![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Информатика и вычислительная техника»Стр 1 из 7Следующая ⇒
Приходовский М.А. Математика - 1 семестр Курс лекций Учебное пособие Для специальностей Информатика и вычислительная техника» Инфокоммуникационные технологии и системы связи» Радиоэлектронные системы и комплексы» Томск ТУСУР 2019 Настоящее электронное учебное пособие составлено по материалам лекций в группах 589-1, 2, 3, 129, 1В9 осенью 2019 года.
Оглавление по темам
Оглавление по номерам лекций
ЛЕКЦИЯ № 1. 04.09.2019 Вводная часть. Отразмерности пространства зависят свойства распространения различных типов волн. Сейсмические волны: энергия распределяется по сфере в 3-мерных породах, соответственно, убывает со скоростью Цунами: по поверхности воды, энергия распределяется по окружности, убывает со скоростью При меньшей кинетической энергии, цунами разрушительно на более далёких расстояних, так как убывание энергии медленнее из-за размерности. Глава 1. МАТРИЦЫ. Действия над матрицами. Объединение информации о нескольких векторах в прямоугольную таблицу, называемую матрицей. Важность роли матриц в геометрии. Пусть в плоскости даны 2 вектора, каждый имеет по 2 координаты, тогда можно построить матрицу 2 порядка. Матрица, соответствующая этой векторной системе Аналогично, если дано 3 вектора в пространстве - можно построить матрицу 3 порядка.
Понятие определителя 2-го порядка. Если дана матрица Обозначается: (произведение элементов главной диагонали, минус произведение элементов побочной диагонали).
Геометрический смысл: модуль определителя равен площади параллелограмма, сторонами которого являются 2 вектора, координаты которых расположены по строкам (либо столбцам) матрицы.
Если бы мы просто вычисляли площадь параллелограмма, построенного на векторах (2, 1) и (1, 2), где ни один вектор не расположен вдоль координатной оси, то понадобилось бы найти длину основания, затем высоту. А с помощью определителя, S вычисляется гораздо короче. Пример.
Оказывается, что модуль этой величины соответствует площади параллелограмма, построенного на основе двух векторов Докажем этот факт. Доказательство (ДОК 1). Построим чертёж. Перенесём закрашенную зелёным часть вниз, теперь мы уже получили такой прямоугольник, у которого одна сторона лежит на оси. Его высота Если векторы поменять местами, то определитель сменит знак,
Теперь рассмотрим произвольные матрицы. Определение матрицы. Матрицей размера Каждый элемент обозначается Обратите внимание: количество строк - это то же самое, что количество элементов в столбце, а количество столбцов равно количеству элементов в строке (заметим, что от каждого элемента 1-й строки начинается столбец, то есть сколько чисел в строке, столько и столбцов). Если Примеры матриц из жизни: 1. Таблица результатов ЕГЭ по нескольким предметам в группе учеников. 2. Расписание занятий. День недели и номер пары, каждый элемент - номер аудитории в этот день в это время. Сложение и вычитание матриц размера Эти операции определяются поэлементно, то есть суммируется или вычитается каждая соответствующая пара элементов Пример: Умножение матрицы на константу определяется следующим образом. В матрице Транспонирование матрицы. Это довольно простая операция, и она вводится так. Если все пары элементов Умножение двух матриц. * Надо вспомнить из школьного курса операцию скалярного произведения двух векторов: Если даны две матрицы, одна размера Операция умножения матриц определяется следующим образом. Мысленно разобьём первую матрицу на строки, вторую - на столбцы. Для каждой строки 1-й матрицы и каждого столлбца 2-й матрицы определено скалярное произведение. Всего существует Примеры.
Для матриц размеров
Определители. Пусть дана матрица 2 порядка. Определителем квадратной матрицы порядка 2 называется такое число:
поменяем местами строки, изменится знак:
Заметим, что при введении определителя, умножаемые элементы всегда расположены так, что 2 из них не находятся в одной строке или в одном столбце. Кстати, кроме главной и побочной диагонали, в матрице порядка 2 таких наборов элементов больше нет.
Если расположить первые n натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в некотором порядке, возможно, не по возрастанию, а перепутать каким-то образом, то они образуют так называемую перестановку из n чисел. Каждый набор элементов, которые мы перемножаем в определителе 2 порядка, можно задать с помощью перестановки: главная диагональ (12) побочная диагональ (21). Большой прямоугольник в 1 строке, выбираем из 1 столбца, а когда он спустился во 2 строку, там из 2 столбца. Как на схеме: таким путём мы как раз и получаем главную диагональ с помощью перестановки (12). Назовём инверсией такую ситуацию, когда большее число в перестановке расположено раньше, чем меньшее. В перестановке (12) инверсий нет, количество инферсий 0, то есть чётно. В перестановке (21) одна инверсия (то есть, их количество нечётно). Число Теорема. Существует n! перестановок порядка n. Доказательство (ДОК 3). Для n = 2 это очевидно, перестановки только (12) и (21). Дальше, доказательство по индукции. Пусть теперь для (n-1) этот факт доказан. Рассмотрим для n. На первом месте может стоять любое из n чисел, и при каждой из этих ситуаций, остаётся (n-1) число, которые должны занять (n-1) место, а это возможно (n-1)! способами. Итак, получается
В частности, при n = 3 получается 6 перестановок: (123) (132) (213) (231) (312) (321) На первом месте одно из 3 чисел, и при этом оставшиеся 2 числа можно расставить на 2 места двумя способами. Получается 6 способов. Заметим, что 3! = 6.
Определитель 3 порядка. Примеры, методы вычисления.
В записи определителя 3 порядка каждому элементу соответствует перестановка из 3 чисел. Представьте себе прямоугольник, который сначала в 1-й строке, а затем спускается ко 2-й и 3-й, внутри него вправо и влево может двигаться квадрат, указывающий на какой-то из элементов. Запишем, в каком № столбца взяли элемент, когда находились в 1-й строке, затем так же во 2-й и 3-й. Например, для для (123) (231) (312) (321) (132) (213) Видим, что при этом учтены все возможные перестановки, количество которых 3! = 6. Рассмотрим подробнее, как знак определяется по перестановкам. Обозначим дугой каждую инверсию: Если инверсий нечётное количество (1 или 3), то знак « - », если чётное (0 или 2) то «+». То есть, умножаем на Все рассмотренные наборы элементов, которые перемножаются между собой, обладают тем свойством, что никакие 2 из них не находятся в одной и той же строке либо одном и том же столбце. Таких наборов всего 6, и они все учтены. А для матрицы порядка 2 таких наборов всего 2, поэтому там определитель состоит всего из 2 слагаемых. Почему же они не могут быть в одной строке или столбце? Ответ простой: ведь перестановка состоит из разных чисел, то есть там нет одинаковых на двух местах, поэтому из одного и того же столбца 2 раза мы не выберем. Из одной строки тем более: находясь в некоторой строке, мы выбираем элемент только 1 раз. Для матрицы 4 порядка потребуется найти все четвёрки элементов, так чтобы никакие два не оказывались в одной строке или одном столбце. Их будет 24 = 4!
Существует метод вычисления определителей с помощью треугольников, например, элемент Обратите внимание, что главная диагональ
Запомнить метод вычисления определителей 3 порядка легче всего с помощью произведений по 3 параллельным линиям. Надо дописать копии 1 и 2 столбца справа, и соединить по 3 параллельных линии: главная диагональ и параллельные ей (показаны зелёным цветом), затем побочная диагональ и параллельные ей (показаны красным). Умножить тройки чисел по 3 зелёным линиям, и взять их со знаком «+» а по красным прибавить со знаком «—». (Кстати, вместо столбцов справа можно дописать две строки снизу, и получится то же самое). Пример. Построим указанную схему (с помощью параллельных линий): Ответ. 5. ЛЕКЦИЯ № 2. 10.09.2019
Свойство 6. Если любую строку (столбец) матрицы умножить коэффициент с, то Идея доказательства: если в каждом произведении элементов один из них умножен на с, то вся сумма, состоящая из таких слагаемых, также увеличится в с раз. Это свойство даёт возможность выносить общий множитель за знак определителя из какой-либо строки. Геометрический смысл: Если умножить на коэффициент даже один из векторов, образующих параллелограмм, то площадь параллелограмма умножится на этот коэффициент. Если умножить не один, а оба вектора, то площадь увеличится в Следствие: 6а)
Свойство 7. Если все элементы какой-либо строки представлены в виде сумм двух элементов:
то данный определитель равен сумме двух определителей, где в первом из них в этой строке - первые слагаемые, а во втором - вторые (все остальные строки в обоих определителях без изменения). Доказательство проведём для произвольных матриц 2-го порядка. (для n аналогично).
действительно: Для матриц большего порядка, аналогично, в любом из n! слагаемых по n элементов, какой-то один окажется суммой двух чисел, в итоге каждое слагаемое распадётся на два, и в сумме будет 2 n! слагаемых, где одни n! образуют 1-й определитель, а другое n! - второй.
Свойство 8. Если к любой строке прибавить другую строку, домноженную на число, Доказательство. Если в предыдущем свойстве в роли вторых элементов взяты элементы другой строки этой же самой матрицы, домноженные на коэффициент k, то:
Это важное свойство даёт возможность преобразовывать и упрощать матрицы в процессе вычисления определителей. Замечание. Очевидно, что можно не только прибавить, но и отнять от строки строку, ведь мы можем домножить на коэффициент Геометрический смысл. Если к вектору b прибавить вектор a, умноженный на любой коэффициент, то площадь параллелограмма не изменится, основание и высота остались старыми, см. чертёж: Здесь площадь параллелограмма, образованного векторами a, b такая же, как для образованного векторами a, b+2a. Из свойства 8 следует, что строки можно складывать и вычитать, на этом основан метод Гаусса приведения к треугольной форме. Важно! Определитель не меняется (св-во 8), если умножать строку в уме (в буфере обмена) и затем, уже кратную, прибавлять к какой-либо другой. Если же просто умножать строку, которая находится в матрице, то определитель умножится на коэффициент (свойство 6). Это совершенно разные операции, не надо их путать.
Следствие 8 а). Если какая-либо строка матрицы является суммой других строк, то Идея доказательства: Если третья строка есть сумма первой и второй, то вычитая 1-ю и 2-ю из неё, получим строку из нулей.
Пример. Вычислить Заметим, что ниже углового элемента (1) число 2. Поэтому из 2-й строки вычтем 1-ю, умноженную на 2. Т.е.вычесть надо строку (2 6).
Пример Вычислить определитель: Применим свойство 8. Постараемся обнулить все элементы ниже Из 2-й строки вычтем 1-ю строку: Теперь из 3-й вычтем удвоенную 1-ю, будет Чтобы завершить приведение к треугольному виду, вычтем из 3-й строки удвоенную 2-ю, получится Этот метод особено будет нужен в теме «системы уравнений», но, как видим, помогает и при вычислении определителей.
Доказательство. Пусть дан определитель Если разложить его по первому столбцу, где всего один ненулевой элемент и остальные
для него получается аналогичное действие, тогда на следующем шаге получаем Замечание. Для диагональных матриц верен такой же факт, ведь диагональная это частный случай треугольной.
Пример.
Приведение к треугольному виду очень часто используется для вычисления определителей. Метод Гаусса, который будет подробно изучен в теме «системы уравнений», в полной мере может применяться и для вычисления определителей. Если обнулить элементы ниже главной диагонали, то вычисление определителя сильно упростится.
§ 3. Обратная матрица. Определение. Матрица называется вырожденной, если Определение. Пусть Обозначение: Обратная матрица обозначается
Замечание. Для чисел, которые являются матрицами порядка 1, обратный элемент вычисляется известным образом, например Докажем, что не существует различных «обратной слева» и «справа» матриц. Так как коммутативность в общем случае не выполняется, то вовсе не очевидно, что обратная матрица единственна, ведь можно предположить, что левая обратная и правая обратная - различны. Лемма. Если Доказательство. Пусть Но тогда получается
Итак, Теорема. Обратная матрица Доказательство. Для доказательства рассмотрим Формула вычисления элементов обратной матрицы: Алгоритм нахождения 1. Проверить невырожденность с помощью определителя. 2. Составить матрицу из дополняющих миноров Mij. 3. Изменить знаки в шахматном порядке, то есть домножить на (-1)i+j, где i, j - номера строки и столбца. Получатся алгебраические дополнения Aij. 4. Транспонировать полученную матрицу. 5. Поделить на определитель исходной матрицы. Пример. Найти Решение. Матрица из миноров: Матрица из алг. дополнений: Транспонируем её: Делим её на определитель, и записываем ответ: Можно сделать проверку: Пример. Найти обратную матрицу: Решение. 1) 2) Запишем матрицу, состоящую из всех возможных миноров 3) Матрица из алгебраических дополнений: (т.е. в шахматном порядке изменили знаки, там где сумма номеров строки и столбца нечётна). Транспонируем её:
ЛЕКЦИЯ № 3. 11.09.2019 § 4. Ранг матрицы. Для прямоугольных матриц не существует понятие определителя, однако там можно выбирать квадратные подматрицы, и для них определитель вычислить можно. Если задать какие-нибудь k номеров строк и k номеров столбцов, то на пересечениях, очевидно, получится минор из k2 элементов. Он может быть вырожденным либо нет. Существует минор максимального порядка, который является невырожденным. Его порядок и называется рангом матрицы.
Определение. Порядок наибольшего невырожденного минора называется рангом матрицы. Обозначается Матрица размера
Миноры 3 порядка можно рассматривать не все, достаточно только окаймляющие, то есть содержащие уже найденный минор меньшего порядка. поэтому ранг не равен 3, а остаётся равен 2, так как минор 2 порядка уже найден. Миноров 4 порядка в этой матрице нет, так как всего 3 строки. Итак, А вот если в правом нижнем углу будет не 0, а 1, то ранг такой матрицы станет равен 3: ведь теперь найдётся минор 3-го порядка, отличный от нуля:
Ранг прямоугольной матрицы размера
Пример. Матрица ранга 1. Здесь 2 строка пропорциональна 1-й, а третья вообще нулевая: Матрица А является матрицей ранга 0
Базисный минор порядка мы видим по крайней мере 2 различных минора порядка 2.
Метод элементарных преобразований для нахождения ранга. Бывает лучше упростить матрицу, чтобы видеть, какие миноры равны 0 или не равны 0. Как и при вычислении определителей, можно прибавлять к строке другую строку, умноженную на число, то же самое со столбцами. Но при нахождении ранга даже больше возможных действий, чем при вычислении определителя: можно менять местами строки (столбцы), умножать строки (столбцы) на коэффициент. Дело в том, что соответствующие миноры в этом случае меняют знак или умножаются на с, но ведь свойство быть равными 0, либо не равными 0, от этого не меняется! Если число Пример.
теперь из 3-й строки вычтем 2-ю Теперь лучше видно базисный минор порядка 3. Ранг = 3. Если бы оказалось, что последняя строка состоит из нулей, то тогда был бы ответ ранг матрицы = 2.
Ранее упоминали, что матрицы естественным путём связаны с системами векторов.
Определение. Пусть (А если все коэффициенты = 1, то это просто сумма векторов). Пример. В пространстве, рассмотрим 3 вектора: (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1). Любой вектор 3-мерного пространства можно представить как линейную комбинацию этих трёх векторов.
* Если все коэффициенты 0, то линейная комбинация есть 0 вектор в любом случае, какими бы ни были векторы. * Рассмотрим векторы (1, 0) и (-1, 0). Если их сложить, то получим (0, 0). Видим, что бывают ситуации, когда линейная комбинация ненулевых векторов - это нулевой вектор, даже если ненулевые коэффициенты! Аналогичная ситуация, если вектор с есть a+b, тогда a+b-c = 0. В связи с этим возникает определение линейно-зависимой и линейно-независимой системы векторов.
Определение. Если из равенства
Примеры. * Если вектор с есть a+b, тогда a+b-c = 0. Коэффициенты 1, 1, -1. * если 2 вектора коллинеарны, то они образуют ЛЗС. Лемма. Если система векторов содержит вектор Докажем этот факт. Коэффициент при 0-векторе может быть любым числом, т.к. он всё равно не влияет на сумму векторов, а значит, существует набор коэффициентов, в котором не все нули, и значит, формально по определению такая система векторов ЛЗС.
Теорема. Система линейно зависима Доказательство. Необходимость. Если система ЛЗС, то
Достаточность. Если какой-то вектор выражен через остальные, его можно перенести в другую сторону равенства, ко всем остальным векторам, то есть в записи Так, если выражен 1-й вектор, то
Определение. Максимальная линейно-независимая подсистема называется базисом системы векторов, а число векторов в ней - рангом системы векторов. |
Последнее изменение этой страницы: 2019-10-04; Просмотров: 193; Нарушение авторского права страницы