Приведение системы сил к простейшему виду.
h=
|
Как выше было доказано, произвольная система сил, как угодно расположенных в пространстве, может быть приведена к одной силе, равной главному вектору

системы и приложенной в произвольном центре приве
дения О, и одной паре с моментом
, равным главному моменту системы относительно того же центра. Поэтому в дальнейшем произвольную систему сил можно
Рис 8
заменять эквивалентной ей сово
купностью двух векторов — силы

и момента

, прилоложенных в точке
О. При изменении положения центра приведения
О главный вектор

будет сохранять величину и направление, а главный момент

будет изменяться. Докажем, что если главный вектор отличен от нуля и перпендикулярен к главному моменту, то система сил приводится к одной силе, которую в этом случае будем называть равнодействующей

(рис.8). Главный момент

можно представить парой сил (

,

) с плечом

, тогда силы

и главный вектор

образуют систему двух сил эквивалентную нулю, которую можно отбросить. Останется одна сила

, действующая вдоль прямой, параллельной главному вектору и проходящей на расстоянии
h=

от плоскости, образуемой векторами

и

(
1). Рассмотренный случай показывает, что если с самого начала выбрать центр приведения на прямой
L, то систему сил сразу бы привели к равнодействующей, главный момент был бы равен нулю. Теперь докажем, что если главный вектор отличен от нуля и не перпендикулярен к главному моменту, то за центр приведения может быть выбрана такая точка
О*, что главный момент относительно этой точки и главный вектор расположатся на одной прямой. Для доказательства разложим момент

на две составляющие- одну

, направленную вдоль главного вектора, и другую

- перпендикулярную к главному вектору. Тем самым пара сил

раскладывается на две пары с моментами:

и

, причем плоскость первой пары перпендикулярна к

, тогда плоскость второй пары, перпендикулярная к вектору

(рис 9) содержит вектор

. Совокупность пары с моментом

и силы

образует систему сил, которая может быть сведена к одной силе (рис.8) , проходящей через точку О*. Таким образом (рис 9), совокупность главного вектора

и главного момента

в точке
О сведена к силе

, проходящей через точку
О*, и паре с моментом параллельным этой прямой

, что и требовалось доказать. Совокупность силы и пары, плоскость которой перпендикулярна к линии действия силы, называется динамой (
2)(рис.10).
Пару сил можно представить двумя равными по величине силами (
,
), расположенными как показано на рис 10. Но, сложив две силы
и
, получим их сумму
и оставшую
ся силу

, откуда следует (рис.10), что совокупность главного вектора

и главного момента

в точке
О, может быть сведена к двум непересекающимся силам

и

(
3).
Рассмотрим некоторые случаи приведения системы сил.
1. Плоская система сил (4). Пусть для определённости все силы находятся в плоскости OXY. Тогда в самом общем случае

Главный вектор не равен нулю, главный момент не равен нулю, их скалярное произведение равно нулю, действительно
,
следовательно, главный вектор перпендикулярен главному моменту: плоская система сил приводится к равнодействующей .
2. Система параллельных сил (5). Пусть для определённости все силы параллельны оси OZ. Тогда в самом общем случае

Здесь также главный вектор не равен нулю, главный момент не равен нулю, а их скалярное произведение равно нулю, действительно
,
следовательно, и этом случае главный вектор перпендикулярен главному моменту: система параллельных сил приводится к равнодействующей . В частном случае, если
равен нулю, то и главный вектор сил равен нулю, и система сил приводится к паре сил, вектор момента которой находится в плоскости OXY. Систематизируем теперь рассмотренные случаи. Напомним: произвольная пространственная система сил, приложенная к твердому телу, статически эквивалентна силе, равной главному вектору, приложенной в произвольной точке тела (центре приведения), и паре сил с моментом, равным главному моменту системы сил относительно указанного центра приведения. Рассмотрим все частные случаи.
1) Пусть
=0,
≠0. Это случай, когда система сил приводится к одной силе, которую будем называть равнодействующей системы сил. Примером такой системы сил можно считать сходящуюся систему сил, для которой линии действия всех сил пересекаются в одной точке (6).
2)
≠0,
=0 . Система сил эквивалентна паре сил.
3)
≠0,
≠0, но
. Главный вектор не равен нулю, главный момент не равен нулю, их скалярное произведение равно нулю, главный вектор и главный момент ортогональны. Любая система векторов, у которой главный вектор и главный момент не равны нулю и они перпендикулярны, эквивалентна равнодействующей, линия действия которой проходит через точку О* (рис 8). Примером такой системы сил можно считать плоскую систему сил или систему параллельных сил.
4)
≠0,
≠0, и главный вектор и главный момент неортогональны. В этом случае система сил приводится к динаме или к двум непересекающимся силам.
Вопросы для самопроверки.
1. К чему приводится система сил, если главный момент перпендикулярен главному вектору?
2. Что такое динама (или динамический винт)?
3. Как привести систему к двум непересекающимся силам?
4. К чему приводится плоская система сил?
5. К чему приводится система параллельных сил?
6. К чему приводится сходящаяся система сил?
Практическое занятие 2
1. Чему равен момент силы F с проекциями на оси декартовой системы координат (1,2,3) относительно оси Oy, если координаты точки ее приложения (0,1,5) .

В нашем случае Мх=-7, Му=5, Мz=-1.
2. Чему равен момент системы сил с проекциями главного вектора ( 1,2,3 ) и проекциями главного момента относительно начала координат (3,2,1) относительно нового центра с координатами (0,2,4).


3.
Чему равен момент силы Р=10 н и F=15н относительно оси 0Z , перпендикулярной плоскости рисунка, если ОА= 0.1м, АВ=0.15м Углы ά и β равны соответственно π/6 и π/4. Все силы лежат в плоскости чертежа.

3. Приведите указанную на рисунке систему сил к силе и паре. Равные силы направлены по диагоналям граней кубика со стороной b.
Проекции главного вектора
Проекции главного момента
Квадратная крышка ABCD открыта на угол α=π/3 и удерживается в этом положении стержнем СЕ. Чему равны проекции силы F на оси OX , OY и Оz? Сила F направлена по линии ВD.
Крышка ABCD открыта на угол α=π/6 и удерживается в этом положении стержнем СЕ. Отношение АВ/ВС=3/4 Чему равен момент силы относительно оси OZ? Сила
F направлена по линии ВD.
Чтобы найти момент силы F, необходимо найти её проекции на оси координат. Спроектируем силу F на стороны крышки: на ВС и АD. Диагональ ВD прямоугольника АВСD является гипотенузой прямоугольного треугольника АВD с отношением сторон АВ:АD:ВD=3:4:5 («арабский треугольник»). Тогда проекция силы F на ось ОY равна
, а проекция на АВ будет
. Проекция
лежит в плоскости XYZ и направлена от В к А, следовательно
. Координаты точки приложения силы
равны
. Далее можно сосчитать проекции момента силы
по формуле задачи 1.
Для самостоятельной подготовки к контрольной работе рекомендуется решить следующие задачи из задачника И.В. Мещерского «Сборник задач по теоретической механике» : 7.1;7.4.
В качестве «помощника» рекомендуем «решебник»
М.И. Бать, Г.И. Джанелидзе, А.С.Кельзон «Теоретическая механика в примерах и задачах» , том1.
Лекция 3