Информатика и вычислительная техника»

Приходовский М.А.

Математика - 1 семестр

Курс лекций

Учебное пособие

Для специальностей

Информатика и вычислительная техника»

Инфокоммуникационные технологии и системы связи»

Радиоэлектронные системы и комплексы»

Томск

ТУСУР

2019

       Настоящее электронное учебное пособие составлено по материалам лекций в группах 589-1, 2, 3, 129, 1В9 осенью 2019 года.

 

Оглавление по темам

Глава 1. МАТРИЦЫ......................................................................... § 1. Действия над матрицами........................................................... § 2. Определители............................................................................ § 3. Обратная матрица...................................................................... § 4. Ранг матрицы.............................................................................. § 5. Элементы векторной алгебры................................................... Глава 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ........................ § 1. Введение, основные методы решения...................................... § 2. Системы линейных однородных уравнений........................... Глава 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ..............................................  § 1. Линейный оператор и его матрица.......................................... § 2. Собственные векторы................................................................ § 3. Квадратичные формы................................................................ Глава 4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ................................. § 1. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве................. § 2. Прямая в пространстве.............................................................. § 3. Кривые и поверхности............................................................... Глава 5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.............. §1. Множества и функции................................................................ §2. Пределы....................................................................................... §3. Бесконечно-малые и бесконечно-большие.............................. §4. Непрерывность и точки разрыва............................................... Глава 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ...................... §1. Введение, основные методы...................................................... 2. Частные производные и градиент............................................... §3. Уравнение касательной, формула Тейлора.............................. §4. Экстремумы и строение графика функции.............................. §5. Основные теоремы дифф. исчисления......................................

5 5 11 22 25 30 33 33 41

 

Оглавление по номерам лекций

Лекция № 1. 04.09.2019........................................................ Лекция № 2. 10.09.2019........................................................ Лекция № 3. 11.09.2019........................................................ Лекция № 4.    18.09.2019........................................................ Лекция № 5. 24.09.2019........................................................ Лекция № 6. 25.09.2019........................................................

5 16 25 33 41

 

 

ЛЕКЦИЯ № 1. 04.09.2019

Вводная часть. Отразмерности пространства зависят свойства распространения различных типов волн.

Сейсмические волны: энергия распределяется по сфере в 3-мерных породах, соответственно, убывает со скоростью  .

Цунами: по поверхности воды, энергия распределяется по окружности, убывает со скоростью .

При меньшей кинетической энергии, цунами разрушительно на более далёких расстояних, так как убывание энергии медленнее из-за размерности.

Глава 1. МАТРИЦЫ.

Действия над матрицами.

Объединение информации о нескольких векторах в прямоугольную таблицу, называемую матрицей. Важность роли матриц в геометрии.

Пусть в плоскости даны 2 вектора, каждый имеет по 2 координаты, тогда можно построить матрицу 2 порядка.

Матрица, соответствующая этой векторной системе .

Аналогично, если дано 3 вектора в пространстве - можно построить матрицу 3 порядка.

 

Понятие определителя 2-го порядка. Если дана матрица , то число  называется определителем этой матрицы.

Обозначается: .

(произведение элементов главной диагонали, минус произведение элементов побочной диагонали).

 

Геометрический смысл: модуль определителя равен площади параллелограмма, сторонами которого являются 2 вектора, координаты которых расположены по строкам (либо столбцам) матрицы.

 

Если бы мы просто вычисляли площадь параллелограмма, построенного на векторах (2, 1) и (1, 2), где ни один вектор не расположен вдоль координатной оси, то понадобилось бы найти длину основания, затем высоту. А с помощью определителя, S вычисляется гораздо короче.

Пример. .   

 

Оказывается, что модуль этой величины соответствует площади параллелограмма, построенного на основе двух векторов , .

Докажем этот факт.    Доказательство (ДОК 1).   

Построим чертёж.

Перенесём закрашенную зелёным часть вниз, теперь мы уже получили такой прямоугольник, у которого одна сторона лежит на оси. Его высота . Длина основания это разность , где абсциссу  можно найти, вычислив с посощью пропорции, ведь вектор  пропорционален вектору . . Тогда произведение основания на высоты равно  = .

Если векторы поменять местами, то определитель сменит знак,

, тогда не сама величина, а её модуль равен площади параллелограмма.

 

Теперь рассмотрим произвольные матрицы.

Определение матрицы.  Матрицей размера  называется прямоугольная таблица, состоящая из чисел (либо других объектов, например, функций), содержащая m строк и n столбцов.

Каждый элемент обозначается , где  это номер строки, в которой он расположен, а  - номер столбца.

       Обратите внимание: количество строк - это то же самое, что количество элементов в столбце, а количество столбцов равно  количеству элементов в строке (заметим, что от каждого элемента 1-й строки начинается столбец, то есть сколько чисел в строке, столько и столбцов).

       Если , то есть матрица А имеет размер то она называется квадратной матрицей порядка n.

Примеры матриц из жизни:

1. Таблица результатов ЕГЭ по нескольким предметам в группе учеников.

2. Расписание занятий. День недели и номер пары, каждый элемент - номер аудитории в этот день в это время.

Сложение и вычитание матриц размера .

Эти операции определяются поэлементно, то есть суммируется или вычитается каждая соответствующая пара элементов  и .

Пример: +  =  .  

Умножение матрицы на константу определяется следующим образом. В матрице   все элементы умножены на коэффициент , то есть равны .

Транспонирование матрицы. Это довольно простая операция, и она вводится так. Если все пары элементов  и  поменять местами, то получившаяся матрица называется транспонированной, она обозначается .

Умножение двух матриц.

* Надо вспомнить из школьного курса операцию скалярного произведения двух векторов:

Если даны две матрицы, одна размера , другая , то их размеры называются согласованными. Такие матрицы можно умножать друг на друга.

Операция умножения матриц определяется следующим образом. Мысленно разобьём первую матрицу на строки, вторую - на столбцы. Для каждой строки 1-й матрицы и каждого столлбца 2-й матрицы определено скалярное произведение. Всего существует  всевозможных скалярных произведений строк (1-й матрицы) на столбцы (2-й матрицы). Именно из них и состоит произведение, это матрица размера  

Примеры.  = .

 = .

Для матриц размеров  и  существуют оба произведения,  и . Но произведение  в примере выше оказалось бы не матрицей 2 порядка, а 3 порядка, то есть из 9 элементов.

 

Определители.

Пусть дана матрица 2 порядка. .

Определителем квадратной матрицы порядка 2 называется такое число:

 

 

поменяем местами строки, изменится знак:

.

Заметим, что при введении определителя, умножаемые элементы всегда расположены так, что 2 из них не находятся в одной строке или в одном столбце. Кстати, кроме главной и побочной диагонали, в матрице порядка 2 таких наборов элементов больше нет.

           

       Если расположить первые n натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в некотором порядке, возможно, не по возрастанию, а перепутать каким-то образом, то они образуют так называемую перестановку из n чисел. Каждый набор элементов, которые мы перемножаем в определителе 2 порядка, можно задать с помощью перестановки: главная диагональ (12) побочная диагональ (21). Большой прямоугольник в 1 строке, выбираем из 1 столбца, а когда он спустился во 2 строку, там из 2 столбца. Как на схеме:

 таким путём мы как раз и получаем главную диагональ с помощью перестановки (12).

Назовём инверсией такую ситуацию, когда большее число в перестановке расположено раньше, чем меньшее. В перестановке (12) инверсий нет, количество инферсий 0, то есть чётно. В перестановке (21) одна инверсия (то есть, их количество нечётно). Число , где k - число инверсий, определяет знак соответствующего произведения, участвующего в построении определителя

Теорема. Существует n! перестановок порядка n.  

Доказательство (ДОК 3). Для n = 2 это очевидно, перестановки только (12) и (21).

Дальше, доказательство по индукции. Пусть теперь для (n-1) этот факт доказан. Рассмотрим для n. На первом месте может стоять любое из n чисел, и при каждой из этих ситуаций, остаётся (n-1) число, которые должны занять (n-1) место, а это возможно (n-1)! способами. Итак, получается  что как раз равно n!, что и требовалось доказать.

 

В частности, при n = 3 получается 6 перестановок:  

(123) (132) (213) (231) (312) (321)

На первом месте одно из 3 чисел, и при этом оставшиеся 2 числа можно расставить на 2 места двумя способами. Получается 6 способов. Заметим, что 3! = 6.

 

Определитель 3 порядка. Примеры, методы вычисления.

 = .

В записи определителя 3 порядка  =  

каждому элементу соответствует перестановка из 3 чисел.

Представьте себе прямоугольник, который сначала в 1-й строке, а затем спускается ко 2-й и 3-й, внутри него вправо и влево может двигаться квадрат, указывающий на какой-то из элементов. Запишем, в каком № столбца взяли элемент, когда находились в 1-й строке, затем так же во 2-й и 3-й. Например, для  получится (231):

для  соответствует (123) и т.д. напишем под каждым элементом свою перестановку:

(123) (231) (312) (321) (132) (213)

Видим, что при этом учтены все возможные перестановки, количество которых 3! = 6. Рассмотрим подробнее, как знак определяется по перестановкам. Обозначим дугой каждую инверсию:

Если инверсий нечётное количество (1 или 3), то знак « - », если чётное (0 или 2) то «+». То есть, умножаем на , где k - число инверсий. Знак каждого произведения зависит от чётности или нечётности перестановки.

       Все рассмотренные наборы элементов, которые перемножаются между собой, обладают тем свойством, что никакие 2 из них не находятся в одной и той же строке либо одном и том же столбце. Таких наборов всего 6, и они все учтены. А для матрицы порядка 2 таких наборов всего 2, поэтому там определитель состоит всего из 2 слагаемых. Почему же они не могут быть в одной строке или столбце? Ответ простой: ведь перестановка состоит из разных чисел, то есть там нет одинаковых на двух местах, поэтому из одного и того же столбца 2 раза мы не выберем. Из одной строки тем более: находясь в некоторой строке, мы выбираем элемент только 1 раз. 

       Для матрицы 4 порядка потребуется найти все четвёрки элементов, так чтобы никакие два не оказывались в одной строке или одном столбце. Их будет 24 = 4!

 

Существует метод вычисления определителей с помощью треугольников, например, элемент соответствует  треугольнику:

Обратите внимание, что главная диагональ  здесь - это средняя линия данного треугольника. Два треугольника, соответствующие произведениям со знаком плюс, это те, для которых главная диагональ является средней линией, а мо знаком минус - если побочная диагональ является средней линией.

 

 

       Запомнить метод вычисления определителей 3 порядка легче всего с помощью произведений по 3 параллельным линиям.

Надо дописать копии 1 и 2 столбца справа, и соединить по 3 параллельных линии: главная диагональ и параллельные ей (показаны зелёным цветом), затем побочная диагональ и параллельные ей (показаны красным). Умножить тройки чисел по 3 зелёным линиям, и взять их со знаком «+» а по красным прибавить со знаком «—». (Кстати, вместо столбцов справа можно дописать две строки снизу, и получится то же самое).

Пример.  .

Построим указанную схему (с помощью параллельных линий):

 + +  =  = 5.

Ответ. 5.

ЛЕКЦИЯ № 2. 10.09.2019

 

Свойство 6. Если любую строку (столбец) матрицы умножить коэффициент с, то  увеличится в с раз.

Идея доказательства: если в каждом произведении элементов один из них умножен на с, то вся сумма, состоящая из таких слагаемых, также увеличится в с раз.

Это свойство даёт возможность выносить общий множитель за знак определителя из какой-либо строки. Геометрический смысл: Если умножить на коэффициент даже один из векторов, образующих параллелограмм, то площадь параллелограмма умножится на этот коэффициент.

Если умножить не один, а оба вектора, то площадь увеличится в   раз. Для 3 векторов в пространстве и параллелепипеда, если умножить каждый вектор на , то объём вырастет в   раз.

Следствие: 6а) .

 

Свойство 7. Если все элементы какой-либо строки представлены в виде сумм двух элементов:

 = + .

то данный определитель равен сумме двух определителей, где в первом из них в этой строке - первые слагаемые, а во втором - вторые (все остальные строки в обоих определителях без изменения).

Доказательство проведём для произвольных матриц 2-го порядка.

(для n аналогично).

 = + .

действительно:  =  = .

Для матриц большего порядка, аналогично, в любом из n! слагаемых по n элементов, какой-то один окажется суммой двух чисел, в итоге каждое слагаемое распадётся на два, и в сумме будет 2 n! слагаемых, где одни n! образуют 1-й определитель, а другое n! - второй.

 

Свойство 8. Если к любой строке прибавить другую строку, домноженную на число,  не изменится.

Доказательство. Если в предыдущем свойстве в роли вторых элементов взяты элементы другой строки этой же самой матрицы, домноженные на коэффициент k, то:  

 = +  тогда во 2-м определителе строки пропорциональны, он равен 0. То есть мы видим, что если к одной строке прибавить строку, кратную какой-то строке из этой же матрицы, определитель не изменится.

Это важное свойство даёт возможность преобразовывать и упрощать матрицы в процессе вычисления определителей.  

Замечание. Очевидно, что можно не только прибавить, но и отнять от строки строку, ведь мы можем домножить на коэффициент .

Геометрический смысл. Если к вектору b прибавить вектор a, умноженный на любой коэффициент, то площадь параллелограмма не изменится, основание и высота остались старыми, см. чертёж:

Здесь площадь параллелограмма, образованного векторами a, b такая же, как для образованного векторами a, b+2a.

Из свойства 8 следует, что строки можно складывать и вычитать, на этом основан метод Гаусса приведения к треугольной форме.

Важно! Определитель не меняется (св-во 8), если умножать строку в уме (в буфере обмена) и затем, уже кратную, прибавлять к какой-либо другой. Если же просто умножать строку, которая находится в матрице, то определитель умножится на коэффициент (свойство 6). Это совершенно разные операции, не надо их путать. 

 

Следствие 8 а). Если какая-либо строка матрицы является суммой других строк, то .

Идея доказательства: Если третья строка есть сумма первой и второй, то вычитая 1-ю и 2-ю из неё, получим строку из нулей.

 

 

Пример. Вычислить  приведением к треугольной форме.

Заметим, что ниже углового элемента (1) число 2. Поэтому из 2-й строки вычтем 1-ю, умноженную на 2. Т.е.вычесть надо строку (2 6).

 =  =  = 1.

Пример Вычислить определитель:  методом Гаусса (приведением к треугольной форме).

Применим свойство 8. Постараемся обнулить все элементы ниже .

Из 2-й строки вычтем 1-ю строку: = .

Теперь из 3-й вычтем удвоенную 1-ю, будет .

Чтобы завершить приведение к треугольному виду, вычтем из 3-й строки удвоенную 2-ю, получится . А теперь просто найдём произведение чисел по диагонали, так как привели к треугольной форме. Определитель равен 2. Ответ: 2.

Этот метод особено будет нужен в теме «системы уравнений», но, как видим, помогает и при вычислении определителей.

 

Доказательство.

Пусть дан определитель .

Если разложить его по первому столбцу, где всего один ненулевой элемент и остальные  нулей, то сразу переходим к минору меньшего порядка:

+ 0 +... + 0.

для него получается аналогичное действие, тогда на следующем шаге получаем  умножаются на определитель треугольной матрицы, у которой угловой элемент . Продолжая этот процесс, получим . 

Замечание. Для диагональных матриц верен такой же факт, ведь диагональная это частный случай треугольной.

 

Пример.

 =  =  =  = 6.

Приведение к треугольному виду очень часто используется для вычисления определителей. Метод Гаусса, который будет подробно изучен в теме «системы уравнений», в полной мере может применяться и для вычисления определителей. Если обнулить элементы ниже главной диагонали, то вычисление определителя сильно упростится.

 

 

§ 3. Обратная матрица.

Определение. Матрица называется вырожденной, если , и невырожденной, если .

Определение. Пусть  - квадратные матрицы. Если  то  называется обратной матрицей для матрицы . 

Обозначение: Обратная матрица обозначается .

 

Замечание. Для чисел, которые являются матрицами порядка 1, обратный элемент вычисляется известным образом, например , .

Докажем, что не существует различных «обратной слева» и «справа» матриц. Так как коммутативность в общем случае не выполняется, то вовсе не очевидно, что обратная матрица единственна, ведь можно предположить, что левая обратная и правая обратная - различны.

Лемма. Если  и , то .  

Доказательство. Пусть  и . По закону ассоциативности, можно записать такое равенство: .

Но тогда получается , то есть .

 

Итак, . Но оказывается, что не для любой квадратной матрицы существует обратная.   

Теорема. Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда А невырожденная.

Доказательство. Для доказательства рассмотрим . Если  то , то есть существовало бы такое число, которое при умножении на 0 даёт результат 1, но это невозможно. Получили противоречие.

Формула вычисления элементов обратной матрицы: .

Алгоритм нахождения , .

1. Проверить невырожденность с помощью определителя.

2. Составить матрицу из дополняющих миноров M_ij.

3. Изменить знаки в шахматном порядке, то есть домножить на (-1)^i+j, где i, j - номера строки и столбца.

Получатся алгебраические дополнения A_ij.

4. Транспонировать полученную матрицу.

5. Поделить на определитель исходной матрицы.

Пример.  Найти .  

Решение. . Вывод: , существует обратная матрица.

Матрица из миноров: .

Матрица из алг. дополнений: .

Транспонируем её: .

Делим её на определитель, и записываем ответ: = . 

Можно сделать проверку: = .

Пример. Найти обратную матрицу:      

Решение. 1) . , существует . 

2) Запишем матрицу, состоящую из всех возможных миноров , которых существует 9 штук:  = .  

3) Матрица из алгебраических дополнений:  .

(т.е. в шахматном порядке изменили знаки, там где сумма номеров строки и столбца нечётна).

Транспонируем её: . Делим на определитель, равный 2, итог: = .

 

ЛЕКЦИЯ № 3. 11.09.2019

§ 4. Ранг матрицы.

Для прямоугольных матриц не существует понятие определителя, однако там можно выбирать квадратные подматрицы, и для них определитель вычислить можно. Если задать какие-нибудь k номеров строк и k номеров столбцов, то на пересечениях, очевидно, получится минор из k² элементов. Он может быть вырожденным либо нет. Существует минор максимального порядка, который является невырожденным. Его порядок и называется рангом матрицы.

 

Определение. Порядок наибольшего невырожденного минора называется рангом матрицы.

Обозначается . Примеры:

Матрица размера ранга 2. . Здесь есть невырожденный минор порядка 2,  

.

Миноры 3 порядка можно рассматривать не все, достаточно только окаймляющие, то есть содержащие уже найденный минор меньшего порядка.

поэтому ранг не равен 3, а остаётся равен 2, так как минор 2 порядка уже найден. Миноров 4 порядка в этой матрице нет, так как всего 3 строки. Итак, . Цветом закрашен базисный минор.

А вот если в правом нижнем углу будет не 0, а 1, то ранг такой матрицы станет равен 3:

ведь теперь найдётся минор 3-го порядка, отличный от нуля:  

 

Ранг прямоугольной матрицы размера  меньше или равен, чем минимальное из чисел m, n. Причина: минор более высокого порядка в этой матрице просто не существует, ведь размер вписанного квадрата не может превышать ни длину, ни ширину прямоугольника, в который вписан этот квадрат.

 

Пример. Матрица ранга 1. Здесь 2 строка пропорциональна 1-й, а третья вообще нулевая:

Матрица А является матрицей ранга 0  она состоит только из нулей (очевидно, что если в матрице есть хоть один элемент, не равный 0, то он уже является минором 1 порядка, то есть ранг не 0, а уже 1).

 

Базисный минор порядка  может быть не единственным, их может быть и несколько. Так, например, в матрице:

мы видим по крайней мере 2 различных минора порядка 2.

 

 

 

Метод элементарных преобразований для нахождения ранга.

Бывает лучше упростить матрицу, чтобы видеть, какие миноры равны 0 или не равны 0.  Как и при вычислении определителей, можно прибавлять к строке другую строку, умноженную на число, то же самое со столбцами. Но при нахождении ранга даже больше возможных действий, чем при вычислении определителя: можно менять местами строки (столбцы), умножать строки (столбцы) на коэффициент. Дело в том, что соответствующие миноры в этом случае меняют знак или умножаются на с, но ведь свойство быть равными 0, либо не равными 0, от этого не меняется!

Если число , то  и .

Пример.

 из 2-й строки вычесть 1-ю, а из 3-й удвоенную 1-ю.

теперь из 3-й строки вычтем 2-ю . Ниже главной диагонали получились нули.

Теперь лучше видно базисный минор порядка 3. Ранг = 3. Если бы оказалось, что последняя строка состоит из нулей, то тогда был бы ответ ранг матрицы = 2.

 

Ранее упоминали, что матрицы естественным путём связаны с системами векторов.

 

Определение. Пусть  - система векторов.  - константы. Тогда вектор называется линейной комбинацией векторов .

(А если все коэффициенты = 1, то это просто сумма векторов).

Пример. . Пусть коэффициенты 2 и 1. Линейная комбинация это вектор (3, 4, 5): 2(1, 1, 1)+1(1, 2, 3) = (3, 4, 5).

В пространстве, рассмотрим 3 вектора: (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1). Любой вектор 3-мерного пространства можно представить как линейную комбинацию этих трёх векторов.

 

* Если все коэффициенты 0, то линейная комбинация есть 0 вектор в любом случае, какими бы ни были векторы.

* Рассмотрим векторы (1, 0) и (-1, 0). Если их сложить, то получим (0, 0). Видим, что бывают ситуации, когда линейная комбинация ненулевых векторов - это нулевой вектор, даже если ненулевые коэффициенты! Аналогичная ситуация, если вектор с есть a+b, тогда a+b-c = 0. В связи с этим возникает определение линейно-зависимой и линейно-независимой системы векторов.

 

Определение. Если из равенства  следует, что , то система векторов называется линейно-независимой системой (ЛНС). Если же существует набор ненулевых коэффициентов , такой, что линейная комбинация = 0, то система называется линейно-зависимой системой (ЛЗС).

 

Примеры. * Если вектор с есть a+b, тогда a+b-c = 0. Коэффициенты 1, 1, -1.

* если 2 вектора коллинеарны, то они образуют ЛЗС.

Лемма. Если система векторов содержит вектор , то она ЛЗС.

Докажем этот факт. Коэффициент при 0-векторе может быть любым числом, т.к. он всё равно не влияет на сумму векторов, а значит, существует набор коэффициентов, в котором не все нули, и значит, формально по определению такая система векторов ЛЗС.

 

Теорема. Система линейно зависима хотя бы один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.

Доказательство.  

Необходимость. Если система ЛЗС, то , при этом  хотя бы при каком-то векторе ненулевой коэффициент, тогда это слагаемое можно перенести в другую сторону и разделить всё равенство на этот коэффициент. Для определённости, например, пусть это будет n-й коэффициент. Тогда

, и , последний вектор выражен через остальные.

 

Достаточность. Если какой-то вектор выражен через остальные, его можно перенести в другую сторону равенства, ко всем остальным векторам, то есть в записи  ему будет соответствовать коэффициент (-1).

Так, если выражен 1-й вектор, то , тогда . Получается, что ненулевой набор коэффициентов есть, а значит, система ЛЗС.

 

Определение. Максимальная линейно-независимая подсистема называется базисом системы векторов, а число векторов в ней - рангом системы векторов.

1234567Следующая ⇒

Поделиться: