся вторым уравнением Максвелла

откуда следует

Раскрывая операцию rot, убеждаемся, что

Итак, вектор магнитного поля в данной плоской волне имеет лишь составляющую Ну и, следовательно, перпендикулярен к вектору электрического поля

Между составляющими электрического и магнитного полей существует пропорциональность:

Вывод состоит в том, что при от­сутствии потерь в среде, т. е. при γ вещественном, поля Eи Н колеблются в фазе. Плоская электромагнитная волна в среде без потерь переносит только активную мощность.

Zc = = U/I называется характеристическим (волновым) сопротивлением данной линии.

Здесь Zc— некоторая постоянная, имеющая размерность сопротивления и называемая характеристическим (волновым) сопротивлением дайной среды. Из развернутого выражения для γ следует, что

Параметром, очень важным для расчетов, является характеристическое сопротивление вакуума

 

Z0=120π

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: