Взаимосвязь определителя большего порядка и меньшего порядка. Разложение по строке.

Запишем разложение определителя порядка 3.

 = .   

Вынесем за скобку элементы первой строки (они есть в 2 из 6 слагаемых): .

То, что получилось в скобках, называют алгебраическими дополнениями элементов соответственно .

Выражение в 1-й скобке называется алгебраическим дополнением к элементу , соответственно

 - алгебраическим дополнением к ,  - алгебраическим дополнением к .

 

Заметим, что , , .

Если для элемента  и вычеркнуть всю строку и весь столбец, где он находится, образуется подматрица порядка (n-1). Определитель подматрицы порядка (n-1), которая получилась путём вычёркивания строки номер i и столбца номер j, называется дополняющим минором к элементу . Всего таких миноров , например для матрицы 3 порядка их будет 9 штук. Минор, соответствующий элементу , обозначается .

Мы видим, что в одних случаях алгебраическое дополнение равно минору, а где-то противоположно ему по знаку. Взаимосвязь алгебраических дополнений и миноров для произвольных i, j:

, то есть знаки меняются в шахматном порядке, для верхнего левого элемента  знак «+».

Итак, определители можно вычислять разложением по строке:

 = .

Общая запись в произвольных обозначениях: .

Разложение возможно по любой строке или по любому столбцу. Так, например, в той же рассмотренной ранее записи можно собрать пары слагаемых, содержащих  и точно так же вынести за скобку, получится  =  =

 =  здесь чередование знака начинается с минуса, что и должно быть в соответствии с шахматным порядком, о чём сказано выше.

 

Теорема. Если матрица треугольная, то .

Доказательство.

Пусть дан определитель .

Если разложить его по первому столбцу, где всего один ненулевой элемент и остальные  нулей, то сразу переходим к минору меньшего порядка:

+ 0 +... + 0.

для него получается аналогичное действие, тогда на следующем шаге получаем  умножаются на определитель треугольной матрицы, у которой угловой элемент . Продолжая этот процесс, получим . 

Замечание. Для диагональных матриц верен такой же факт, ведь диагональная это частный случай треугольной.

 

Пример.

 =  =  =  = 6.

Приведение к треугольному виду очень часто используется для вычисления определителей. Метод Гаусса, который будет подробно изучен в теме «системы уравнений», в полной мере может применяться и для вычисления определителей. Если обнулить элементы ниже главной диагонали, то вычисление определителя сильно упростится.

 

 

§ 3. Обратная матрица.

Определение. Матрица называется вырожденной, если , и невырожденной, если .

Определение. Пусть  - квадратные матрицы. Если  то  называется обратной матрицей для матрицы . 

Обозначение: Обратная матрица обозначается .

 

Замечание. Для чисел, которые являются матрицами порядка 1, обратный элемент вычисляется известным образом, например , .

Докажем, что не существует различных «обратной слева» и «справа» матриц. Так как коммутативность в общем случае не выполняется, то вовсе не очевидно, что обратная матрица единственна, ведь можно предположить, что левая обратная и правая обратная - различны.

Лемма. Если  и , то .  

Доказательство. Пусть  и . По закону ассоциативности, можно записать такое равенство: .

Но тогда получается , то есть .

 

Итак, . Но оказывается, что не для любой квадратной матрицы существует обратная.   

Теорема. Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда А невырожденная.

Доказательство. Для доказательства рассмотрим . Если  то , то есть существовало бы такое число, которое при умножении на 0 даёт результат 1, но это невозможно. Получили противоречие.

Формула вычисления элементов обратной матрицы: .

Алгоритм нахождения , .

1. Проверить невырожденность с помощью определителя.

2. Составить матрицу из дополняющих миноров M_ij.

3. Изменить знаки в шахматном порядке, то есть домножить на (-1)^i+j, где i, j - номера строки и столбца.

Получатся алгебраические дополнения A_ij.

4. Транспонировать полученную матрицу.

5. Поделить на определитель исходной матрицы.

Пример.  Найти .  

Решение. . Вывод: , существует обратная матрица.

Матрица из миноров: .

Матрица из алг. дополнений: .

Транспонируем её: .

Делим её на определитель, и записываем ответ: = . 

Можно сделать проверку: = .

Пример. Найти обратную матрицу:      

Решение. 1) . , существует . 

2) Запишем матрицу, состоящую из всех возможных миноров , которых существует 9 штук:  = .  

3) Матрица из алгебраических дополнений:  .

(т.е. в шахматном порядке изменили знаки, там где сумма номеров строки и столбца нечётна).

Транспонируем её: . Делим на определитель, равный 2, итог: = .

 

ЛЕКЦИЯ № 3. 11.09.2019

§ 4. Ранг матрицы.

Для прямоугольных матриц не существует понятие определителя, однако там можно выбирать квадратные подматрицы, и для них определитель вычислить можно. Если задать какие-нибудь k номеров строк и k номеров столбцов, то на пересечениях, очевидно, получится минор из k² элементов. Он может быть вырожденным либо нет. Существует минор максимального порядка, который является невырожденным. Его порядок и называется рангом матрицы.

 

Определение. Порядок наибольшего невырожденного минора называется рангом матрицы.

Обозначается . Примеры:

Матрица размера ранга 2. . Здесь есть невырожденный минор порядка 2,  

.

Миноры 3 порядка можно рассматривать не все, достаточно только окаймляющие, то есть содержащие уже найденный минор меньшего порядка.

поэтому ранг не равен 3, а остаётся равен 2, так как минор 2 порядка уже найден. Миноров 4 порядка в этой матрице нет, так как всего 3 строки. Итак, . Цветом закрашен базисный минор.

А вот если в правом нижнем углу будет не 0, а 1, то ранг такой матрицы станет равен 3:

ведь теперь найдётся минор 3-го порядка, отличный от нуля:  

 

Ранг прямоугольной матрицы размера  меньше или равен, чем минимальное из чисел m, n. Причина: минор более высокого порядка в этой матрице просто не существует, ведь размер вписанного квадрата не может превышать ни длину, ни ширину прямоугольника, в который вписан этот квадрат.

 

Пример. Матрица ранга 1. Здесь 2 строка пропорциональна 1-й, а третья вообще нулевая:

Матрица А является матрицей ранга 0  она состоит только из нулей (очевидно, что если в матрице есть хоть один элемент, не равный 0, то он уже является минором 1 порядка, то есть ранг не 0, а уже 1).

 

Базисный минор порядка  может быть не единственным, их может быть и несколько. Так, например, в матрице:

мы видим по крайней мере 2 различных минора порядка 2.

 

 

 

Метод элементарных преобразований для нахождения ранга.

Бывает лучше упростить матрицу, чтобы видеть, какие миноры равны 0 или не равны 0.  Как и при вычислении определителей, можно прибавлять к строке другую строку, умноженную на число, то же самое со столбцами. Но при нахождении ранга даже больше возможных действий, чем при вычислении определителя: можно менять местами строки (столбцы), умножать строки (столбцы) на коэффициент. Дело в том, что соответствующие миноры в этом случае меняют знак или умножаются на с, но ведь свойство быть равными 0, либо не равными 0, от этого не меняется!

Если число , то  и .

Пример.

 из 2-й строки вычесть 1-ю, а из 3-й удвоенную 1-ю.

теперь из 3-й строки вычтем 2-ю . Ниже главной диагонали получились нули.

Теперь лучше видно базисный минор порядка 3. Ранг = 3. Если бы оказалось, что последняя строка состоит из нулей, то тогда был бы ответ ранг матрицы = 2.

 

Ранее упоминали, что матрицы естественным путём связаны с системами векторов.

 

Определение. Пусть  - система векторов.  - константы. Тогда вектор называется линейной комбинацией векторов .

(А если все коэффициенты = 1, то это просто сумма векторов).

Пример. . Пусть коэффициенты 2 и 1. Линейная комбинация это вектор (3, 4, 5): 2(1, 1, 1)+1(1, 2, 3) = (3, 4, 5).

В пространстве, рассмотрим 3 вектора: (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1). Любой вектор 3-мерного пространства можно представить как линейную комбинацию этих трёх векторов.

 

* Если все коэффициенты 0, то линейная комбинация есть 0 вектор в любом случае, какими бы ни были векторы.

* Рассмотрим векторы (1, 0) и (-1, 0). Если их сложить, то получим (0, 0). Видим, что бывают ситуации, когда линейная комбинация ненулевых векторов - это нулевой вектор, даже если ненулевые коэффициенты! Аналогичная ситуация, если вектор с есть a+b, тогда a+b-c = 0. В связи с этим возникает определение линейно-зависимой и линейно-независимой системы векторов.

 

Определение. Если из равенства  следует, что , то система векторов называется линейно-независимой системой (ЛНС). Если же существует набор ненулевых коэффициентов , такой, что линейная комбинация = 0, то система называется линейно-зависимой системой (ЛЗС).

 

Примеры. * Если вектор с есть a+b, тогда a+b-c = 0. Коэффициенты 1, 1, -1.

* если 2 вектора коллинеарны, то они образуют ЛЗС.

Лемма. Если система векторов содержит вектор , то она ЛЗС.

Докажем этот факт. Коэффициент при 0-векторе может быть любым числом, т.к. он всё равно не влияет на сумму векторов, а значит, существует набор коэффициентов, в котором не все нули, и значит, формально по определению такая система векторов ЛЗС.

 

Теорема. Система линейно зависима хотя бы один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.

Доказательство.  

Необходимость. Если система ЛЗС, то , при этом  хотя бы при каком-то векторе ненулевой коэффициент, тогда это слагаемое можно перенести в другую сторону и разделить всё равенство на этот коэффициент. Для определённости, например, пусть это будет n-й коэффициент. Тогда

, и , последний вектор выражен через остальные.

 

Достаточность. Если какой-то вектор выражен через остальные, его можно перенести в другую сторону равенства, ко всем остальным векторам, то есть в записи  ему будет соответствовать коэффициент (-1).

Так, если выражен 1-й вектор, то , тогда . Получается, что ненулевой набор коэффициентов есть, а значит, система ЛЗС.

 

Определение. Максимальная линейно-независимая подсистема называется базисом системы векторов, а число векторов в ней - рангом системы векторов.

Пример. Если в плоскости есть 2 неколлинеарных вектора, и добавлены 100 векторов в той же плоскости, r = 2.

* 3 вектора, из которых 2 коллинеарны. Ранг = 2.

* 3 вектора, из которых все 3 коллинеарны. Ранг = 1.

 

Как видим, было 2 подхода к понятию ранга: ранг системы (число векторов в максимальной независимой подсистеме) и ранг матрицы (порядок наибольшего невырожденного минора). На самом деле, не случайно используется одно и то же слово: если матрицу мысленно разрезать на строки, будет система векторов, и у неё ранг точно такой же, как был у исходной матрицы. Аналогичное верно и для системы столбцов. Существует такой факт:

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен рангу системы её строк (столбцов).

 

Пример.  здесь ранг матрицы равен 2, по крайней мере потому, что третья строка состоит из нулей. В то же самое время, если рассмотреть систему её векторов-столбцов, то видно, что третий вектор равен сумме 1-го и 2-го:

таким образом, ранг системы векторов тоже 2.

 

 

Элементы векторной алгебры.

Скалярное, векторное, смешанное произведение.

Скалярное произведение  хорошо известно из школьного курса.

Если   то получаем .

Скалярное произведение обладает хорошо известным свойством:

.

 

Чтобы его запомнить, рассмотрим идею доказательства. Расположим первый вектор на оси Ох, пусть его координаты , второй вектор . Тогда их скалярное произведение равно . С другой стороны, произведение модулей на косинус угла:

.

 

Векторное произведение.

Определение. Вектор  называется векторным произведением векторов , обозначается , если выполнены 3 условия:

1) , . 

2) Векторы  образуют правоориентированную тройку, то есть с конца вектора  кратчайший поворот от  к  виден против часовой стрелки.

3) параллелограмма, образованного парой векторов , то есть .

Таблица свойств скалярного и векторного произведений:

сходство и различия.

 

Метод нахождения векторного произведения с помощью определителя: Можно записать в 1-ю и 2-ю строку исходные два вектора, в третьей строке добавить произвольные обозначения осей , и вычислить этот определитель.

 = . Миноры порядка 2 вычислятся, эти числа как раз и будут координатами нового вектора, который является векторным произведением.

 

Пример. Найти векторное произведение векторов (1, 1, 1) и (1, 2, 3)

 =  = . Ответ (1, -2, 1).

Также можно проверить, что он действительно перпендикулярен исходным векторам (скалярно умножить на 1-й или на 2-й вектор, получим 0).

Примечание. Определитель можно вычислять либо разложением по 3-й строке, либо ранее известными методами, в том числе добавить копии двух первых столбцов справа.

 

Смешанное произведение. Определеятся так: .

Этот объект корректно определён и существует: векторное произведение первой пары есть какой-то вектор, и его можно скалярно умножить на ещё один, третий вектор, в итоге получится константа.

Смешанное произведение вычисляется с помощью определителя так: .

Обоснование: Если рассмотреть разложение этого определителя по третьей строке, то получится

, то есть 1-я координата векторного произведения  как раз и умножается на 1-ю координату вектора , 2-я на 2-ю и т.д. то есть это и есть .

Геометрический смысл: объём параллелепипеда, образованного тремя векторами.

 

 

ЛЕКЦИЯ № 4. 18.09.2019

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: