Доказательство формул Крамера

Запишем матричное равенство , учитывая структуру обратной матрицы:

тогда  как видим, алгебраические дополнения здесь именно к элементам 1-го столбца, и умножаются они на , то есть, как если бы вместо 1-го столбца была поставлена правая часть системы. Аналогично и для остальных номеров переменных.

 

Рассмотрим на примере той же самой системы: . 

, .

Эти два способа используются чаще для матриц 2 и 3 порядка, и они очень трудоёмкие, если матрица порядка 4 и больше. Поэтому изучим метод Гаусса:

 

Метод Гаусса.

Метод состоит в преобразовании основной матрицы к треугольному виду. Можно последовательно обнулить элементы ниже углового , вычитая из других уравнений 1-е, домноженное на коэффициент  (для каждой строки разные). Теперь  будет только в первом уравнении, в других нет. Затем так же точно можем обнулить всё ниже чем , вычитая из каждой строки 2-ю с соответствующим коэффициентом. Кстати, при этом нули, уже расположенные слева, не изменятся. Затем обнулим все элементы ниже , ниже , и так далее. В итоге для основной матрицы системы получится треугольный вид: нули везде ниже главной диагонали. При преобразованиях можно работать с расширенной матрицей, а не системой, чтобы не переписывать каждый раз  букв « ». Обратите внимание, что правая часть подвергается тем же преобразованиям, что и вся строка, где находится этот .  

       После преобразований надо восстановить полную запись системы с неизвестными, но в ней уже будет хорошее свойство: чем ниже уравнение, тем меньше переменных, а в последнем вообще одна лишь . Это и позволит нам сначала выразить , затем с этой известной информацией подняться в предпоследнее уравнение, и найти , и так дажее до 1-го уравнения, где найдём .

Пример.      Преобразования расширенной матрицы:

.

Сначала из 2-й строки вычли 1-ю, а из 3-й удвоенную 1-ю. 

На втором этапе, к 3-й прибавили 2-ю.

Система после преобразований:

, из последнего = 1, подставляем в предпоследнее, будет , то есть =1. Далее, уже известные  и  подставми в первое уравнение, и получим =1.

Ответ =1, =1, = 1, или .

Некоторые особенности решения систем уравнений методом Гаусса.

1) Допустим, 1-й элемент в следующей строке не кратен угловому элементу, например:

Вообще, можно отнять от 2-й строки 1-ю, домноженную на 5/3. Однако чтобы избежать вычислений с дробями, можно сначала умножить всю 2-ю строку на 3, получится  и затем уже можно работать только с целыми коэффициентами.

2) Если угловой элемент основной матрицы уже 0, то есть нет  в первом уравнении. Тогда вычитание 1-й строки из других строк не изменит элементы ниже углового  и не позволит приводить матрицу системы к треугольному виду в итоге. Однако проблема решается элементарно: сначала нужно поменять местами 1-е уравнение с каким-то из следующих, где есть элемент . Желательно с тем, где оно с коэффициентом, равным 1, чтобы затем вычитать только строки, кратные первой. Таким образом, метод Гаусса очень устойчив, и может выполняться, даже когда в матрице угловой элемент был 0.

 

Применение систем уравнений: координаты в новом базисе.

Любой вектор можно выразить не только как комбинацию базисных векторов, расположенных на осях, например (1, 0) и (0, 1), но и как комбинацию какой-то другой линейно-независимой системы.

Так, , в ведь то же время и .

В декартовом базисе координаты (3, 2) (пройти 3 шага вправо и 2 вверх), а в новом базисе, состоящем из векторов (1, 1) и (1, 0) координаты (2, 1) (пройти 2 шага по диагонали и 1 шаг вправо).

Найти новые координаты можно так. Запишем их сначала как неизвестные в векторном равенстве:

  а это очевидно, преобразуется к системе: .   Ответ: координаты (2, 1).

Матрица, где векторы нового базиса записаны по столбцам, а именно  для этого примера, называется матрицей перехода от старого к новому базису, обозначается . Именно она и есть основная матрица системы, которую надо решить. Правая часть это старые координаты.  Верно равенство , т.е. новые координаты можно найти и так:  умножив обратную матрицу на старые координаты. Впрочем, это то же самое, что решить систему с квадратной матрицей матричным методом.

Список вопросов на доказательства (к экзамену).

Лекция 1.

1. Докажите, что модуль определителя квадратной матрицы 2 порядка равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

2. Докажите, что  (выполнить для матриц порядка 2).

3. Докажите, что существует n! перестановок порядка n. 

Лекция 2.

4. Доказать свойство определителя: Если все элементы какой-либо строки представлены в виде сумм двух элементов, то определитель равен сумме двух определителей, где в первом из них в этой строке - первые слагаемые, а во втором - вторые.

5. Доказать свойство определителя: Если к любой строке прибавить другую строку, домноженную на число,  не изменится.

6. Теорема. Если матрица треугольная, то .

7. Лемма. Если  и , то . 

8. Теорема. Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда А невырожденная.

Лекция 3.

9. Теорема. Система линейно зависима хотя бы один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.

10. Если система векторов содержит вектор , то она ЛЗС.

Лекция 4.

11. Доказать теорему Кронекера-Капелли о совместности систем уравнений.

12. Доказать формулы Крамера
Литература.

 

1. Л.И.Магазинников, А.Л. Магазинникова. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Учебное пособие http: //edu.tusur.ru/publications/2244  

 

2. Л.И.Магазинников, А.Л.Магазинников. Дифференциальное исчисление. Учебное пособие http: //edu.tusur.ru/publications/2246 

 

3. Магазинников Л.И. Высшая математика I. Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии: Учебное пособие Томск: ТУСУР, 2007. - 162 с.

 

Все учебные пособия кафедры математики можно найти на сайте кафедры по ссылке: http: //math.tusur.ru/book.html  

 

 

⇐ Предыдущая1234567

Поделиться: