Дискретные случайные величины.

Случайные величины

Наряду со случайными событиями одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины.

Случайной называют величину, которая в результате испытания может принять одно и только одно численное значение, заранее не известное и зависящее от случайных факторов, которые заранее не могут быть учтены.

Примерами случайных величин могут быть: 1) число очков, выпадающих при бросании игрального кубика - целое, положительное число от 1 до 6; 2) число выстрелов до первого попадания в цель – также целое положительное число от 1 до ∞; 3) расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия положительное вещественное число из некоторого промежутка (а, b).

Обозначают случайные величины прописными буквами латинского алфавита X, Y, Z и другими [в некоторых учебниках - греческими буквами – ξ (кси), η (эта), ζ (дзета) и другими], а их возможные значения – х, у, z, снабжая их при необходимости индексами.

В зависимости от возможных значений все случайные величины можно разбить на два типа: дискретные и непрерывные.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные одно от другого возможные значения, между которыми нет других возможных значений этой случайной величины. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным. Например: 1) число, выпавшее при игре в рулетку – целые положительные числа, равные 0, 1, 2, …, 38; 2) число выстрелов до первого попадания в цель – также целое положительное число от 1 и более.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все возможные значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Например, путь, пройденный автомобилем за данный промежуток времени.

Дискретные случайные величины.

Числовые характеристики случайной величины

В ряде случаев пользуются некоторыми суммарными характеристиками случайной величины. К важнейшим из них относятся математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание

Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности (2.4)

Подчеркнем, что математическое ожидание случайной величины есть некоторое число (постоянная, неслучайная величина).

Пример 2.5. Закон распределения случайной величины задан таблично. Найти математическое ожидание.

X	0	1	2
р	0,08	0,44	0,48

Решение. По определению

М(ξ) = 0 ∙ 0,08 + 1 ∙ 0,44 + 2 ∙ 0,48 = 1,4.

Для понимания очень полезна механическая аналогия. Трактуя возможные значения случайной величины как координаты точек на оси, а соответствующие им вероятности – как некоторые (вероятностные) массы, можно заметить, что математическое ожидание является аналогом понятия центра массы, то есть является тем «средним, центральным» значением, вокруг которого распределены все возможные значения случайной величины.

Пример 2.6. Согласно американским статистическим таблицам смертности, вероятность того, что 25-летний человек проживет еще год, равна 0,992 (следовательно, вероятность того, что он умрет, равна 0,008). Страховая компания предлагает такому человеку застраховать свою жизнь на год на сумму 1000$; страховой взнос равен 10$. Найти математическое ожидание прибыли компании.

Решение. Величина прибыли Х есть случайная величина со значениями +10$ (если застрахованный человек не умрет). Составим таблицу распределения вероятностей:

х	+10	-990
р	0,992	0,008

МХ = 10 ∙ 0,992 – 990 ∙ 0,008 = 2.

Ожидаемая средняя прибыль положительна, что дает возможность страховой компании продолжать дело, оставлять резервный капиталь для выплаты страховых сумм, производить административные расходы, получать прибыль.

Пример 2.7. Игра в рулетку. На колесе рулетки имеется 38 одинаково расположенных гнезд, которые нумеруются так: 00, 0, 1, 2, …, 35, 36. Игрок может поставить 1 доллар на любой номер. Если его номер выиграл, игрок получает 36$ (35$ выигрыша плюс 1$ ставки). Найти математическое ожидание выигрыша игрока.

Решение. Составим таблицу распределения вероятностей:

х	-1	+35
р	37/38	1/38

Игра не является «справедливой», игорный дом, как и страховая компания, обеспечивает себе средний доход на «накладные расходы» и риск.

Пример 2.8. За дом внесен страховой взнос 200 рублей. Вероятность ему сгореть в данной местности для такого типа домов оценивается, как 0,01. В случае, если дом сгорит, страховая компания должна выплатить за него 10000 рублей. Какую прибыль в среднем ожидает получить компания? На какую прибыль сможет рассчитывать компания, если для получения страховой суммы в размере 10000 рублей она будет брать взнос 100 рублей?

Решение. Ожидаемая средняя прибыль для взноса 200 рублей:

М(Х) = – 9800 ∙ 0,01 + 200 ∙ 0,99 = – 98 + 198 = 100.

То же для страхового взноса 100 рублей:

М(Х) = – 9900 ∙ 0,01 + 100 ∙ 0,99 = – 99 + 99 = 0.

– такая работа компании называлась бы справедливой, но у нее не только бы отсутствовала прибыль, но и не было бы денег на административные расходы.

Как правило, приходится вычислять математические ожидания много более сложных случайных величин. Так, например, страховые расчеты производятся не за один год, а за много лет, и надо учитывать ежегодную прибыль от вкладов и т.д. при этом помогает знание свойств этой характеристики.

ДР-2.3 (Письменный, с. 77, № 2.4)

Дисперсия.

Итак, математическое ожидание является тем «средним» значением, вокруг которого распределены все возможные значения случайной величины. Однако знание среднего значения случайной величины для большинства задач недостаточно, так как значения случайных величин при одинаковом среднем могут быть совершенно разными, например, одна может меняться в узких пределах, а вторая – в широких. То есть, случайные величины могут иметь разные разбросы относительно их математического ожидания. Приведем в качестве примера графики некоторых распределений, имеющих одинаковое среднее, равное нулю, и разные разбросы (рис.2.3).

На всех графиках нас интересует разброс СВ вокруг среднего (в нашем примере оно равно нулю; если это не так, картинка только сдвигается).

Следовательно, необходимо иметь еще количественную характеристику разброса возможных значений случайной величины относительно математического ожидания. Для этого рассмотрим разность(х– а) – отклонение возможного значения случайной величины от ее математического ожидания. Однако, знание просто величины разброса СВ недостаточно, нужно ещё оценить, с какой вероятностью этот разброс достигается.

Чтобы охарактеризовать разброс, рассеяние случайной величины, используются несколько показателей, но чаще всего применяют дисперсию D (Х) или среднеквадратическое (стандартное) отклонение

(б)

(в)

Рис. 2.3

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания

D ( ξ ) = M (( ξ – a )²) (2.9)

или для ДСВ (2.10)

Для вычисления дисперсии часто оказывается полезной формула

D(ξ) = M(ξ)² – (М(ξ ))², (2.11)

для ДСВ (2.12)

Действительно

D(ξ) = M((ξ – a)²) = M(ξ² – 2aξ + a²) = M(ξ²) - M(2aξ) + M(a²) =

= M(ξ²) - 2a M(ξ) + a² = M(ξ²) - 2a² + a² = M(ξ²) - a² = M(ξ²) – (M(ξ²))².

Пример 2.11. Вычислим дисперсии распределений, приведенных на рис. 2.3:

а) 1∙ 1/8 + 1∙ 1/8 – 0 = 1/4 = 0,25;

б) 1∙ 1/3 + 1∙ 1/3 – 0 = 2/3 = 0,(6);

в) 1∙ 1/2 + 1∙ 1/2 – 0 = 1;

г) 4∙ 1/2 + 4∙ 1/2 – 0 = 4;

д) 4∙ 1/4 + 1∙ 1/4 + 1∙ 1/4 + 4∙ 1/4 – 0 = 2,5.

Самая большая дисперсия у 4-го распределения, когда все значения удалены от среднего на расстояние 2. Самая маленькая – у первого, когда математическое ожидание является наиболее вероятным значением.

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю D(C) = 0 (2.13)

Действительно: D(C) = М(С²) – (М(С))² = С² – С² = 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат D(C∙Х) = С² ∙ D(Х) (2.14)

Действительно: D(C∙Х) = М(С²∙Х²) – (М(С∙Х))² = С² М(Х²) – С²∙(М(Х))² =

= С² (М(Х²) –(М(Х))²) = С² D(Х).

3. Дисперсия суммы (разности) конечного числа независимых в совокупности случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых

(2.15)

Поскольку размерность дисперсии случайной величины равна квадрату размерности самой случайной величины, то в ряде случаев удобнее пользоваться корнем из дисперсии. Эта характеристика имеет ту же размерность, что и сама случайная величина, и ее называют среднеквадратическим отклонением (2.16)

Для распределений, приведённых на рис. 2.3, значения среднеквадратического отклонения равны: а) σ = 0,500; б) σ = 0,816; в) σ = 1,000; г) σ = 2,000; д) σ = 1,581. Отметим, что для четвертого распределения (рис. 2.3 - г), где все значения находились на расстоянии 2 от среднего, среднеквадратическое отклонение принимает наибольшее значение σ = 2.

Из свойств дисперсии немедленно следуют свойства среднеквадратического отклонения: σ(С) = 0; σ(С∙ξ) =|C|∙σ(ξ).

Домашнее задание: ДР-2.4 и 2.5 (Письменный, с. 83-84, № 1 и 2)

Биномиальное распределение

Среди законов распределения ДСВ наиболее распространенным является биномиальное распределение или распределение Бернулли, с которым мы уже встречались применительно к случайным событиям.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р (следовательно, вероятность непоявления q =1-p). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X - число появлений события А в этих испытаниях.

Поставим перед собой задачу: найти закон распределения величины X . Для ее решения требуется определить возможные значения X и их вероятности. Очевидно, событие А в п испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, ..., либо n раз. Таким образом, возможные значения X таковы: х₁=0, х₂=1, х₃=2,…, х _n ₊₁ = п. Остается найти вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли: (3.1)

Формула (3.1) является аналитическим выражением биномиального закона распределения Бернулли.

Закон назван «биномиальным» потому, что правую часть равенства (3.1) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

(р+ q ) ⁿ = pⁿ ∙+ pⁿ ^-1 ∙ q +…+ p^k ∙ qⁿ ^- ^k + … + ∙ qⁿ (3.2)

Таким образом, первый член разложения р ⁿ определяет вероятность наступления рассматриваемого события n раз в n независимых испытаниях; второй член npⁿ ^-1 q определяет вероятность наступления события n-1 раз; …; последний член qⁿ определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.

Напишем биномиальный закон распределения в виде таблицы:

X	п	п-1	…	k	…	0
Р	р^п	npⁿ ^- ^l q	...	p^k ∙ qⁿ ^- ^k	…	qⁿ

Пример 3.1. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины X — числа выпадений «герба».

Решение. Вероятность появления «герба» в каждом бросании монеты р=1/2, следовательно, вероятность непоявления «герба» q=1-p=1/2.

При двух бросаниях монеты «герб» может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. То есть, возможные значения Х таковы: х₁=2; х₂=1, х₃=0.

Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:

Р₂ (2) = p ² = (l/2)² = 0,25, Р₂ (1) = p ∙ q = 2∙(1/2) (1/2) = 0,5,

Р₂ (0) = q ² = (1/2)² = 0,25.

Напишем искомый закон распределения:

Контроль: 0,25+0,5+0,25=1.

0,25

0,5

0,25

Домашнее задание: ДР-3.1 (Письменный, с. 63, № 1)

Распределение Пуассона

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Если число испытаний n велико, а вероятность события р мала (р≤0,1), для вычисления вероятности появления события А ровно k раз пользуются асимптотической формулой Пуассона.

Поставим задачу следующим образом: найти закон распределения случайной величины X – числа появления события А в n испытаниях. Для ее решения требуется определить возможные значения X и их вероятности. Очевидно, событие А в п испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, ..., либо n раз. То есть, случайная величина X может принимать следующие значения: х₁=0, х₂=1, х₃=2,…, х _n ₊₁ = п. Для определения вероятности того, что в n опытах случайная величина Х примет значение х=m, можно воспользоваться формулой Бернулли:

После преобразований при np =λ= const (см. раздел 1.12.5) получим

(3.3)

Пример 3.2. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0, 0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

Решение. Поставленную задачу можно сформулировать в следующем виде: найти вероятность того, что случайная величина Х – число поврежденных в пути изделий равно 3. Воспользуемся асимптотической формулой Пуассона. По условию n=5000, p=0,0002, k =3. Найдем λ= np =5000∙0 , 0 002=1.

По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна

Случайной величины

Законом распределения вероятностей двумерной дискретной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, т.е пар чисел ( x_i , y_j ) и их вероятностей p ( x_i , y_j ) . Обычно закон распределения задают в виде таблицы с двойным входом (табл. 4.1).

Первая строка таблицы содержит все возможные значения составляющей Х, а первый столбец - все возможные значения составляющей У. в клетке, стоящей на пересечении «столбца x_i» и «строки y_j», указана вероятность p ( x_i , y_j ) того, что двумерная случайная величина примет значение ( x_i , y_j ).

Так как события (Х=x_i, У= y_j) образуют полную группу, то сумма вероятностей, помещённых во всех клетках таблицы, равна единице.

Таблица 4.1

Значения у	Значения х
Значения у	х₁	х₂	…	x_i	…	x_n
y₁	p ( x₁ , y₁ )	p ( x₂ , y₁ )	…	p ( x_i , y₁ )	…	p ( x_n , y₁ )
y₂	p ( x₁ , y₂ )	p ( x₂ , y₂ )	…	p ( x_i , y₂ )	…	p ( x_n , y₂ )
…	…	…	…	…	…	…
y_j	p ( x₁ , y_i )	p ( x₂ , y_i )	…	p ( x_i , y_j )	…	p ( x_n , y_j )
…			…		…
y_m	p ( x₁ , y_m )	p ( x₂ , y_m )	…	p ( x_i , y_m )	…	p ( x_n , y_m )

Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из её составляющих. Действительно, например, события (Х=х₁; У=у₁), (Х=х₁; У=у₂), …, (Х=х₁; У=у_m) несовместны, поэтому вероятность Р( x ₁ ) того, что Х примет значение х₁, по теореме сложения такова: Р( x ₁ )= p ( x ₁ , y ₁ )+ p ( x ₁ , y ₂ )+ … + p ( x ₁ , y_m ).

Таким образом, вероятность того, что Х примет значение х₁, равна сумме вероятностей «столбца x ₁». В общем случае, для того, чтобы найти вероятность Р(Х= x_i), надо просуммировать вероятности столбца x_i. Аналогично, сложив вероятности «строки y_j», получим вероятность Р(У=у _j).

Пример 4.2. Найти законы распределения составляющих двумерной случайной величины, заданной законом распределения (табл. 4.2.1).

Значе- ния y	Значения х
Значе- ния y	х₁	х₂	х₃
у₁	0,10	0,30	0,20
у₂	0,06	0,18	0,16

Решение. Сложив данные по столбцам, получим вероятности возможных значений Х, а именно: Р(х₁)=0,16; Р(х₂)=0,48; Р(х₃)=0,36. Закон распределения составляющей Х двумерной случайной величины имеет вид Х х₁х₂ х₃ Проверка:

Р 0,16 0,48 0,36 0,16+0,48+0,36=1.

Сложив вероятности по строкам, получим вероятности возможных значений У, а именно: Р(у₁)=0,60; Р(у₂)=0,40. Закон распределения составляющей У будет иметь вид:

У у₁у₂

Р 0,60 0,40 Проверка: 0,60+0,40= 1.

Случайной величины

Непрерывную двумерную случайную величину можно также задавать, пользуясь плотностью распределения вероятностей. Будем полагать, что функция распределения F ( x , y ) всюду непрерывна и имеет непрерывную частную производную второго порядка.

Плотностью совместного распределения вероятностей f ( x , y ) двумерной непрерывной случайной величины (Х, У) называют вторую смешанную частную производную от функции распределения:

Зная плотностью совместного распределения f(x,y), можно найти функцию распределения F(x,y) по формуле

Случайные величины

Дискретные случайные величины.

12 3 4 5 6 7 8 Следующая ⇒

Последнее изменение этой страницы: 2019-05-08; Просмотров: 213; Нарушение авторского права страницы