Понятие о системе нескольких случайных величин

До сих пор мы рассматривали случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом. Такие СВ называются одномерными. Например, число очков, которое может выпасть при бросании одного игрального кубика – дискретная одномерная СВ; расстояние от орудия до места падения снаряда – непрерывная СВ.

На практике часто приходится иметь дело с двумя, тремя и большим числом СВ или случайными величинами, возможные значения которых определяются двумя, тремя, … n числами. Такие величины называются, соответственно, двумерными, трёхмерными, …, n-мерными СВ. Например, 1) точка попадания снаряда характеризуется системой (Х, Y) двух случайных величин – абсциссой Х и ординатой Y. 2) успеваемость наугад взятого студента характеризуется системой n случайных величин (Х₁, Х₂, …, Х_n) - оценками, проставленными в его зачётной книжке.

Упорядоченный набор (Х₁,Х₂,…,Х_n) случайных величин , заданных на одном и том же пространстве элементарных событий (ПЭС) Ὠ, называется n -мерной случайной величиной или  системой n случайных величин. Например, трехмерная случайная величина (Х, У, Z) определяет систему трёх случайных величин Х, У и Z.

Пример 4.1. Станок-автомат штампует стальные плитки. Если контролируемыми является длина Х и ширина У, то имеем двумерную случайную величину; если же контролируется и высота Z, то имеем трехмерную величину (Х, У, Z).

Двумерную случайную величину (Х, У) геометрически можно истолковать либо как случайную точку М(Х, У) на плоскости (т.е. как точку со случайными координатами), либо как случайный вектор Трёхмерную случайную величину, соответственно, геометрически можно интерпретировать либо как случайную точку М(Х, У, Z)в трёхмерном пространстве, либо как случайный вектор

Целесообразно различать дискретные (составляющие этих величин дискретны) и непрерывные (составляющие этих величин непрерывны) многомерные случайные величины.

Закон распределения вероятностей дискретной двумерной

Случайной величины

Законом распределения вероятностей двумерной дискретной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, т.е пар чисел ( x_i , y_j ) и их вероятностей p ( x_i , y_j ) . Обычно закон распределения задают в виде таблицы с двойным входом (табл. 4.1).

Первая строка таблицы содержит все возможные значения составляющей Х, а первый столбец - все возможные значения составляющей У. в клетке, стоящей на пересечении «столбца x_i» и «строки y_j», указана вероятность p ( x_i , y_j ) того, что двумерная случайная величина примет значение ( x_i , y_j ).

Так как события (Х=x_i, У= y_j)  образуют полную группу, то сумма вероятностей, помещённых во всех клетках таблицы, равна единице.

Таблица 4.1

Значения у	Значения х
	х1	х2	…	xi	…	xn
y1	p ( x1 , y1 )	p ( x2 , y1 )	…	p ( xi , y1 )	…	p ( xn , y1 )
y2	p ( x1 , y2 )	p ( x2 , y2 )	…	p ( xi , y2 )	…	p ( xn , y2 )
…	…	…	…	…	…	…
yj	p ( x1 , yi )	p ( x2 , yi )	…	p ( xi , yj )	…	p ( xn , yj )
…			…		…
ym	p ( x1 , ym )	p ( x2 , ym )	…	p ( xi , ym )	…	p ( xn , ym )

Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из её составляющих. Действительно, например, события (Х=х₁; У=у₁), (Х=х₁; У=у₂), …, (Х=х₁; У=у_m) несовместны, поэтому вероятность Р( x ₁ ) того, что Х примет значение х₁, по теореме сложения такова:        Р( x ₁ )= p ( x ₁ , y ₁ )+ p ( x ₁ , y ₂ )+ … + p ( x ₁ , y_m ).

Таким образом, вероятность того, что Х примет значение х₁, равна сумме вероятностей «столбца x ₁». В общем случае, для того, чтобы найти вероятность Р(Х= x_i), надо просуммировать вероятности столбца x_i. Аналогично, сложив вероятности «строки y_j», получим вероятность Р(У=у _j).

Пример 4.2. Найти законы распределения составляющих двумерной случайной величины, заданной законом распределения (табл. 4.2.1).

Значе- ния y	Значения х
	х1	х2	х3
у1	0,10	0,30	0,20
у2	0,06	0,18	0,16

 

Решение. Сложив данные по столбцам, получим вероятности возможных значений Х, а именно: Р(х₁)=0,16; Р(х₂)=0,48; Р(х₃)=0,36. Закон распределения составляющей Х двумерной случайной величины имеет вид   Х    х₁      х₂    х₃               Проверка:

Р  0,16 0,48 0,36         0,16+0,48+0,36=1.

Сложив вероятности по строкам, получим вероятности возможных значений У, а именно: Р(у₁)=0,60; Р(у₂)=0,40. Закон распределения составляющей У будет иметь вид:

У    у₁      у₂

Р  0,60 0,40                                     Проверка: 0,60+0,40= 1.

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: