О методах построения функций принадлежности нечетких множеств

В приведенных выше примерах использованы прямые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого x Î E значение m _A(x), либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.

Во многих задачах при характеристике объекта можно выделить набор признаков и для каждого из них определить полярные значения, соответствующие значениям функции принадлежности, 0 или 1.

Например в задаче распознавания лиц можно выделить следующие шкалы:

		0	1
x1	высота лба	низкий	широкий
x2	профиль носа	курносый	горбатый
x3	длина носа	короткий	длинный
x4	разрез глаз	узкие	широкие
x5	цвет глаз	светлые	темные
x6	форма подбородка	остроконечный	квадратный
x7	толщина губ	тонкие	толстые
x8	цвет лица	темный	светлый
x9	очертание лица	овальное	квадратное

 

Для конкретного лица А эксперт, исходя из приведенной шкалы, задает m _A(x) Î [0, 1], формируя векторную функцию принадлежности { m_A(x₁), m_A(x₂),... m_A(x₉)}.

При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкретное лицо и каждый должен дать один из двух ответов: " этот человек лысый" или " этот человек не лысый", тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение m _{" лысый"} (данного лица). (В этом примере можно действовать через функцию совместимости, но тогда придется считать число волосинок на голове у каждого из предъявленных эксперту лиц).

Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравнений. Если бы значения функций принадлежности были нам известны, например, m_A(x_i) = w_i, i =1, 2,..., n, то попарные сравнения можно представить матрицей отношений A = { a_ij }, где a_ij = w_i/w_j (операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу A, при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов симметричных относительно диагонали a_ij = 1 /a_ij, т.е. если один элемент оценивается в a раз сильнее чем другой, то этот последний должен быть в 1/a раз сильнее, чем первый. В общем случае задача сводится к поиску вектора w, удовлетворяющего уравнению вида А_w = l_max w, где l_max - наибольшее собственное значение матрицы A. Поскольку матрица А положительна по построению, решение данной задачи существует и является положительным.

 

Операции над нечеткими множествами

Включение.

Пусть A и B - нечеткие множества на универсальном множестве E.

Говорят, что A содержится в B, если " x Î E m_A(x) m_B(x).

Обозначение: A Ì B.

Иногда используют термин " доминирование", т.е. в случае когда A Ì B, говорят, что B доминирует A.

Равенство.

A и B равны, если " x Î E m_A(x) = m_B (x).

Обозначение: A = B.

Дополнение.

Пусть M = [0, 1], A и B - нечеткие множества, заданные на E. A и B дополняют друг друга, если

" x Î E m_A(x) = 1 - m _B(x).

Обозначение: B = или A = .

Очевидно, что = A. (Дополнение определено для M = [0, 1], но очевидно, что его можно определить для любого упорядоченного M ).

Пересечение.

A Ç B - наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B.

mA Ç B(x) = min( m_A(x), m _B(x)).

Объединение.

А È В - наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности:

mA È B(x) = max( m_A(x), m _B(x)).

Разность.

А - B = А Ç с функцией принадлежности:

m_A-B(x) = mA Ç (x) = min( m_A(x), 1 - m _B(x)).

Дизъюнктивная сумма.

А Å B = (А - B) È (B - А) = (А Ç ) È ( Ç B) с функцией принадлежности:

m_A-B(x) = max{[min{ m _A(x), 1 - m_B(x)}]; [min{1 - m_A(x), m_B(x)}] }

Примеры.

Пусть:

A = 0, 4/ x ₁ + 0, 2/ x ₂+0/ x ₃+1/ x ₄;

B = 0, 7/ x ₁+0, 9/ x ₂+0, 1/ x ₃+1/ x ₄;

C = 0, 1/ x ₁+1/ x ₂+0, 2/ x ₃+0, 9/ x ₄.

Здесь:

A Ì B, т.е. A содержится в B или B доминирует A, С несравнимо ни с A, ни с B, т.е. пары { A, С } и { A, С } - пары недоминируемых нечетких множеств.

A ¹ B ¹ C.

= 0, 6/ x ₁ + 0, 8/ x ₂ + 1/ x ₃ + 0/ x ₄;

= 0, 3/ x ₁ + 0, 1/ x ₂ + 0, 9/ x ₃ + 0/ x ₄.

A Ç B = 0, 4/ x ₁ + 0, 2/ x ₂ + 0/ x ₃ + 1/ x ₄.

А È В = 0, 7/ x ₁ + 0, 9/ x ₂ + 0, 1/ x ₃ + 1/ x ₄.

А - В = А Ç = 0, 3/ x ₁ + 0, 1/ x ₂ + 0/ x ₃ + 0/ x ₄;

В - А = Ç В = 0, 6/ x ₁ + 0, 8/ x ₂ + 0, 1/ x ₃ + 0/ x ₄.

А Å В = 0, 6/ x ₁ + 0, 8/ x ₂ + 0, 1/ x ₃ + 0/ x ₄.

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: