Задача об опрокидывании тела. Трение качения.

P

Q

N

F тр

х

H

2а

Рис 15

С

Предположим, что рассматриваемое тело имеет вертикальную плоскость симметрии; пусть сечение тела этой плоскостью представляет прямоугольник со сторонами 2а и 2в (рис. 15).

К телу приложены вертикальная нагрузка (вес) Р и гори­зонтальная сила Q. Реакция плоскости основания на тело приводится к нормальной реакции N и силе трения Fтр, причем линия действия N неизвестна; ее расстояние от точки С обозначим через  х. Оче­видно, х≤а. Составляем три уравнения равновесия плоской системы сил в виде двух уравне­ний проекций на горизонтальную и вертикальную оси и уравнения моментов относительно точки С:

N- P = 0, Q- F тр =0, Nx-Q·H =0      (1.18)

Полученные три уравнения позволяют определить неизвестные реакции N, Fтр ,х. Согласно закону трения, при равновесии, имеем: F<fN. Перепишем уравнения (1.18) с учетом закона трения и условия х≤а.

                       ,     Q –Р·f=0,        

Будем постепенно увеличивать Q. Если , то равновесие будет иметь место до тех пор, пока сила трения не достигнет своей предельной величины, после чего начнется скольжение ползуна; если , то тело раньше, чем начнется скольжение, опрокинется (1).

Рис 16

С

О

Q

N

P

F тр

r

k

S

Представим себе каток веса Р и радиуса r, покоящийся на гори­зонтальной плоскости (рис. 16). Опыт показывает, что, если прило­жить к оси катка горизонтальную силу Q, каток будет оставаться в покое, пока величина этой силы не достигнет некоторого значе­ния. Чтобы объяснить этот факт, составим уравнения статики для плоской системы сил, действующих на каток; этими силами являются вес P, усилие Q и реакция S, которую можно разложить на нормальную составляющую – реакцию N и горизонтальную – силу трения Fтр. Проектируя все силы на горизонтальное и вертикальное направ­ления, получим:

                                          Q = Fтр, P = N.

Остается составить уравнение моментов; за центр моментов примем точку О, точку соприкосновения контура колеса с плоскостью; имеем:

 Мы приходим, таким образом, к необходимости принять, что нормальная реакция N приложена не в точке О, а несколько сдви­нута от нее в сторону действия силы Q. Физически этот сдвиг можно объяснить на­личием деформаций катка и опорной пло­скости в области точки О; фактически со­прикосновение происходит по некоторой пло­щадке, размеры которой зависят от величины нормального давления, свойств материалов и состояния поверхностей катка и опорной плоскости (2). Можно считать, что к катку приложена пара, момент которой равен , который называется моментом трения качения . Его предельная величина, как показывают опыты, пропорциональна нормальному давлению катка на плоскость: , причем имеющий размерность длины коэффициент трения качения k определяется опытным путем. Очевидно, что k можно рассматривать как отрезок, на который сдвинута сила N в направлении силы Q в критический момент равновесия (3). Легко заметить, что задача трения качения практически полностью совпадает с задачей опрокидывания тела из предыдущего параграфа заменой  на . Обычно - значительно меньше, чем f; это значит, что нарушение покоя, которое произой­дет при постепенном увеличении силы Q, будет заключаться в том, что каток начнет катиться по опорной плоскости, не скользя по ней. Возникающие здесь вопросы, однако, не могут быть рассмотрены без применения средств динамики.

Вопросы для самопроверки.

1. Как может двигаться тело при нарушении равновесия в зависимости от его размеров и коэффициента трения?

2. От чего зависит момент трения качения?

3. Что такое коэффициент трения качения?

 

Практическое занятие 5.

Задача 1. Груз Р удерживается в равновесии конструкцией, состоящей из 2 стержней, как показано на чертеже. Две муфты могут скользить по вертикальной стойке, коэффициента трения скольжения муфты по стойке f. Размеры указаны на рис. Определить условие самоторможения конструкции.

Решение.

Для плоской системы сил составим 3 уравнения равновесия.

 

 

Из первого и третьего уравнения имеем

 тогда

Здесь F1=F2 –есть силы трения, и так как получаем

или окончательно                 .

Задача 2. Чему равна сила трения в указанном примере, если вес груза 100 н, угол наклона плоскости π/6, сила Q=65 н, а коэффициент трения скольжения f=0.3?

 

Решение. Спроектируем все силы оси: параллельно N

 и перпендикулярно N

.

Знак  у силы трения означает, что направление силы трения не определено. Из второго уравнения находим

н, следовательно, сила трения направлена вниз. Но , а . Ответ F=15н.

Задача 3 . Ящик веса Р стоит на шероховатой горизонтальной плоскости с коэффициентом трения f. Определить, под каким углом α надо приложить силу Q, и величину этой силы при условии сдвинуть ящик при наименьшей величине Q.

 

Решение. Для сходящейся системы сил надо написать 2 уравнения равновесия

Из первого уравнения получаем . Подстановка   во второе уравнение приводит к следующему выражению для силы Q.                              

Для определения Qмин напишем функцию

и исследуем ее на экстремум. Для этого возьмем первую и вторую производные по α.

Из равенства нулю первой производной получаем                     , где φ-угол трения. Вторая производная отрицательна, следовательно функция f(α) имеет максимум, а сила Q –минимум.

Задача 4.

Определить силу Q , необходимую для равномерного качения цилиндрического катка радиуса 30см и веса 300н по горизонтальной плоскости, если коэффициент трения качения

k=0.5см, а угол α=π/6.

Решение. Составим уравнения равновесия цилиндра

Сила F (сила трения) не указана на рисунке, хотя она есть и направлена влево параллельно плоскости. Из первого уравнения определяем нормальную реакцию N и используя два условия , получаем

Если , то цилиндр будет скользить и не вращаться, что не соответствует условию задачи, следовательно, из второго уравнения имеем

н

Для самостоятельной подготовки к контрольной работе рекомендуется решить следующие задачи из задачника И.В. Мещерского «Сборник задач по теоретической механике» : 5.6;5.17;5.26;5.306

В качестве «помощника» рекомендуем «решебник»

 М.И. Бать, Г.И. Джанелидзе, А.С.Кельзон «Теоретическая механика в примерах и задачах», том1.

Вопросы для самопроверки:

Предварительные замечания. В предлагаемых вопросах есть как теоретические вопросы так и задачи. Цифры и геометрия рисунков могут быть изменены.

Что такое момент силы относительно точки?

 

Чему равен момент силы F с проекциями на оси декартовой системы координат (1,2,3) относительно оси Oy, если координаты точки ее приложения (0,1,5) (варианты Ox, Oz)?

q0

Чему равен момент заделки в указанном примере, если длина стержня равна 0.6м, а q0=2 кн/м ?

 

Напишите условия равновесия сходящейся системы сил в векторной форме, а также в проекциях на оси декартовой системы координат.

 

Р

F

О

А

В

ά

β

Что такое пара сил, чему равен ее момент?

 

Как зависит главный момент от выбора центра приведения,

 

7. Чему равен момент силы Р=10 н и F=15н относительно оси 0Z , перпендикулярной плоскости рисунка, если ОА= 0.1м, АВ=0.15м Углы ά и β равны соответственно π/6 и π/4. Все силы лежат в плоскости чертежа. Определите главный вектор заданных сил.

 

 

8. Какие уравнения равновесия необходимо записать для плоской системы сил, если все силы расположены в

X

Y

Z

A

B

D

F

E

α

плоскости XOY ( варианты XOZ, YOZ )?

 

9. Крышка ABCD открыта на угол α=π/3 и удерживается в этом положении стержнем СЕ. Отношение АВ/ВС=3/4 Чему равны проекции силы F на указанные оси координат?

Чему равен момент силы F относительно оси OX (OZ)? АВ=L, сила F направлена по линии ВD.

 

10. Какие уравнения равновесия необходимо записать для системы сил, параллельных оси OY (варианты OX,OZ ) ?

 

11. Сформулируйте теорему Пуансо.

 

12. Какие статические инварианты Вам известны,?

 

13. В каких случаях система сил приводится к равнодействующей?

У

Х

Z

 

14. Приведите указанную на рисунке систему сил к простейшему виду. Равные силы направлены по диагоналям граней кубика со стороной b.

15. В каких случаях момент силы относительно оси равен нулю ?

 

16. Сформулируйте теорему Вариньона.

 

17. Векторная формула центра параллельных сил.

18. Докажите, что система параллельных сил приводится к равнодействующей.

 

19. Векторная формула центра тяжести, прокомментируйте введенные обозначения.

20. Где находится центр тяжести указанной фигуры, состоящей из квадрата и равностороннего треугольника со стороной в?

 

21. Где находится центр тяжести указанной фигуры, состоящей из квадрата со стороной в и прямоугольного треугольника с углом при вершине 30˚ ?

 

22. Где находится центр квадрата, из которого вырезан полукруг. Длина стороны квадрата 2 R , радиус полукруга R, центр тяжести полукруга находится на расстоянии 4R/3π от диаметра.

F

α

23. Чему равна сила трения в указанном примере, если вес груза 100 н, угол наклона плоскости π/4, сила F=50н, а коэффициент трения скольжения f=0.4?

⇐ Предыдущая123456789

Поделиться: