НЕЧЕТКИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ И НЕЧЕТКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ

Нечеткими высказываниями будем называть высказывания следующего вида:

Высказывание < b есть b'>, где b - наименование лингвистической переменной, b' - ее значение, которому соответствует нечеткое множество на универсальном множестве Х.

Например высказывание < давление большое> предполагает, что лингвистической переменной " давление" придается значение " большое" , для которого на универсальном множестве Х переменной " давление" определено соответствующее данному значению " большое" нечеткое множество.

Высказывание < b есть mb'>, где m - модификатор, которому соответствуют слова " ОЧЕНЬ", " БОЛЕЕ ИЛИ МЕНЕЕ", " МНОГО БОЛЬШЕ" и др.

Например: < давление очень большое>, < скорость много больше средней> и др.

Составные высказывания, образованные из высказываний видов 1. и 2. и союзов " И", " ИЛИ", " ЕСЛИ.., ТО...", " ЕСЛИ.., ТО.., ИНАЧЕ".

Высказывания на множестве значений фиксированной лингвистической переменной

То, что значения фиксированной лингвистической переменной соответствуют нечетким множествам одного и того же универсального множества Х, позволяет отождествлять модификаторы " очень" или " не" с операциями " CON" и " дополнение", а союзы " И", " ИЛИ" с операциями " пересечение" и " объединение" над нечеткими множествами.

Для иллюстрации понятия лингвистической переменной мы в качестве примера рассматривали лингвистическую переменную " толщина изделия" с базовым терм-множеством Т = {" малая", " средняя", " большая" }. При этом на Х = [10, 80] мы определили нечеткие множества А₁, А₂, А₃, соответствующие базовым значениям: " малая", " средняя", " большая".

В этом случае высказыванию < толщина изделия очень малая> соответствует нечеткое множество CONA = A²; высказыванию < толщина изделия не большая или средняя> - нечеткое множество А₂È высказыванию < толщина изделия не малая и не большая> А₁Ç .

Высказывания < толщина изделия много больше средней> или < толщина изделия близка к средней> требуют использования нечетких отношений R (" много больше, чем" ) и R (" близко к" ), заданных на Х´ Х. Тогда этим высказываниям будут соответствовать нечеткие множества A·R₁ и A·R₂, индуцированные нечеткими отношениями R₁ и R₂.

Случай двух и более лингвистических переменных

Пусть < a, T_a, X, G_a, M_a> и < b, T_b, Y, G_b, M_b> - лингвистические переменные, и высказываниям < a есть a'>, < b есть b '> соответствуют нечеткие множества А и В заданные на X и Y.

Составные нечеткие высказывания вида 3, связывающие значения лингвистических переменных a и b, можно привести к высказываниям вида 1, введя лингвистическую переменную (a, b), значениям которой будут соответствовать нечеткие множества на X´ Y.

Напомним, что нечеткие множества А и В, заданные на X и Y, порождают на X´ Y нечеткие множества и , называемые цилиндрическими продолжениями, с функциями принадлежности:

(x, y) = m_A(x) при любом y,

(x, y) = m_B(y) при любом x,

 

где (x, y) X´ Y.

Нечеткие множества, соответствующие составным высказываниям

< a есть a' и b есть b'> и

< a есть a' или b есть b'>,

 

определяются по следующим правилам (преобразования к виду 1), справедливым при условии невзаимодействия переменных, т.е. множества X и Y таковы, что их элементы не связаны какой-либо функциональной зависимостью.

Правила преобразований нечетких высказываний

Правило преобразования конъюнктивной формы

Справедливо выражение:

< a есть a' и b есть b'> Þ < (a, b) есть (a'Ç b')>.

Здесь Þ - знак подстановки, a'Ç b' - значение лингвистической переменной (a, b), соответствующее исходному высказыванию < a есть a' и b есть b'>, которому на X´ Y ставится в соответствие нечеткое множество Ç c функцией принадлежности

(x, y) = (x, y)L (x, y) = m_A(x)Lm_B(y).

Правило преобразования дизъюнктивной формы

Справедливо выражение:

< a есть a' или b есть b'> Þ < (a, b) есть (a'È b')>, где значению (a'È b') лингвистической переменной (a, b) соответствует нечеткое множество È , с функцией принадлежности

(x, y) = (x, y)V (x, y) = m_A(x)Vm_B(y).

Замечание 1. Правила справедливы также для переменных вида < a, T₁, X, G₁, M₁> и < a, T₂, Y, G₂, M₂>, когда в форме значений лингвистических переменных формализованы невзаимодействующие характеристики одного и того же объекта. Например, для построения нечеткого множества высказывания < ночь теплая и очень темная> нужно использовать правило конъюнктивной формы, а для высказывания < ночь теплая или очень темная> - правило дизъюнктивной формы.

Замечание 2. Если задана совокупность лингвистических переменных {< a_i, T_i, X_i, G_i, M_i> }, i = 1, 2, .., n, то любое составное высказывание, полученное из высказываний < a есть a'> с использованием модификаторов " очень", " не", " более или менее" и др. и связок " и", " или", можно привести к виду < a есть a'>, где a - составная лингвистическая переменная (a₁, a₂,.., a_n ), a' - ее значение, определяемое (как и функция принадлежности) в соответствии с вышеуказанными правилами.

Правило преобразования высказываний импликативной формы

Справедливо выражение:

< если a есть a', то b есть b'> Þ < (a, b) есть (a'®b')>, где значению (a'®b') лингвистической переменной (a, b) соответствует нечеткое отношение XRY на X´ Y.

Функция принадлежности m_R(x, y) зависит от выбранного способа задания нечеткой импликации.

Способы определения нечеткой импликации

Будем считать, что заданы универсальные множества X и Y, содержащие конечное число элементов. Под способом определения нечеткой импликации " если А, то В" (где А и В нечеткие множества на X и Y соответственно) будем понимать способ задания нечеткого отношения R на X´ Y, соответствующего данному высказыванию.

С целью обоснованного выбора определения нечеткой импликации, японскими математиками Мидзумото, Танака и Фуками было проведено исследование всех известных по литературе определений (плюс предложенные авторами). Рассмотренные определения задавали следующие нечеткие отношения для высказывания " если А, то В":

R_m = (A´ B)È ( ´ Y)

m_Rm(x, y) = (m_A(x)L m_B(y)) V (1 - m_A(x));

R_a = ( ´ Y)Å (X´ B)

m_Ra(x, y) = 1 L (1-m_A(x) + m_B(y));

R_c = A´ B

m_Rc(x, y) = m_A(x)L m_B(y);

R_s = A´ Y X´ B

m_Rs(x, y) = ;

R_g = A´ Y X´ B

m_Rg(x, y) = ;

R_sg = ( A´ Y X´ B ) Ç ( )

;

R_gg = ( A´ Y X´ B) Ç ( )

;

R_gs = ( A´ Y X´ B) Ç ( )

;

R_ss = ( A´ Y X´ B) Ç ( )

;

R_b = ( ´ Y)È (X´ B)

m_Rb(x, y) = (1-m_A(x)) Ú m_B(y);

Rà = A´ Y X´ B

;

R· = A´ Y X´ B

R_* = A´ Y X´ B

m_R*(x, y) = 1 - m_A(x)+ m_A(x)× m_B(y);

R_# = A´ Y X´ B

m_R#(x, y)=( m_A(x)Ù m_B(y))Ú ((1 - m_A(x)) Ù (1 - m_B(y)) Ú (m_B(y) Ù (1 - m_A (x));

RÑ = A´ Y X´ B

Правилом вывода являлось композиционное правило вывода с использованием (max-min)-композиции.

В качестве значений на входе системы рассматривались:

A' = A;

A' = " очень А" = А², m_A^{0, 5}(x) = m_A(x)²;

A' = " более или менее А" = А^{0, 5} m_A^{0, 5}(x)= m_A(x)^{0, 5};

A' = m_A(x)^{0, 5}, (x) = 1 - m_A (x).

Приведем таблицу итогов исследования. В ней символ " 0" означает выполнение соответствующей схемы вход-выход, символ " x" - невыполнение. Следствие " неизвестно" (Н) соответствует утверждению: " если x=A, то нельзя получить никакой информации об y".

В данной таблице первая графа -" Посылка", вторая -" Следствие".

1

2

Rm

Ra

Rc

Rs

Rg

Rsg

Rgg

Rgs

Rss

Rb

Rà

R·

R*

R#

RÑ

A

B

x

x

0

0

0

0

0

0

0

x

x

x

x

x

x

A2

B2

x

x

x

0

x

0

x

x

0

x

x

x

x

x

x

A2

B

x

x

0

x

0

x

0

0

x

x

x

x

x

x

x

A0, 5

B0, 5

x

x

x

0

0

0

0

0

0

x

x

x

x

x

x

A0, 5

B

x

x

0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Н

0

0

x

0

0

x

x

x

x

0

0

0

0

x

x

A

B

x

x

x

x

x

0

0

0

0

x

x

x

x

x

x

Кроме ответа о выполнении соответствующей схемы (0 или х), авторами исследованы явные выражения для функций принадлежности следствий по каждому из вариантов определения нечеткой импликации, на основе чего ими был сформулирован вывод:

- R_m и R_a не могут быть использованы;

- R_c может использоваться частично; - R_s, R_g, R_sg, R_gg, R_gs, R_ss рекомендованы к использованию;

- R_b, Rà, R·, R_*, R_#, RÑ не рекомендованы к использованию.

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: