Алгебраические операции над нечеткими множествами

Алгебраическое произведение A и B обозначается A × B и определяется так:

" x Î E m_{A × B} (x) = m_A(x) m_B(x).

Алгебраическая сумма этих множеств обозначается и определяется так:

" x Î E = m _A(x) + m _B (x) - m _A (x) m _B (x).

Для операций {×, } выполняются свойства:

- коммутативность;

- ассоциативность;

A× Æ = Æ, A Æ = A, A× E = A, A E = E

- теоремы де Моргана.

Не выполняются:

- идемпотентность;

- дистрибутивность;

а также A× = Æ, A = E.

Замечание. Доказательства приводимых свойств операций над нечеткими множествами мы оставляем читателю.

Для примера докажем свойство: . Обозначим m_A(x) через a, m_B(x) через b. Тогда в левой части для каждого элемента х имеем: 1- ab, а в правой: (1- a )+(1- b )-(1- a )(1- b ) = 1- a +1- b- 1+ a + b-ab = 1- ab. 

Докажем, что свойство дистрибутивности не выполняется, т.е. A × (B C) ¹ (A × B) (A × C). Для левой части имеем: a ( b + c-bc ) = ab + ac-abc; для правой: ab + ac -( ab )( ac ) = ab + ac + a²bc. Это означает, что дистрибутивность не выполняется при a ¹ a². 

Замечание. При совместном использовании операций {È, Ç, +, × } выполняются свойства:

А× (BÈ C) = (A× B)È (A × C);

А× (BÇ C) = (A× B)Ç (A× C);

А (BÈ C) = (A B)È (A C);

А (BÇ C)=(A B)Ç (A C).

Продолжим обзор основных операций над нечеткими множествами.

На основе операции алгебраического произведения (по крайней мере для целых a эта основа очевидна) определяется операция возведения в степень a нечеткого множества A, где a - положительное число. Нечеткое множество A a определяется функцией принадлежности m_A ^a = m ^a_A(x). Частным случаем возведения в степень являются:

CON(A) = A² - операция концентрирования,

DIL(A) = A^{0, 5} - операция растяжения,

которые используются при работе с лингвистическими неопределенностями.

 

Умножение на число. Если a - положительное число, такое, что a m _A(x) £ 1, то нечеткое множество aA имеет функцию принадлежности:

maA(x) = amA(x).

Выпуклая комбинация нечетких множеств. Пусть A ₁, A ₂,.., A _n - нечеткие множества универсального множества E, а w₁, w₂, ..., w_n - неотрицательные числа, сумма которых равна 1.

Выпуклой комбинацией A ₁, A ₂,.., A _n называется нечеткое множество A с функцией принадлежности:

" x Î E m_A(x₁, x₁,..., x_n) = w₁ m_A1(x) + w₂ m_A2(x) +... + w _n m _Ai (x).

Декартово произведение нечетких множеств. Пусть A ₁, A ₂, ..., A _n - нечеткие подмножества универсальных множеств E ₁, E ₂, ..., E _n соответственно. Декартово произведение A = A ₁´ A ₂ ´ ...´ A _n является нечетким подмножеством множества E = E ₁´ E ₂ ´... ´ E _n с функцией принадлежности:

m_A(x₁, x₁, ..., x_n) = min{ m_A1(x₁), m_A2(x₂), ..., m_Ai(x_n) }.

Оператор увеличения нечеткости используется для преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого множества.

Пусть A - нечеткое множество, E - универсальное множество и для всех x Î E определены нечеткие множества K(х). Совокупность всех K(х) называется ядром оператора увеличения нечеткости Ф. Результатом действия оператора Ф на нечеткое множество A является нечеткое множество вида:

Ф(A, K) = m_A (x)K(х),

где m_A(x)K(х) - произведение числа на нечеткое множество.

Пример:

E = {1, 2, 3, 4};

A = 0, 8/1+0, 6/2+0/3+0/4;

K (1) = 1/1+0, 4/2;

K (2) = 1/2+0, 4/1+0, 4/3;

K (3) = 1/3+0, 5/4;

K (4) = 1/4.

 

Тогда

Ф (A, K) = m _A (1) K (1) È m _A (2) K (2) È m _A (3) K (3) È m _A (4) K (4) =

= 0, 8(1/1+0, 4/2) È 0, 6(1/2+0, 4/1+0, 4/3) =

= 0, 8/1+0, 6/2+0, 24/3.

Четкое множество a-уровня (или уровня a). Множеством a-уровня нечеткого множества A универсального множества E называется четкое подмножество A a универсального множества E, определяемое в виде:

A a ={ x /m _A ( x )³ a}, где a£ 1.

Пример: A = 0, 2/x₁ + 0/x₂ + 0, 5/x₃ + 1/x₄,

тогда A_0.3 = { x ₃, x ₄},

A_0.7 = { x ₄}.

Достаточно очевидное свойство: если a₁ ³ a₂, то A _a1£ A _a2.

Теорема о декомпозиции. Всякое нечеткое множество A разложимо по его множествам уровня в виде:

A = aA _a, где aA _a - произведение числа a на множество A, и a " пробегает" область значений M функции принадлежности нечеткого множества A.

Пример: A = 0, 1/ x ₁ + 0/ x ₂ + 0, 7/ x ₃ + 1/ x ₄ представимо в виде:

A = 0, 1(1, 0, 1, 1) È 0, 7(0, 0, 1, 1, ) È 1(0, 0, 0, 1)=

= (0, 1/x₁ + 0/x₂ + 0, 1/x₃ + 0, 1/x₄)È (0/x₁ + 0/x₂ + 0, 7/x₃ + 0, 7/x₄)È

È (0/x₁ + 0/x₂ + 0/x₃ + 1/x₄) = 0, 1/x₁ +0/x₂ +0, 7/x₃ +1/x₄.

Если область значений функции принадлежности состоит из n градаций a₁£ a₂£ a₃£ ...£ a_n, то A (при фиксированных значениях градаций) представимо в виде:

A = a _i A _ai,

т.е. определяется совокупностью обычных множеств { A _a1, A _a2, ..., A _ai}, где A _a1 ³ A _a2³ , ..., ³ A _ai.

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: