Расстояние между нечеткими множествами, индексы нечеткости

Пусть A и B - нечеткие подмножества универсального множества E. Введем понятие расстояния r( A, B ) между нечеткими множествами. При введении расстояния обычно предъявляются следующие требования:

r( A, B ) ³ 0 - неотрицательность;

r( A, B ) = r( B, A ) - симметричность;

r( A, B ) < r( A, C ) + r( C, B ).

К этим трем требованиям можно добавить четвертое: r( A, A ) = 0.

Определим следующие расстояния по формулам:

Расстояние Хемминга (или линейное расстояние):

r( A, B ) = ½ m _A (x_i) - m _B (x_i)½ .

Очевидно, что r( A, B )Î [0, n].

Евклидово или квадратичное расстояние:

e( A, B ) = , e( A, B )Î [0, ].

Относительное расстояние Хемминга:

r( A, B ) = , r( A, B )Î [0, 1].

Относительное евклидово расстояние:

e( A, B )= , e( A, B )Î [0, 1].

Расстояние Хемминга и квадратичное расстояние, в случае когда E бесконечно, определяются аналогично с условием сходимости соответствующих сумм:

если E счетное, то

r( A, B ) = ½ m _A (x_i) - m _B (x_i)½ ,

e( A, B ) = ;

если E = R (числовая ось), то

r( A, B ) = ,

e( A, B ) = .

Замечание. Здесь приведены два наиболее часто встречающихся определения понятия расстояния. Разумеется, для нечетких множеств можно ввести и другие определения понятия расстояния.

Перейдем к индексам нечеткости или показателям размытости нечетких множеств.

Если объект х обладает свойством R (порождающим нечеткое множество A ) лишь в частной мере, т.е.

0 < m_A(x) < 1, то внутренняя неопределенность, двусмысленность объекта х в отношении R проявляется в том, что он, хотя и в разной степени, принадлежит сразу двум противоположным классам: классу объектов, " обладающих свойством R ", и классу объектов, " не обладающих свойством R ". Эта двусмысленность максимальна, когда степени принадлежности объекта обеим классам равны, т.е. m_A (x) = (x) = 0, 5, и минимальна, когда объект принадлежит только одному классу, т.е. либо m_A (x) = 1 и (x) = 0, либо m_A (x) = 0 и (x) = 1.

В общем случае показатель размытости нечеткого множества можно определить в виде функционала d(A) со значениями в R (положительная полуось), удовлетворяющего условиям:

d(A) = 0 тогда и только тогда, когда А - обычное множество;

d(A) максимально тогда и только тогда, когда m_A (x) = 0.5 для всех x Î E.

d(A)d(B), если A является заострением B , т.е.

m_A (x) £ m_B (x) при m_B (x) < 0, 5;

m_A (x) ³ m_B (x) при m_B (x) > 0, 5;

m_A (x)- любое при m_B (x) = 0, 5.

d(A) = d ( ) - симметричность по отношению к 0, 5.

d(AÈ B)+d(AÇ B) = d(A)+d(B).

 

Замечание. Приведенная система аксиом при введении конкретных показателей размытости часто используется частично, т.е., например, ограничиваются свойствами P1, P2 и P3, либо некоторые свойства усиливаются или ослабляются в зависимости от решаемой задачи.

Рассмотрим индексы нечеткости (показатели размытости), которые можно определить, используя понятие расстояния.

 

Обычное множество, ближайшее к нечеткому

 

Пусть A - нечеткое множество. Вопрос: какое обычное множество A Ì E является ближайшим к A, т.е. находится на наименьшем евклидовом расстоянии от нечеткого множества A. Таким подмножеством, обозначаемым A, является подмножеством с характеристической функцией:

.

Обычно принимают m_A (x_i) = 0, если m_A (x_i) = 0, 5.

Используя понятие обычного множества, ближайшего к нечеткому, введем следующие индексы нечеткости нечеткого множества А.

Линейный индекс нечеткости:

Здесь r( A, A ) - линейное (хеммингово) расстояние, множитель - обеспечивает выполнение условия 0< d( A )< 1.

 

Квадратичный индекс нечеткости

, 0< d( A )< 1.

Здесь e( A, A ) - квадратичное (евклидово) расстояние.

Замечания.

1. Мы ввели линейный и квадратичный индексы нечеткости, используя понятие расстояния и понятие обычного множества, ближайшего к нечеткому. Эти же индексы можно определить, используя операцию дополнения, следующим образом:

- линейный индекс,

- квадратичный индекс.

2. Отметим следующие свойства, связанные с ближайшим обычным множеством:

АÇ В=А Ç В,

АÈ В=А È В;

а также " x Î E: | m_A(x_i)- m_A(x_i)|= , откуда для линейного индекса нечеткости имеем:

,

т.е. в этом представлении становится очевидным, что d( A )=d( ).

3. Нечеткое множество с функцией принадлежности иногда называют векторным индикатором нечеткости.

Оценка нечеткости через энтропию

 

Ограничимся случаем конечного универсального множества. Энтропия системы с n состояниями e₁, e₂, ..., e_n, с которыми связаны вероятности p₁, p₂, ..., p_n определяется выражением:

H(p₁, p₂, ..., p_n) = - p_i ln p_i, H_min = 0, H_max = 1.

В случае нечетких множеств положим:

p_A(x_i) =

Тогда общую формулу, позволяющую подсчитать энтропию по нечеткости, можно записать в следующем виде:

H(p_A(x₁), p_A(x₂), ..., p_A(x_n)) = - p_A(x_i) ln p_A(x_i).

Замечание. Попытки использования энтропии в теории нечетких множеств (в приведенном выше виде) показали, что это не лучший способ оценки. Однако работы по обобщению понятия энтропии для нечетких множеств продолжаются.

Принцип обобщения

Принцип обобщения - одна из основных идей теории нечетких множеств - носит эвристический характер и используется для расширения области применения нечетких множеств на отображения. Пусть X и Y - два заданных универсальных множества. Говорят, что имеется функция, определенная на X со значением в Y, если, в силу некоторого закона f, каждому элементу X Î X соответствует элемент yÎ Y.

Когда функцию f: X ® Y называют отображением, значение f(x)Î Y, которое она принимает на элементе xÎ X, обычно называют образом элемента x.

Образом множества А Ì Х при отображении с® Y называют множество f( A )Ì Y тех элементов Y, которые являются образами элементов множества А.

Замечание. Мы напомнили классическое определение отображения, которое в теории нечетких множеств принято называть четким отображением, т.к. наряду с ним мы введем понятие нечеткого отображения (или нечеткой функции).

 

Будем говорить, что имеется нечеткая функция f, определенная на X со значением в Y, если она каждому элементу xÎ X ставит в соответствие элемент yÎ Y со степенью принадлежности m_f(x, y). Нечеткая функция f определяет нечеткое отображение f: X Y.

Принцип обобщения заключается в том, что при заданном четком f: X ® Y или нечетком f: X Y отображении для любого нечеткого множества А, заданного на Х, определяется нечеткое множество f( A ) на Y, являющееся образом A.

Пусть f: X ®Y заданное четкое отображение,

а A = {m_A(x)/х}- нечеткое множество в Х. Тогда образом А при отображении f является нечеткое множество f( A ) на Y с функцией принадлежности:

m _f(A)(y) = m _A(x); yÎ Y,

 

где f ^-1(y)={x/f(x)=y}.

В случае нечеткого отображения f: X Y, когда для любых xÎ X и yÎ Y определена двуместная функция принадлежности m_f(x, y), образом нечеткого множества А, заданного на Х, является нечеткое множество f( A ) на Y с функцией принадлежности:

m _f(A)(y) = min( m _A(x), m _f(x, y)).

 

Замечание. Мы не приводим примеров использования принципа обобщения. Предлагаем подумать, каким образом можно определить нечеткое число и как с помощью принципа обобщения (не забывая декартова произведения) и классических операций возведения числа в степень(одноместная), сложения и умножения (двуместные) получать соответствующие нечеткие результаты. К нечетким отображениям мы вернемся, когда будем рассматривать понятие нечеткого отношения.

НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ

Пусть Е = Е₁ ´ Е₂ ´ ... ´ Е_n - прямое произведение универсальных множеств и М - некоторое множество принадлежностей (например М = [0, 1]). Нечеткое n-арное отношение определяется как нечеткое подмножество R на E, принимающее свои значения в М. В случае n =2 и М = [0, 1], нечетким отношением R между множествами X = Е₁ и Y = Е₂ будет называться функция R: (X, Y) ® [0, 1], которая ставит в соответствие каждой паре элементов (х, y)Î X ´ Y величину m_R (x, y) Î [0, 1]. Обозначение: нечеткое отношение на X ´ Y запишется в виде: xÎ X, yÎ Y: xRy. В случае, когда X = Y, т.е. X и Y совпадают, нечеткое отношение R: X´ X®[0, 1] называется нечетким отношением на множестве X.

 

Примеры:

Пусть X = {x₁, x₂, x₃}, Y = {y₁, y₂, y₃, y₄}, М = [0, 1]. Нечеткое отношение R=XRY может быть задано, к примеру, таблицей:

	y1	y2	y3	y4
x1	0	0	0, 1	0, 3
x2	0	0, 8	1	0, 7
x3	1	0, 5	0, 6	1

 

Пусть X = Y = (- , ), т.е. множество всех действительных чисел. Отношение x> > y (x много больше y) можно задаеть функцией принадлежности:

Отношение R, для которого m_R (x, y) = e ^-k(x-y)2, при достаточно больших k можно интерпретировать так: " x и y близкие друг к другу числа".

В случае конечных или счетных универсальных множеств очевидна интерпретация нечеткого отношения в виде нечеткого графа, в котором пара вершин (x_i, x_j) в случае XRX соединяется ребром с весом m_R (x_i, x_j), в случае XRY пара вершин (x_i, y_j) соединяется ребром c весом m_R (x_i, y_j).

Примеры:

Пусть Х={x₁, x₂, x₃}, и задано нечеткое отношение R: X´ X® [0, 1], представимое графом:

 

Пусть X={x₁, x₂} и Y={y₁, y₂, y₃}, тогда нечеткий граф вида:

 

задает нечеткое отношение XRY.

Замечание. В общем случае нечеткий граф может быть определен на некотором G Ì X ´ Y, где G - множество упорядоченных пар (x, y) (необязательно всех возможных) такое, что G Ç = Æ и G È = X ´ Y.

Будем использовать обозначения вместо и вместо .

Пусть R: X ´ Y ®[0, 1].

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: