Немного математики» или «Аукцион первой цены и теорема об эквивалентности форматов»

В этом разделе нам придется использовать некоторое количество математики, поэтому тем, кому это покажется сложным, могут пропустить формулы, остановившись лишь на выводах, очень важных и красивых.

Итак, вспомним аукцион первой цены и попробуем ответить на вопрос, какую конкретную сумму должен указывать рационально действующий участник в зависимости от собственной оценки объекта. В отличие от аукциона второй цены, где доминирующей стратегией является честное поведение, здесь не все так очевидно.

Начнем рассмотрение с простого случая двух одинаковых покупателей с равномерными на отрезке [0; 1] функциями распределения ценности. Попробуем найти симметричное равновесие, то есть такую функцию превращения ценности в заявки b = f(v), которая является оптимальным ответом на себя саму (если один участник аукциона использует ее, то второму выгодно делать то же самое). Поиск будет происходить в классе монотонно возрастающих дифференцируемых функций, которые стартуют из нуля. Это содержательно означает, что участник аукциона, который совершенно не ценит данный объект, не станет за него платить, а чем больше будет ценность, тем выше ставка, которую он готов поставить.

Если участник с субъективной ценностью лота v запишет в конверт ставку b, его ожидаемый выигрыш составит V = (v – b) P(b), где P(b) – вероятность победы на аукционе. Заметим, что при низких ставках b в случае победы можно выиграть очень много, но вероятность победы будет крайне невелика. Напротив, если ставка b приближается к ценности v, вероятность выигрыша возрастает, однако сам выигрыш окажется невелик. То есть для двух крайностей b = 0 и b = v ожидаемый выигрыш окажется нулевым, нам же нужно найти промежуточное значение, где он максимален.

Для нахождения максимума сначала нужно понять, чему равняется вероятность победы на аукционе. Поскольку предполагается симметричность стратегий в равновесии, конкурент использует такую же функцию f(v) выбора ставки в зависимости от ценности, как и мы. Мы побеждаем конкурента в случае, если его оптимальная ставка b₂ = f(v₂) не превышают нашу, равную b. С учетом монотонности функции f(v) это будут участники с оценкой ниже, чем v = f ^–1(b). Доля таких конкурентов для равномерного распределения ценности на отрезке [0; 1] в точности совпадает со значением f ^–1(b). Например, вероятность того, что оценка конкурента не выше 0, 4 составляет 40%. Таким образом, функция выигрыша примет вид V = (v – b) f ^–1(b).

Для каждого значения v необходимо максимизировать данную функцию по ставке b ∈ [0; 1]. В результате решения этой параметрической задачи будет сконструирована функция f(v). Чтобы отыскать точку максимума функции выигрыша, необходимо вычислить ее производную. Учитывая, что производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, получим следующее:

(v – b) f ^–1(b) ® max,

− f ^–1(b) + (v – b) / f ′ (f ^–1(b)) = 0,

v – b = f ^–1(b) f ′ (f ^–1(b)).

А теперь самый главный момент. Если f(v) – равновесная стратегия поведения, то для произвольной ценности v решением этого уравнения должно служить в точности значение ставки b = f(v), которое мы можем подставить в уравнение. Получим

v – f(v) = f ^–1(f(v)) f ′ (f ^–1(f(v)).

Поскольку обратная функция берется от прямой, многое сократится:

v = f(v) + v f ′ (v).

Заметим, что слева и справа здесь угадываются полные дифференциалы от двух функций:

,

Это означает, что f(v)v = v²/2 + C, а поскольку в соответствии с наложенным ранее условием f(0) = 0, константа C также равняется нулю. Значит ответ будет иметь вид f(v) = v/2.

Итак, оптимальная стратегия поведения в аукционе первой цены с двумя участниками в случае равномерно распределенных на отрезке ценностей – называть половину собственной оценки.

Сделаем первое возможное обобщение – найдем оптимальную стратегию для такого же аукциона с произвольным числом участников, которое равно n. Большая часть рассуждений останется неизменной. Отличие заключается в том, что для победы теперь нужно, чтобы не только одна, но все ставки (n–1) конкурента были ниже нашей. Учитывая то, что вероятность такого события для одного конкурента равна f ^–1(b), найдем итоговую вероятность (f ^–1(b)) ^n–1 и итоговый ожидаемый выигрыш (v – b) (f ^–1(b)) ^n–1, который и максимизируем по b, снова принимая во внимание, что b = f(v):

– (f ^–1(b)) ^n–1 + (v – b) (n – 1) (f ^–1(b)) ^n–2 / f ′ (f ^–1(b)) = 0,

(v – b) (n – 1) = f ^–1(b) f ′ (f ^–1(b)),

v (n – 1) = f(v) (n – 1) + v f ′ (v).

Домножим обе части данного равенства на v ^n–2 и увидим слева и справа полные дифференциалы:

v ^n–1 (n – 1) = f(v) (n – 1) v ^n–2 + f ′ (v) v ^n–1,

,

f(v) v ^n–1 = v ⁿ (n – 1)/n + C.

При С = 0 получаем функцию оптимальной ставки f(v) = v (n – 1)/n.

Второе обобщение более серьезное – мы откажемся от нереалистичного предположения о равномерном на отрезке распределении ценностей и рассмотрим произвольный случай. Итак, пусть распределение ценностей участников аукциона задано функцией F(v). Данная функция показывает вероятность того, что ценность объекта не превышает сумму v. Для того, чтобы победить на аукционе, нужно, чтобы ставки всех участников не превосходили нашу, а, исходя из симметричности равновесия и монотонности f(v), ценности для всех участников были не больше, чем для нас. Таким образом, вероятность победы будет равна G(f ^–1(b)) º F ^n–1(f ^–1(b)), а максимизируемая функция ожидаемого выигрыша примет вид (v – b) G(f ^–1(b)). Продифференцируем ее по ставке b, снова принимая в расчет, что v = f ^–1(b):

,

,

.

Решив полученное дифференциальное уравнение, найдем равновесную функцию ставки для общего случая аукциона первой цены:

.

Заметим, что из нее легко получить результаты для рассмотренных выше частных случаев. Для равномерного распределения получим:

Случай двух игроков: G(v) = v, .

Случай произвольного n: G(v) = v ^n–1, .

С помощью интегрирования по частям запишем равновесную функцию ставки в еще одном виде:

.

Напрямую из выведенной формулы видно, что при любом распределении ценностей оптимальная ставка будет строго ниже оценки объекта. Это первый важный вывод, теперь доказанный строго.

Перейдем от функции G(v) обратно к F(v):

Из нее следует второй важный вывод для аукциона первой цены, который выполняется вне зависимости от распределения ценностей: чем больше участников аукциона, тем ближе ставка должна быть к оценке объекта.

Еще более интересный результат (но его оставим без доказательства) состоит в том, что средний выигрыш аукциониста, продающего объект на аукционе первой цены, в точности совпадет со средним выигрышем на аукционе Викри. И это не случайно. В 1981 году Роджер Майерсон доказал следующий фантастический результат, названный теоремой об эквивалентности форматов. В это очень сложно поверить, но если для правила проведения аукциона и его равновесия верны всего три очень простых свойства

1. Игрок с нулевой оценкой ничего не платит.

2. Объект всегда отдается тому участнику, который указал максимальную ставку (точнее, даже шире – должна быть одинаковая функция размещения объекта).

3. Равновесие симметрично.

то средний выигрыш продавца не будет зависеть от других правил проведения аукциона. Именно эта теорема в 2007 году принесла Майерсону Нобелевскую премию по экономике. И не случайно. Это действительно мощнейший механизм анализа аукционов и конструирования их дизайна.

Действительно мы можем больше не задумываться о том, сколько денег принесет тот или иной аукцион – все они будут одинаковы: английский и голландский, первой цены или второй, третьей (для которого выполняется необычное свойство – ставка в равновесии должна превосходить оценку лота! ) или all-pay (конечно, в варианте закрытого аукциона). Для последнего, кстати, благодаря теореме гораздо проще найти равновесную ставку, чем посредством решения сложных дифференциальных уравнений. Можно задуматься даже о разработке эксклюзивного дизайна для того, чтобы аукцион лучше работал в условиях дополнительных ограничений или удовлетворял определенным желаемым свойствам. Если этот дизайн не нарушает указанных предположений, аукцион по-прежнему останется оптимальным.

 

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: