Оптимальное интегро-терминальное управление летательным аппаратом. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов

Рассмотрим задачу формирования оптимального алгоритма (закона) управления летательным аппаратом, используя в качестве математической модели линеаризованные относительно некоторой опорной траектории уравнения движения

(17.37)

где вектор х характеризует отклонение текущего состояния летательного аппарата от опорного; u - вектор управляющего воздействия, например компоненты ускорения, создаваемого двигательной установкой; А и В - матрицы частных производных правых частей исходных нелинейных уравнений движения, получаемые в процессе линеаризации последних. Критерий оптимальности зададим в виде

(17.38)

где - заданные матрицы, причем W положительно определенная.

Первое слагаемое в критерии (17.38) характеризует энергетические затраты, необходимые для процесса управления, второе - эффект управления конечным состоянием.

Задача заключается в выборе закона управления , обращающего критерий (17.38) в минимум. Предполагается, конечно, что в любой момент времени вектор состояния х может быть измерен.

Для решения задачи обратимся к достаточным условиям оптимальности в форме уравнения Беллмана (17.35), которое с учетом (17.37) принимает вид

(17.39)

причем согласно (17.32)

(17.40)

Осуществляя операцию минимизации в (17.39), получаем зависимость оптимального управления от функции будущих потерь:

(17.41)

С учетом (17.41) уравнение (17.39) для функции принимает вид

(17.42)

Решение этого уравнения для функции , удовлетворяющее гранич­ному условию (17.40), будем искать в виде квадратичной формы

(17.43)

где L - некоторая матрица, зависящая только от времени: L = L(t).

Подставляя (17.43) в (17.42), получаем

Откуда следует, что матрица L должна удовлетворять дифференциальному уравнению типа Риккати

(17.44)

Поскольку при t = Т должно иметь место условие (17.40), получаем

(17.45)

С учетом выражения (17.43) для функции будущих потерь оптимальное управление (17.41) окончательно принимает вид

(17.46)

где введено обозначение

(17.47)

Таким образом, оптимальный закон управления в задаче управления ли­нейной системой (17.37) с квадратичным критерием качества (17.38) является линейным.

Оптимальная система управления, соответствующая найденному ре­шению, представляет собой линейную систему с переменными по времени коэффициентами обратной связи, представленными в виде матрицы L. Характерно, что элементы матрицы L зависят от времени даже в случае, когда матрицы А, В, W не зависят от времени. Это следует непосредственно из уравнений (17.44), (17.45). Однако если А, В, W не зависят от времени, то при достаточно большом Т можно говорить об " установившемся" режиме. В этом случае, полагая = 0, получим следующее нелинейное матричное алгебраическое уравнение относитель­но постоянной матрицы L

(17.48)

Решение уравнения (17.48) можно рассматривать как предел решения системы (17.44) при , если такой существует. В этом случае можно говорить, об оптимальной системе управления с постоянными коэффициентами. Впервые задача синтеза оптимального управления линейным объектом с квадратичным критерием качества под названием " Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов" была поставлена и решена А.М. Летовым. Эта задача имеет достаточно широкую область применения и используется при проектировании оптимальных регуляторов для различных систем автоматического управления.

 

Упражнение 1. Показать, что при использовании критерия вида

алгоритм оптимального управления системой (17.37) имеет по-прежнему структуру (17.46). Изменение претерпевает лишь уравнение (17.44) для матрицы L. Получить это уравнение.

Упражнение 2. Решить задачу синтеза оптимального по быстродействию управления угловой скоростью летательного аппарата, принимая в качестве математической модели скалярное уравнение

и считая, что

Упражнение 3. Исследовать задачу синтеза оптимального по быстродействию управления летательным аппаратом, принимая, в качестве модели уравнения

где j - угол разворота; u - угловая скорость летательного аппарата.

Показать, что уравнению Беллмана (17.36) в данном случае удовлетворяет следующая функция будущих потерь

а следовательно, оптимальный закон управления имеет вид

Упражнение 3. Решить задачу синтеза оптимального управления летательным аппаратом, принимая в качестве математической модели уравнения

где параметры  определяют угловое отклонение аппар атаот заданного направления и угловую скорость; u - управляющее воздействие;  - заданные величины (для простоты можно принять ), а в качестве критерия оптимальности величину

 

⇐ Предыдущая3456789101112

Поделиться: