Функция распределения двумерной случайной величины

Рассмотрим двумерную случайную величину (Х,У) (безразлично, дискретную или непрерывную). Пусть (х, у) – пара действительных чисел.

Вероятность события, состоящего в том, что Х примет значение, меньшее х, и при этом У примет значение, меньшее у, обозначим через F (х,у). Если х и у будут изменяться, то, вообще говоря, будет изменяться и F (х,у), т.е. F (х,у) есть функция от х и у.

Функцией распределения двумерной случайной величины (Х,У) называют функцию F (х,у), определяющую для каждой пары чисел х,у вероятность того, что Х примет значение, меньшее х, и при этом У примет значение, меньшее у:

F ( x , y ) = P ( X < x , Y < y ).

Геометрически это равенство можно истолковать так: F (х,у) есть вероятность того, что случайная точка (Х, У) попадёт в бесконечный квадрант с вершиной (х, у), расположенный левее и ниже этой вершины (рис. 4.2).

Пример.4.3. Найти вероятность того, что в результате испытания составляющая Х двумерной случайной величины (Х,У) примет значение Х<2 и при этом составляющая У примет значение У<3, если известна функция распределения системы

Решение. По определению функция распределения двумерной случайной величины представляет собой F ( x , y ) = P ( X < x , Y < y ).

Положив х=2, у=3, получим искомую вероятность   P( X<2, Y<3)= F(2,3)=

Свойства функции распределения двумерной случайной величины

1. Функция распределения F ( x , y ) ограничена, т.е. 0≤ F (х,у) ≤ 1.

2. Функция F (х,у) не убывает по каждому из своих аргументов при фиксированном другом, т.е.

F (х₂,у)≥ F (х₁,у) при х₂>х₁

F (х,у₂)≥ F (х,у₁) при у₂>у₁

3. Если хотя бы один из аргументов обращается в -∞, то функция распределения F ( x , y ) равна нулю, т. е.

F (х, -∞) = F (-∞, у) = F (-∞,-∞) = 0

4. Если оба аргумента обращаются в +∞, то функция распределения F ( x , y ) равна нулю, т. е. F (+∞,+∞) = 1.

5. Если один из аргументов обращается в +∞, то функция распределения системы случайных величин становится функцией распределения С.В., соответствующей другому элементу, т.е.

F (х, +∞) = F ₁ ( x ) = F_X ( x ), F (+∞, y ) = F ₂ ( y ) = F_Y ( y )

6. F ( x , y ) непрерывна слева по каждому из своих аргументов, т.е.

                 

 

Плотность распределения вероятностей двумерной

Случайной величины

Непрерывную двумерную случайную величину можно также задавать, пользуясь плотностью распределения вероятностей. Будем полагать, что функция распределения F ( x , y ) всюду непрерывна и имеет непрерывную частную производную второго порядка.

Плотностью совместного распределения вероятностей f ( x , y ) двумерной непрерывной случайной величины (Х, У) называют вторую смешанную частную производную от функции распределения:

                          

Зная плотностью совместного распределения f(x,y), можно найти функцию распределения F(x,y) по формуле

                              

⇐ Предыдущая12345678

Поделиться: