Композиция двух нечетких отношений

Композиция двух нечетких отношений

Пусть R₁ - нечеткое отношение R₁: ( X ´ Y )®[0, 1] между X и Y, и R₂ - нечеткое отношение R₂: ( Y ´ Z )® [0, 1] между Y и Z. Нечеткое отношение между X и Z, обозначаемое R₂ ·R₁, определенное через R₁ и R₂ выражением

m_{R1 ·R2} (x, z) = [ m_R1 (x, y)L m_R1 (y, z)],

называется (max-min)-композицией отношений R₁ и R₂.

 

Примеры:

R1   y1 y2 y3 x1 0, 1 0, 7 0, 4 x2 1 0, 5 0

R2   z1 z2 z3 z4 y1 0, 9 0 1 0, 2 y2 0, 3 0, 6 0 0, 9 y3 0, 1 1 0 0, 5

R2·R1   z1 z2 z3 z4 x1 0, 3 0, 6 0, 1 0, 7 x2 0, 9 0, 5 1 0, 5

m _{R1 · R2} (x₁, z₁) = [m_R1(x₁, y₁) L m _R2 (y₁, z₁)] V [ m _R1 (x₁, y₂) L m _R2 (y₂, z₁)] V [ m _R1 (x₁, y₃) L m _R2 (y₃, z₁)] =

= (0, 1L0, 9)V(0, 7L0, 3)V(0, 4L0, 1) = 0, 1V0, 3V0, 1 = 0, 3

m _{R1 · R2} (x₁, z₂) = (0, 1L0)V(0, 7L0, 6)V(0, 4L 1) = 0V0, 6V0, 4 = 0, 6

m _{R1 · R2} (x₁, z₃) = 0, 1

...................

...................

m _{R1 · R2} (x₂, z₅) = 0, 5

Замечание. В данном примере вначале использован " аналитический" способ композиции отношений R₁ и R₂ , т.е. i-я строка R₁ " умножается" на j-й столбец R₂ с использованием операции L, полученный результат " свертывается" с использованием операции V в m (x_i, z_j).

Ниже приведены графы, соответствующие R₁ и R₂, " склеенные" по Y. В полученном графе рассматриваем пути от x_i к z_j и каждому ставим в соответствие минимальный из " весов" его составляющих. Затем определяем максимум по всем путям из x_i в z_j, который и дает искомое m(x_i, z_j).

Свойства max-min композиции

Операция (max-min)-композиции ассоциативна, т.е.

R₃·(R₂·R₁) = (R₃·R₂ )·R₁,

 

дистрибутивна относительно объединения, но недистрибутивна относительно пересечения:

R₃·(R₂È R₁) = (R₃·R₂)È (R₃·R₁),

R₃·(R₂Ç R₁)¹ (R₃· R₂)Ç (R₃· R₁).

Кроме того, для (max-min)-композиции выполняется следующее важное свойство: если R₁Ì R₂ то, R·R₁ Ì R·R₂.

(max- *) - композиция

В выражении m_{R1 ·R2} (x, z) = [ m_R1 (x, y)L m_R2 (y, z)] для (max-min)-композиции отношений R₁ и R₂ операцию L можно заменить любой другой, для которой выполняются те же ограничения, что и для L: ассоциативность и монотонность (в смысле неубывания) по каждому аргументу. Тогда:

m_{R1 ·R2} (x, z) = [ m_R1 (x, y)* m_R1 (y, z)]

 

В частности, операция L может быть заменена алгебраическим умножением, тогда говорят о (max - prod)-композиции.

Обычное подмножество a - уровня нечеткого отношения

Обычным подмножеством a - уровня нечеткого отношения R называется четкое (обычное) отношение Ra такое, что

m _R1 (x, y) =

 

Очевидно, что из a₁£ a₂ следует R_a1 ³ R_a2.

Теорема декомпозиции

Любое нечеткое отношение R представимо в форме:

R = a × Ra, 0< a£ 1,

 

где a × R_a означает, что все элементы R_a умножаются на a.

Условные нечеткие подмножества.

Пусть X и Y - универсальные множества, взаимосвязь которых задана нечетким отношением R: ( X ´ Y )®[0, 1], т.е. для каждой пары (x, y)Î X ´ Y задано значение функции принадлежности m_R (x, y)Î [0, 1].

Пусть А - некоторое нечеткое множество, заданное на Х, т.е. определена функция принадлежности m_A(x) для всех х из Х. Тогда нечеткое множество А и нечеткое отношение R индуцируют в Y нечеткое подмножество B с функцией принадлежности

m _B (y) = min[ m _A (x), m _R (x, y)] = [ m _A (x)L m _R (x, y)].

Обозначение: B = A·R.

Пример:

Пусть X = {x₁, x₂, x₃}, Y = {y₁, y₂, y₃, y₄} и заданы нечеткое отношение

XRY =		y1	y2	y3	y4
	x1	0, 8	1	0	0, 3
	x2	0, 8	0, 3	0, 8	0, 2
	x3	0, 2	0, 3	0	0, 4

и нечеткое множество A = {0, 3/x₁, 0, 7/x₂, 1/x₃}.

Проведем операцию L для А и столбца y₁:

x1 x2 x3 0, 3 0, 7 1

L

y1 0, 8 0, 8 0, 2

=

y1 0, 3L0, 8 0, 7L0, 8 1L0, 2

=

y1 0, 3 0, 7 0, 2

После выполнения операции V на элементах полученного столбца имеем:

m _B (y₁) = 0, 3V0, 7V0, 2 = 0, 7.

Проделав аналогичные вычисления для y₂, y₃, y₄ имеем:

m _B (y₂) = 0, 3

m _B (y₃) = 0, 7

m _B (y₄) = 0, 4.

И окончательно:

A		R		B
0, 3 0, 7 1	·	0, 8 1 0 0, 3 0, 8 0, 3 0, 8 0, 2 0, 2 0, 3 0 0, 4	=	0, 7 0, 3 0, 7 0, 4

Замечание. При заданном R, если А индуцирует В, то ближайшее четкое подмножество А индуцирует В.

Нечеткие подмножества последовательно обуславливающие друг друга

Если

А₁ индуцирует А₂ посредством R₁,

А₂ индуцирует А₃ посредством R₂,

.............................................

А_n-1 индуцирует А_n посредством R_n-1,

то

А₁ индуцирует А_n посредством R_{n-1 ·}R_n-2·...·R₁,

где R_n-1 ·R_n-2 ·... ·R₁ - определенная выше композиция нечетких отношений R₁, R₂, ..., R_n.

Пример:

Вернемся к примеру (max-min)-композиции.

R1	·	R2	=	R1·R2
y1 y2 y3 x1 0, 1 0, 7 0, 4 x2 1 0, 5 0		z1 z2 z3 z4 y1 0, 9 0 1 0, 2 y2 0, 3 0, 6 0 0, 9 y3 0, 1 1 0 0, 5		z1 z2 z3 z4 x1 0, 3 0, 6 0, 1 0, 7 x2 0, 9 0, 5 1 0, 5

Пусть А={0, 3/x₁, 0, 7/x₂ }, тогда

А1		R1		А2
0, 3 0, 7	·	0, 1 0, 7 0, 4 1 0, 5 0	=	0, 7 0, 5 0, 3

 

А2		R2		А3
0, 7 0, 5 0, 3	·	0, 9 0 1 0, 2 0, 3 0, 6 0 0, 9 0, 1 1 0 0, 5	=	0, 7 0, 5 0, 7 0, 5

 

А1		R1·R2		А3
0, 3 0, 7	·	0, 3 0, 6 0, 1 0, 7 0, 9 0, 5 1 0, 5	=	0, 7 0, 5 0, 7 0, 5

Немного о бинарных отношениях вида XRX

Нечеткие отношения вида XRX задаются функцией принадлежности m _R (x, y), но с условием, что x и y - элементы одного и того же универсального множества. В зависимости от своих свойств (основные - симметричность, рефлексивность, транзитивность) конкретные нечеткие отношения задают отношения сходства и различия, порядка или слабого порядка между элементами Х. Они имеют обширную сферу приложений в задачах автоматической классификации и принятия решений (сравнение альтернатив).

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: