Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной

                                 М(С) = С.                                             (2.5)

Действительно постоянную С можно рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую единственное значение С с вероятностью 1, поэтому М(С)=1∙С=С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания                        М(С∙ξ) = С∙М(ξ)                                  (2.6)

Поскольку при умножении на С возможные значения случайной величины также умножаются на С, при сохранении соответствующих вероятностей, то (2.6) следует из известных свойств суммы и интеграла.

Следующие свойства приведем без обоснования.

3. Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых

                                                            (2.7)

4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых в совокупности случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей

              М(ξ₁∙ξ₂∙ … ∙ξ_n) = М(ξ₁)∙М(ξ₂)∙ … ∙М(ξ_n)                 (2.8)

Пример 2.9. Задачу о страховке (пример 2.8) решим другим способом.

Считаем, что есть две случайные величины: Y – выигрыш 200 рублей с вероятностью 1 и Z – возможность проиграть 10000 рублей с вероятностью 0,01. Доход компании - случайная величина X = Y + Z.

Для взноса 200 рублей:

                   MX = MY + MZ = - 10000∙0,01 + 200 = 100;

Для взноса 100 рублей:

MX = MY + MZ = - 10000∙0,01 + 100 = 0. (справедливая игра).

Пример 2.10. Фермер считает, что принимая во внимание различные потери и колебания цен, он сможет выручить не более 60 центов за десяток яиц, потерять не более 20 центов за десяток и что вероятности возможных выигрышей и потерь таковы:

Цена за 10 яиц	0,6	0,4	0,2	0	- 0,2
Р	0,2	0,5	0,2	0,06	0,04

Как оценить ожидаемую прибыль от продажи десятка яиц; от ожидаемых им в этом году 10 000 яиц?

Решение. Х – случайная величина, прибыль от продажи 10 яиц.

                   МХ = 0,6∙0,2 + 0,4∙0,5 +0,2∙0,2 + 0∙0,06 - 0,2∙0,04 = 0,352.

                   М10000Х = 10000∙0,352 = 3520$.

Домашнее задание: ДР-2.2 (Гмурман, с. 83, № 3)

ДР-2.3 (Письменный, с. 77, № 2.4)

Дисперсия.

Итак, математическое ожидание является тем «средним» значением, вокруг которого распределены все возможные значения случайной величины. Однако знание среднего значения случайной величины для большинства задач недостаточно, так как значения случайных величин при одинаковом среднем могут быть совершенно разными, например, одна может меняться в узких пределах, а вторая – в широких. То есть, случайные величины могут иметь разные разбросы относительно их математического ожидания. Приведем в качестве примера графики некоторых распределений, имеющих одинаковое среднее, равное нулю, и разные разбросы (рис.2.3).

На всех графиках нас интересует разброс СВ вокруг среднего (в нашем примере оно равно нулю; если это не так, картинка только сдвигается).

Следовательно, необходимо иметь еще количественную характеристику разброса возможных значений случайной величины относительно математического ожидания. Для этого рассмотрим разность(х– а) – отклонение возможного значения случайной величины от ее математического ожидания. Однако, знание просто величины разброса СВ недостаточно, нужно ещё оценить, с какой вероятностью этот разброс достигается.

Чтобы охарактеризовать разброс, рассеяние случайной величины, используются несколько показателей, но чаще всего применяют дисперсию D (Х) или среднеквадратическое (стандартное) отклонение

(б)

(в)

 

 

                                 Рис. 2.3                                                                    

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания

                  D ( ξ ) = M (( ξ – a )²)                                                   (2.9)

или для ДСВ                            (2.10)

Для вычисления дисперсии часто оказывается полезной формула

              D(ξ) = M(ξ)² – (М(ξ ))²,                                                    (2.11)

для ДСВ                                           (2.12)

Действительно

D(ξ) = M((ξ – a)²)    = M(ξ² – 2aξ + a²) = M(ξ²) - M(2aξ) + M(a²) =

   = M(ξ²) - 2a M(ξ) + a² = M(ξ²) - 2a² + a² = M(ξ²) - a² = M(ξ²) – (M(ξ²)) ².

Пример 2.11. Вычислим дисперсии распределений, приведенных на рис. 2.3:

а) 1∙ 1/8 + 1∙ 1/8 – 0 = 1/4 = 0,25;

б) 1∙ 1/3 + 1∙ 1/3 – 0 = 2/3 = 0,(6);

в) 1∙ 1/2 + 1∙ 1/2 – 0 = 1;

г) 4∙ 1/2 + 4∙ 1/2 – 0 = 4;

д) 4∙ 1/4 + 1∙ 1/4 + 1∙ 1/4 + 4∙ 1/4 – 0 = 2,5.

Самая большая дисперсия у 4-го распределения, когда все значения удалены от среднего на расстояние 2. Самая маленькая – у первого, когда математическое ожидание является наиболее вероятным значением.

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю D(C) = 0      (2.13)

Действительно: D(C) = М(С²) – (М(С))² = С² – С² = 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат D(C∙Х) = С² ∙ D(Х)                                                 (2.14)

Действительно: D(C∙Х) = М(С²∙Х²) – (М(С∙Х))² = С² М(Х²) – С² ∙(М(Х))² =

= С² (М(Х²) –(М(Х))²) = С² D(Х).

3. Дисперсия суммы (разности) конечного числа независимых в совокупности случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых

                                                               (2.15)

Поскольку размерность дисперсии случайной величины равна квадрату размерности самой случайной величины, то в ряде случаев удобнее пользоваться корнем из дисперсии. Эта характеристика имеет ту же размерность, что и сама случайная величина, и ее называют среднеквадратическим отклонением                                                        (2.16)

Для распределений, приведённых на рис. 2.3, значения среднеквадратического отклонения равны: а) σ = 0,500; б) σ = 0,816; в) σ = 1,000; г) σ = 2,000; д) σ = 1,581. Отметим, что для четвертого распределения (рис. 2.3 - г), где все значения находились на расстоянии 2 от среднего, среднеквадратическое отклонение принимает наибольшее значение σ = 2.

Из свойств дисперсии немедленно следуют свойства среднеквадратического отклонения: σ(С) = 0; σ(С∙ξ) =|C|∙σ(ξ).

Домашнее задание: ДР-2.4 и 2.5 (Письменный, с. 83-84, № 1 и 2)

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: