Глава 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Введение, основные методы решения

 

Произвольная система

система из m линейных уравнений с m неизвестными.

Примечание. Не обязательно все n переменных есть в каждом уравнении, в некоторых какие-то могут быть пропущены, то есть коэффициенты  = 0.

Уравнения здесь называются линейными потому, что все неизвестные именно в первой степени, то есть нигде не возводятся в квадрат, не умножаются между собой, не извлекается корень и т.д.

Если при этом ещё и все , то система называется однородной.

Решением системы называется такой набор констант , что при подстановке их вместо  во всех уравнениях получатся тождества. Можно представлять также и в виде вектора .

Обычный, матричный и векторный виды записи системы уравнений:

,        ,

.

Основная (А) и расширенная матрица (С).

, .

Определение. Если существует хотя бы одно решение (то есть набор , обращающий в тождества все уравнения) то система называется совместной, а если решения не существует, то несовместной, или противоречивой.

Слово «совместная» система означает, что уравнения совместны между собой, не противоречат друг другу. Примеры:

Совместная:   есть решение (1, 1).  

Несовместная  если вычесть из 2-го уравнения удвоенное первое, получим противоречие: 0=1.  А вот если в правой части 2-го уравнения было бы 4, а не 5, то система была бы совместной.

 

Определение. Если решение системы линейных уравнений единственно, то она называется определённой, если не единственно, то неопределённой.

Определённая:   экв.  решение (1, 1).  

Неопределённая:   Решения: (1, 1) или (2, 0) или (0, 2) или (3, -1) или (4, -2), их бесконечно много. Фактически 2-е уравнение лишнее, а из 1-го следует . Что бы мы ни подставляли вместо , найдётся . Единственного точного решения как такового здесь нет, их бесконечно много. Запись  здесь называется общим решением, а переменная , которую перенесли вправо и можем свободно задавать - свободной переменной.

 

Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы уравнений.

Система линейных уравнений совмстна тогда и только тогда, когда  (ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы).

Доказательство.

Необходимость. Обозначим столбцы расширенной матрицы: . Пусть система совместна. Тогда существует решение, то есть такой набор чисел , что . Тогда система, состоящая из векторов , линейно зависима, причём не принадлежит её базису (он выражен через остальные). Тогда при добавлении вектора  ранг системы векторов не увеличивается на 1, а значит, при добавлении данного столбца не увеличивается и ранг матрицы, то есть .

Достаточность. Если , то базисный минор расширенной матрицы не пересекается с последним столбцом, а значит, тогда и в системе векторов , вектор  не принадлежит базису системы. Тогда его можно линейно выразить через остальные, то есть , что означает, что  - решение системы, и она совместна. 

Пример. Рассмотрим систему и её расширенную матрицу:

,  . Если рассматривать основную матрицу (до черты) там ранг = 1, потому что во 2-й строке только нули. А если всю расширенную матрицу, то там есть невырожденный минор 2-го порядка: . Ранги основной и расширенной матриц не совпадают.

 

Геометрический смысл при n=2.

Рассмотрим систему из 2 уравнений и 2 неизвестных:

Её геометрический смысл. Каждое из уравнений задаёт некоторую прямую в плоскости. Прямые могут:

1. пересекаться в одной точке (решение единственно), в этом случае система совместная и определённая.  

2. совпадать (решений бесконечно много), в этом случае система совместная, но неопределённая.  

3. быть параллельны (нет решений) - система несовместна.  

 

Методы решения систем с квадратной основной матрицей.

Матричный метод.

, или . Слева домножим обратную матрицу:

, то есть , то есть . Получается, что все  можно найти так: умножить обратную матрицу на правую часть.

Пример.  .

Матричный вид системы: , обратную матрицу для этой матрицы ранее находили, это . Тогда = . Итак, , .

 

Метод Крамера.

Пусть А - основная матрица системы линейных уравнений. Если удалить какой-либо i-й столбец основной матрицы и внести на это место правую часть, то получится некая новая квадратная матрица, обозначим её . Тогда верны следующие формулы для .  для каждого i от 1 до n.

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: