Инфокоммуникационные технологии и системы связи»

Радиоэлектронные системы и комплексы»

Томск

ТУСУР

2019

       Настоящее электронное учебное пособие составлено по материалам лекций в группах 589-1, 2, 3, 129, 1В9 осенью 2019 года.

 

Оглавление по темам

Глава 1. МАТРИЦЫ......................................................................... § 1. Действия над матрицами........................................................... § 2. Определители............................................................................ § 3. Обратная матрица...................................................................... § 4. Ранг матрицы.............................................................................. § 5. Элементы векторной алгебры................................................... Глава 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ........................ § 1. Введение, основные методы решения...................................... § 2. Системы линейных однородных уравнений........................... Глава 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ..............................................  § 1. Линейный оператор и его матрица.......................................... § 2. Собственные векторы................................................................ § 3. Квадратичные формы................................................................ Глава 4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ................................. § 1. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве................. § 2. Прямая в пространстве.............................................................. § 3. Кривые и поверхности............................................................... Глава 5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.............. §1. Множества и функции................................................................ §2. Пределы....................................................................................... §3. Бесконечно-малые и бесконечно-большие.............................. §4. Непрерывность и точки разрыва............................................... Глава 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ...................... §1. Введение, основные методы...................................................... 2. Частные производные и градиент............................................... §3. Уравнение касательной, формула Тейлора.............................. §4. Экстремумы и строение графика функции.............................. §5. Основные теоремы дифф. исчисления......................................

5 5 11 22 25 30 33 33 41

 

Оглавление по номерам лекций

Лекция № 1. 04.09.2019........................................................ Лекция № 2. 10.09.2019........................................................ Лекция № 3. 11.09.2019........................................................ Лекция № 4.    18.09.2019........................................................ Лекция № 5. 24.09.2019........................................................ Лекция № 6. 25.09.2019........................................................

5 16 25 33 41

 

 

ЛЕКЦИЯ № 1. 04.09.2019

Вводная часть. Отразмерности пространства зависят свойства распространения различных типов волн.

Сейсмические волны: энергия распределяется по сфере в 3-мерных породах, соответственно, убывает со скоростью  .

Цунами: по поверхности воды, энергия распределяется по окружности, убывает со скоростью .

При меньшей кинетической энергии, цунами разрушительно на более далёких расстояних, так как убывание энергии медленнее из-за размерности.

Глава 1. МАТРИЦЫ.

Действия над матрицами.

Объединение информации о нескольких векторах в прямоугольную таблицу, называемую матрицей. Важность роли матриц в геометрии.

Пусть в плоскости даны 2 вектора, каждый имеет по 2 координаты, тогда можно построить матрицу 2 порядка.

Матрица, соответствующая этой векторной системе .

Аналогично, если дано 3 вектора в пространстве - можно построить матрицу 3 порядка.

 

Понятие определителя 2-го порядка. Если дана матрица , то число  называется определителем этой матрицы.

Обозначается: .

(произведение элементов главной диагонали, минус произведение элементов побочной диагонали).

 

Геометрический смысл: модуль определителя равен площади параллелограмма, сторонами которого являются 2 вектора, координаты которых расположены по строкам (либо столбцам) матрицы.

 

Если бы мы просто вычисляли площадь параллелограмма, построенного на векторах (2, 1) и (1, 2), где ни один вектор не расположен вдоль координатной оси, то понадобилось бы найти длину основания, затем высоту. А с помощью определителя, S вычисляется гораздо короче.

Пример. .   

 

Оказывается, что модуль этой величины соответствует площади параллелограмма, построенного на основе двух векторов , .

Докажем этот факт.    Доказательство (ДОК 1).   

Построим чертёж.

Перенесём закрашенную зелёным часть вниз, теперь мы уже получили такой прямоугольник, у которого одна сторона лежит на оси. Его высота . Длина основания это разность , где абсциссу  можно найти, вычислив с посощью пропорции, ведь вектор  пропорционален вектору . . Тогда произведение основания на высоты равно  = .

Если векторы поменять местами, то определитель сменит знак,

, тогда не сама величина, а её модуль равен площади параллелограмма.

 

Теперь рассмотрим произвольные матрицы.

Определение матрицы.  Матрицей размера  называется прямоугольная таблица, состоящая из чисел (либо других объектов, например, функций), содержащая m строк и n столбцов.

Каждый элемент обозначается , где  это номер строки, в которой он расположен, а  - номер столбца.

       Обратите внимание: количество строк - это то же самое, что количество элементов в столбце, а количество столбцов равно  количеству элементов в строке (заметим, что от каждого элемента 1-й строки начинается столбец, то есть сколько чисел в строке, столько и столбцов).

       Если , то есть матрица А имеет размер то она называется квадратной матрицей порядка n.

Примеры матриц из жизни:

1. Таблица результатов ЕГЭ по нескольким предметам в группе учеников.

2. Расписание занятий. День недели и номер пары, каждый элемент - номер аудитории в этот день в это время.

Сложение и вычитание матриц размера .

Эти операции определяются поэлементно, то есть суммируется или вычитается каждая соответствующая пара элементов  и .

Пример: +  =  .  

Умножение матрицы на константу определяется следующим образом. В матрице   все элементы умножены на коэффициент , то есть равны .

Транспонирование матрицы. Это довольно простая операция, и она вводится так. Если все пары элементов  и  поменять местами, то получившаяся матрица называется транспонированной, она обозначается .

Умножение двух матриц.

* Надо вспомнить из школьного курса операцию скалярного произведения двух векторов:

Если даны две матрицы, одна размера , другая , то их размеры называются согласованными. Такие матрицы можно умножать друг на друга.

Операция умножения матриц определяется следующим образом. Мысленно разобьём первую матрицу на строки, вторую - на столбцы. Для каждой строки 1-й матрицы и каждого столлбца 2-й матрицы определено скалярное произведение. Всего существует  всевозможных скалярных произведений строк (1-й матрицы) на столбцы (2-й матрицы). Именно из них и состоит произведение, это матрица размера  

Примеры.  = .

 = .

Для матриц размеров  и  существуют оба произведения,  и . Но произведение  в примере выше оказалось бы не матрицей 2 порядка, а 3 порядка, то есть из 9 элементов.

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: