Биномиальное распределение

Среди законов распределения ДСВ наиболее распространенным является биномиальное распределение или распределение Бернулли, с которым мы уже встречались применительно к случайным событиям.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р (следовательно, вероятность непоявления q =1-p). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X - число появлений события А в этих испытаниях.

Поставим перед собой задачу: найти закон распределения величины X . Для ее решения требуется определить возможные значения X и их вероятности. Очевидно, событие А в п испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, ..., либо n раз. Таким образом, возможные значения X таковы: х₁=0, х₂=1, х₃=2,…, х _{n +1} = п. Остается найти вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли:        (3.1)

Формула (3.1) является аналитическим выражением биномиального закона распределения Бернулли.

Закон назван «биномиальным» потому, что правую часть равенства (3.1) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

    (р+ q ) ⁿ = pⁿ ∙+ p^{n -1} ∙ q +…+ p^k ∙ q^{n - k} + … +    ∙ qⁿ     (3.2)

Таким образом, первый член разложения р ⁿ определяет вероятность наступления рассматриваемого события n раз в n независимых испытаниях; второй член np^{n -1} q определяет вероятность наступления события n-1 раз; …; последний член qⁿ определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.

Напишем биномиальный закон распределения в виде таблицы:

X	п	п-1	…	k	…	0
Р	рп	npn - l q	...	pk ∙ qn - k	…	qn

Пример 3.1. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины X — числа выпадений «герба».

Решение. Вероятность появления «герба» в каждом бросании монеты р=1/2, следовательно, вероятность непоявления «герба» q=1-p=1/2.

При двух бросаниях монеты «герб» может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. То есть, возможные значения Х таковы: х₁=2; х₂=1, х₃=0.

 Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:

Р₂ (2) = p ² = (l/2)² = 0,25,     Р₂ (1) = p ∙ q = 2∙(1/2) (1/2) = 0,5,      

Р₂ (0) = q ² = (1/2)² = 0,25.

Напишем искомый закон распределения:

Контроль: 0,25+0,5+0,25=1.	Х	2	1	0
	Р	0,25	0,5	0,25

Домашнее задание: ДР-3.1 (Письменный, с. 63, № 1)

Распределение Пуассона

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Если число испытаний n велико, а вероятность события р мала (р≤0,1), для вычисления вероятности появления события А ровно k раз пользуются асимптотической формулой Пуассона.

Поставим задачу следующим образом: найти закон распределения случайной величины X – числа появления события А в n испытаниях. Для ее решения требуется определить возможные значения X и их вероятности. Очевидно, событие А в п испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, ..., либо n раз. То есть, случайная величина X может принимать следующие значения: х₁=0, х₂=1, х₃=2,…, х _{n +1} = п. Для определения вероятности того, что в n опытах случайная величина Х примет значение х=m, можно воспользоваться формулой Бернулли:

После преобразований при np =λ= const (см. раздел 1.12.5) получим

                                                                           (3.3)

Пример 3.2. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0, 0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

Решение. Поставленную задачу можно сформулировать в следующем виде: найти вероятность того, что случайная величина Х – число поврежденных в пути изделий равно 3. Воспользуемся асимптотической формулой Пуассона. По условию n=5000, p=0,0002, k =3. Найдем λ= np =5000∙0 , 0 002=1.

По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: