Приведение системы сил к простейшему виду.

О

h=

L

Как выше было доказано, произвольная система сил, как угодно расположенных в пространстве, может быть приведена к одной силе, равной главному вектору  системы и приложенной в произвольном центре приве

дения О, и одной паре с моментом , равным глав­ному моменту системы относительно того же центра. Поэтому в дальнейшем произвольную систему сил можно

 

    Рис 8

заменять эквива­лентной ей сово

О

О*

Рис 9

купностью двух векторов — силы  и момента , прилоложенных в точке О. При изменении положения центра приведения О главный вектор  будет сохранять величину и напра­вление, а главный момент  будет изменяться. Докажем, что если главный вектор отличен от нуля и перпендикулярен к главному моменту, то система сил приводится к одной силе, которую в этом случае будем называть равнодействующей  (рис.8). Главный момент  можно представить парой сил ( , ) с плечом , тогда силы  и главный вектор образуют систему двух сил эквивалентную нулю, которую можно отбросить. Останется одна сила , действующая вдоль прямой, параллельной главному вектору и проходящей на расстоянии h=  от плоскости, образуемой векторами   и (1). Рассмотренный случай показывает, что если с самого начала выбрать центр приведения на прямой L, то систему сил сразу бы привели к равнодействующей, главный момент был бы равен нулю. Теперь докажем, что если главный вектор отличен от нуля и не перпендикулярен к главному моменту, то за центр приведения может быть выбрана такая точка О*, что главный момент относительно этой точки и главный вектор расположатся на одной прямой. Для доказательства разложим момент на две составляю­щие- одну , направленную вдоль главного вектора, и другую  - перпендикулярную к главному вектору. Тем самым пара сил  раскладывается на две пары с моментами: и , причем плоскость первой пары перпендикулярна к , тогда плоскость второй пары, перпендикулярная к вектору  (рис 9) содержит вектор . Совокупность пары с моментом и силы образует систему сил, которая может быть сведена к одной силе (рис.8) , проходящей через точку О*. Таким образом (рис 9), совокупность главного вектора  и главного момента    в точке О сведена к силе , проходящей через точку О*, и паре с моментом параллельным этой прямой , что и требовалось доказать. Совокупность силы и пары, плоскость которой перпендикулярна к линии действия силы, называется динамой (2)(рис.10).

Пару сил можно представить двумя равными по величине силами      ( , ), расположенными как показано на рис 10. Но, сложив две силы и , получим их сумму  и оставшую

Рис 10

П

ся силу , откуда следует (рис.10), что совокупность главного вектора  и главного момента  в точке О, может быть сведена к двум непересекающимся силам  и (3).

 

Рассмотрим некоторые случаи приведения системы сил.

1. Плоская система сил (4). Пусть для определённости все силы находятся в плоскости OXY. Тогда в самом общем случае

                                                 

Главный вектор не равен нулю, главный момент не равен нулю, их скалярное произведение равно нулю, действительно

,

следовательно, главный вектор перпендикулярен главному моменту: плоская система сил приводится к равнодействующей .

2. Система параллельных сил (5). Пусть для определённости все силы параллельны оси OZ. Тогда в самом общем случае

                                        

Здесь также главный вектор не равен нулю, главный момент не равен нулю, а их скалярное произведение равно нулю, действительно

,

следовательно, и этом случае главный вектор перпендикулярен главному моменту: система параллельных сил приводится к равнодействующей . В частном случае, если  равен нулю, то и главный вектор сил равен нулю, и система сил приводится к паре сил, вектор момента которой находится в плоскости OXY. Систематизируем теперь рассмотренные случаи. Напомним: произвольная пространственная система сил, приложенная к твердому телу, статически эквивалентна силе, равной главному вектору, приложенной в произвольной точке тела (центре приведения), и паре сил с моментом, равным главному моменту системы сил относительно указанного центра приведения. Рассмотрим все частные случаи.

1) Пусть =0, ≠0. Это случай, когда система сил приводится к одной силе, которую будем называть равнодействующей системы сил. Примером такой системы сил можно считать сходящуюся систему сил, для которой линии действия всех сил пересекаются в одной точке (6).

2) ≠0, =0 . Система сил эквивалентна паре сил.

3) ≠0, ≠0, но . Главный вектор не равен нулю, главный момент не равен нулю, их скалярное произведение равно нулю, главный вектор и главный момент ортогональны. Любая система векторов, у которой главный вектор и главный мо­мент не равны нулю и они перпендикулярны, эквивалентна равно­действующей, линия действия которой проходит через точку О* (рис 8). Примером такой системы сил можно считать плос­кую систему сил или систему параллельных сил.

4) ≠0, ≠0, и главный вектор и главный момент неортогональны. В этом случае система сил приводится к динаме или к двум непересекающимся силам.

Вопросы для самопроверки.

1. К чему приводится система сил, если главный момент перпендикулярен главному вектору?

2. Что такое динама (или динамический винт)?

3. Как привести систему к двум непересекающимся силам?

4. К чему приводится плоская система сил?

5. К чему приводится система параллельных сил?

6. К чему приводится сходящаяся система сил?

Практическое занятие 2

1. Чему равен момент силы F с проекциями на оси декартовой системы координат (1,2,3) относительно оси Oy, если координаты точки ее приложения (0,1,5) . 

В нашем случае Мх=-7, Му=5, Мz=-1.

2. Чему равен момент системы сил с проекциями главного вектора ( 1,2,3 ) и проекциями главного момента относительно начала координат (3,2,1) относительно нового центра с координатами (0,2,4).

 

 

3.

Р

F

О

А

В

ά

β

Чему равен момент силы Р=10 н и F=15н    относительно оси 0Z , перпендикулярной плоскости рисунка, если ОА= 0.1м, АВ=0.15м Углы ά и β равны соответственно π/6 и π/4. Все силы лежат в плоскости чертежа.

 

 

3. Приведите указанную на рисунке систему сил к силе и паре. Равные силы направлены по диагоналям граней кубика со стороной b.

Проекции главного вектора

У

Х

Z

Проекции главного момента

Квадратная крышка ABCD открыта на угол α=π/3 и удерживается в этом положении стержнем СЕ. Чему равны проекции силы F на оси OX , OY и Оz?  Сила F направлена по линии ВD.

X

Y

Z

A

B

D

F

E

α

Крышка ABCD открыта на угол α=π/6 и удерживается в этом положении стержнем СЕ. Отношение АВ/ВС=3/4 Чему равен момент силы относительно оси OZ? Сила F направлена по линии ВD.

Чтобы найти момент силы F, необходимо найти её проекции на оси координат. Спроектируем силу F на стороны крышки: на ВС и АD. Диагональ ВD прямоугольника АВСD является гипотенузой прямоугольного треугольника АВD с отношением сторон АВ:АD:ВD=3:4:5 («арабский треугольник»). Тогда проекция силы F на ось ОY равна  ,   а проекция на АВ будет  . Проекция  лежит в плоскости XYZ и направлена от В к А, следовательно

. Координаты точки приложения силы  равны . Далее можно сосчитать проекции момента силы  по формуле задачи 1.

Для самостоятельной подготовки к контрольной работе рекомендуется решить следующие задачи из задачника И.В. Мещерского «Сборник задач по теоретической механике» : 7.1;7.4.

В качестве «помощника» рекомендуем «решебник»

 М.И. Бать, Г.И. Джанелидзе, А.С.Кельзон «Теоретическая механика в примерах и задачах» , том1.

Лекция 3

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: