Кафедра автоматизации и систем управления

Кафедра автоматизации и систем управления

Методические указания

К решению математических задач

В среде MathCAD .

Череповец

2002

Данные методические указания разработаны для студентов первого курса специальностей 2101 и 2102, проходящих практику в компьютерных классах кафедры АиСУ ЧГУ.

       Цель данного курса – ознакомить студентов с программой MathCAD, научить решению простых математических задач вычислительного характера в среде MathCAD.

 

 

 Рассмотрено на заседании кафедры автоматизации и систем управления _________________г.

 

Составитель: Верховинская С.П., ст. преподаватель.

ВВЕДЕНИЕ.

MathCAD является математическим редактором, позволяющим проводить разнообразные научные и инженерные расчеты. Благодаря простоте применения, наглядности математических действий, обширной библиотеке встроенных функций и численных методов, возможности символьных вычислений, представления результатов в виде графиков разных типов MathCAD стал наиболее популярным математическим приложением.

Возможности математического редактора MathCAD:

· наличие формульного редактора;

· математические расчеты производятся немедленно, в соответствии с введенными формулами;

· возможность построения и форматирования графиков различных типов;

· возможность ввода и вывода данных в файлы различных форматов;

и многое другое.

       Интерфейс пользователя.

       В MathCAD интерфейс пользователя сходен с другими приложениями Windows. Его составные части:

· верхнее меню, или строка меню;

· панели инструментов Standard (Стандартная) и Formatting (Форматирование);

· панель инструментов Math (Математика) и доступные через нее дополнительные математические панели инструментов;

· рабочая область;

· строка состояния;

· всплывающие или контекстные меню;

· диалоговые окна.

Строка меню располагается в самой верхней части окна MathCAD. Она содержит девять заголовков, щелчок мышью на каждом из которых приводит к появлению соответствующего меню с перечнем сгруппированных по действию команд

· File (Файл) - команды, связанные с созданием, открытием, сохранением, пересылкой по электронной почте и распечаткой на принтере файлов с документами;

· Edit (Правка) - команды, относящиеся к правке текста (копирование, вставка, удаление фрагментов и т.д.);

· View (Вид) - команды, управляющие внешним видом документа в окне редактора MathCAD;

· Insert (Вставка) - команды вставки различных объектов в документы;

· Format (Формат) - команды форматирования текстов, формул и графиков;

· Math (Математика) - команды управления вычислительным процессом;

· Symbolics (Символика) - команды символьных вычислений;

· Window (Окно) - команды управления расположением окон с различными документами на экране;

· Help (Справка) - команды вызова контекстно-зависимой справочной информации, сведений о версии программы.

Панели инструментов служат для быстрого (в один щелчок мыши) выполнения наиболее часто применяемых команд. Все действия, которые можно выполнить с помощью панелей инструментов, доступны и через верхнее меню, но гораздо удобнее панели вывести на экран. Для размещения соответствующей панели на экране необходимо выбрать пункт верхнего меню View (Вид), навести курсор мыши на пункт подменю Toolbars (Панели инструментов) и выбрать в появившемся подменю соответствующий пункт.

- Standard (Стандартная) - служит для выполнения большинства операций, таких как действие с файлами, редакторская правка, вставка объектов и доступ к справочным системам;

- Formatting (Форматирование) - для форматирования текста и формул;

- Math (Математика) - для вставки математических символов и операторов в документы.

Большую часть окна MathCAD занимает рабочая область. Документ программы MathCAD называется рабочим листом. Он содержит объекты: формулы, графические области и текстовые бло­ки. В ходе расчетов формулы и графические области обрабатывают­ся последовательно, слепа направо и сверху вниз. а текстовые бло­ки игнорируются. Ввод информации осуществляется в месте рас­положения курсора. Если ни один объект не выбран, используется крестообразный курсор (визир), определяющий место создания сле­дующего объекта. При вводе формул используется уголковый кур­сор. указывающий текущий элемент выражения. При вводе данных в текстовый блок применяется текстовый курсор в виде вертикальной черты.

       В нижней части окна MathCAD под горизонтальной полосой прокрутки расположена строка состояния, на которой отображается самая основная информация о режиме редактирования: контекстно-зависимая подсказка о готовящемся действии; режим вычислений (автоматический AUTO или задаваемый вручную Calc F9), текущий режим раскладки клавиатуры CAP; текущий режим раскладки клавиатуры NUM; номер страницы, на которой находится курсор. Чтобы показать или скрыть строку состояний, выполните команду View / Status Bar (Вид / Строка состояния).

        Вместе с MathCAD поставляется несколько источников справочной информации, доступ к которым осуществляется через меню Help (Справка). К ним относятся:

1. MathCAD Help (Справка) - система справки или технической поддержки.
2. Developer’ s Reference (Справка для разработчиков) - дополнительные главы справки для разработчиков собственных самостоятельных приложений на языке MathCAD.
3. Author’ s Reference (Справка для авторов) - дополнительные главы справки для авторов собственных электронных книг, т.е. коллекций вычислений, снабженных гиперссылками и интерактивными примерами MathCAD - программ.
4. Resource Center (Центр Ресурсов) - самостоятельное приложение, оформленное в виде электронной книги с решением множества математических примеров, демонстрирующих практическое применение возможностей MathCAD 2001.
5. Open Book (Открыть книгу) - пункт меню, позволяющий открыть существующую в виде файла электронную книгу (созданную вами или полученную от других авторов.

Кроме этого, меню Справка содержит следующие пункты:

• Tip of the Day (Совет Дня) - вызов диалогового окна «Совет Дня», выдающего случайным образом полезную информацию;
• MathCAD Update (Обновление MathCAD) - проверка сайта фирмы MathSoft на наличие обновлений MathCAD 2001;
• About  MathCAD (О программе) - получение информации о текущей версии MathCAD и его разработчиках.

Окно справочной системы MathCAD (пункт меню Help) построено в характерном для Windows стиле и состоит из двух частей. Справа отображается текст соответствующей статьи. Слева имеется три вкладки:

· Contents (Содержание) - вывод названий статей, в рассмотренном смысловом порядке по главам и подзаголовкам;

· Index (Индекс) - перечень названий справочных статей в алфавитном порядке;

· Search (Поиск) - поиск статей справки  по ключевым словам или фразам.

 

 

 

Лабораторная работа № 1.

Ввод формул

Формулы — основные объекты рабочего листа. Новый объект по умолчанию является формулой. Чтобы набрать формулу, надо установить крестообразный курсор в нужное место и начать ввод букв, цифр, знаков арифметических операций. При этом создается область формулы, в которой появляется уголковый курсор, охваты­вающий ее текущий элемент, например имя переменной (функции) или число. При вводе бинарного оператора по другую сторону знака операции автоматически появляется поле заполнения в виде черного прямоугольника. В это место помещают очередной оператор.

Для управления порядком операций используют круглые скобки, которые можно вводить вручную. Уголковый курсор позволяет авто­матизировать такие действия. Чтобы выделить элементы формулы, которые в рамках операции должны рассматриваться как единое це­лое, используют клавишу ПРОБЕЛ. При каждом ее нажатии уголко­вый курсор «расширяется», охватывая элементы формулы, примыкающие к данному. После ввода знака операции элементы в пределах уголкового курсора автоматически заключаются в скобки. Элементы формул можно вводить с клавиатуры или с помощью специальных панелей управления, которые открываются из меню View (Вид) или кнопками панели управления Маth (Математика). Для ввода элементов формул предназначены следующие панели упра­вления:

• Arithmetic (Счет) для ввода чисел, знаков типичных математи­ческих операций и наиболее часто употребляемых стандартных функций;

• Evaluation (Вычисление) для ввода операторов вычисления и зна­ков логических операций;

• Gгаph. (График) для построения графиков;

• Matrix (Матрица) для ввода векторов и матриц и задания ма­тричных операций;

• Calсulus (Исчисление) для задания операций, относящихся к ма­тематическому анализу;

• Greek (Греческий алфавит) для ввода греческих букв (их мож­но также вводить с клавиатуры, если сразу после ввода соот­ветствующего латинского аналога нажимать сочетание клавиш CTRL+C, например последовательное нажатие клавиш [а] [CTRL+G] дает греческую букву );

• Symbolic (Аналитические вычисления) для управления аналити­ческими преобразованиями;

• Programming (Программирование) для создания программных бло­ков.

Задание 1

Вычислить заданную функцию F( x, y) для ряда значений аргумен­тов .x и у при некоторых постоянных значениях входящих в нее вели­чин а и b.

Порядок выполнения задания:

1. Создать личную папку для хранения создаваемых рабочих до­кументов.

2. Запустить программу MathCAD.

3. Открыть панель инструментов Arithmetic (Счет).

4. Присвоить конкретные значения константам а и b.

5. Определить в соответствии с полученным заданием функцию F(х ,у).

6. Вывести два значения функции при х = 1, у = 1 и при х = 0, y=0.

7. Изменить значения констант a и b, проследить за изменением функции.

8. Ввести ранжированную переменную х.

9. Вывести три столбца значений функции при трех различных значениях у.

10. Изменить шаг по переменной x, проследить за изменением количества значений функции.

11. Завершить работу, выбрав команду Exit (Выход) из меню File (Файл).

 

Варианты:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.  

11.

12.

13.

14.

15. 

Лабораторная работа № 2.

ГРАФИК ФУНКЦИИ.

Цель:   научиться строить двумерные графики в среде MathCAD.

 

MathCAD позволяет строить двумерные графики в декартовой и полярной системах координат, а также трехмерные графики, включая изображения поверхyостей, карты линий уровня и ряд других {всего семь типов, называемых «великолепной семеркой» MathCAD). До­ступ к данной операции осуществляется через панель Graph (Графи­ка), либо через соответствующий пункт меню Graphics (Графики) (в последних версиях пакета доступ к опции Graph (Графика) реализу­ется через пункт меню Insert (Вставка)):

• Create Х-У Plot — (Х-У Зависимость) - график функции одной переменной в декартовых координатах;

· Create Polar Plot (Полярные координаты) - график функции од­ной переменной в полярных координатах;

• Create Surface Plot (Поверхности) — график поверхности в трех­мерном пространстве;

• Create Contour Plot (Контурный) - карта линий уровня в трехмерном пространстве;

• Create 3D Scatter Plot (Точечный) — изображение точек в трех­мерном пространстве, заданных декартовыми координатами;

• Create 3D Bar Plot (Диаграммы) – трехмерная гистограмма;

• Create Vector Plot (Векторный) – векторное поле на плоскости.

Отметим также, что требование на построение декартового графика можно реализовать с помощью «горячей» клавиши (@), а поверхно­сти — (Ctrl+2).

Рассмотрим построение обычного графика на плоскости с двумя осями — горизонтальной и вертикальной. Перед построением графи­ка, необходимо определить функции, которые должны быть построе­ны, а также задать диапазон изменения аргумента (ранжированную переменную). Затем установить графический курсор на место пред­полагаемого левого верхнего угла графика (картинки) и выдать од­ним из ранее указанных способов (например, клавишей @) команду на построение. В результате на экране появляется прямоугольная рамка с шестью полями заполнения в виде черных маленьких пря­моугольников около осей будущего графика. Пустое поле в середи­не горизонтальной оси предназначено для независимой переменной графика. В это поле можно вводить ранжированную переменную. переменную с индексом или любое выражение, содержащее ранжированную переменную. Перемещаться по полям заполнения удобнее с помощью мыши, но можно использовать и клавиши управления кур­сором. Пустое поле в середине вертикальной оси предназначено для функций, графики которых предполагается построить. В это поле можно вводить ранжированную переменную, переменную с индек­сом или любое выражение, содержащее переменную, находящуюся на горизонтальной оси. Если надо построить несколько графиков на одном рисунке, то имена функций отделяются друг от друга запяты­ми. Другие четыре пустые поля могут использоваться для принуди­тельного задания диапазонов изменения аргумента и функций. Если они не заполняются пользователем, то MathCAD автоматически вы­бирает границы на осях координат. Рекомендуется всегда вначале использовать автоматическое масштабирование и лишь затем изме­нять масштабы на более подходящие.

Чтобы произошло построение графика в автоматическом режиме вычислений (этот режим устанавливается по умолчанию), достаточ­но щелкнуть мышью за пределами графической области. В режиме ручных вычислений — Manual, нужно нажать клавишу F9.

Если в построенном графике что-либо не вполне удовлетворяет пользователя, можно применить операции изменения формата через диалоговое окно форматирования двумерных графиков. Это окно вызывается двойным щелчком в пределах графической области или активизацией пункта X-Y Plot … Format (Формат Декартовых графи­ков ...) из меню Graphics (Графики).

Диалоговое окно формата имеет четыре вкладки:

X-Y Axes (Х-У Оси) — управление параметрами осей;

Traces (Графики) — управление параметрами линии графика;

Labels (Надпись) - установка надписей по осям и титульной над­писи;

Defaults (По умолчанию) — задание режима по умолчанию.

Рассмотрим возможности форматирования, представленные на ка­ждой вкладке. В первой из них X-Y Axes содержатся следующие основные опции, относящиеся к осям X и Y по отдельности:

Log Scale (Лог.масштаб) - установка логарифмического масшта­ба. Когда выбрана эта опция, выделенная ось имеет логарифмический масштаб, при этом границы по оси должны быть положитель­ными числами.

Grid Lines (Линии сетки) — установка линий масштабной сетки. При активизации данной опции деления на выбранной оси заменя­ются линиями сетки. Отметим, что если опция Grid Lines (Линии сетки) отключена, то масштабная сетка графика не строится, но на осях размещаются короткие масштабные деления.

Numbered (Пронумеровать) — установка цифровых данных по осям. Когда отмечен этот квадратик, на выбранной оси у делений проста­вляются числовые значения.

Autoscale (Автомасштаб) — автоматическая установка масштаб­ных линий. Определяет способ, которым автоматически устанавли­ваются границы на оси координат, если оси не были установлены вручную. Если эта опция не выбрана, MathCAD устанавливает гра­ницу на оси по предельному значению данных. Если выбрана, то в качестве границы на оси берется значение, соответствующее после­дующей за предельным значением данных осевой метке.

Show Markers (Нанести риски) - просмотр маркеров. Данная оп­ция позволяет добавлять к графику фоновые линии.

Auto Grid (Автосетка) — автоматическая установка масштабных линий. При активизации данной опции MathCAD автоматически вы­бирает число интервалов сетки, в противном случае можно устано­вить число интервалов сетки, набирая в поле No. of Grid (Число интервалов) число интервалов от 2 до 99 (в режиме логарифмиче­ского масштаба опция не работает).

No. of Grid (Число интервалов) - установка числа масштабных линий. Это поле указывает число интервалов сетки на соответству­ющей оси. Оно доступно, когда режимы Auto Grid (Авто сетка) и Log Scale (Лог. масштаб) отключены.

В дополнение к этим переключателям предоставляется возмож­ность установить стиль координатных осей — опция Axes Style (Стиль осей): кнопка Boxed (Рамка) заключает график в координатную рам­ку в виде прямоугольника; в этом случае оси находятся по краям графика; кнопка Crossed (Репер) показывает оси, пересекающиеся в центре графика. Если выбрать None (Ничего), оси вообще не будут отображаться на графике.

Следующая вкладка Traces (Графики) служит для управления ото­бражением линий, которыми строится график. На рисунке могут располагаться до шестнадцати разных графиков. Каждому графику соответствует строка в прокручивающемся списке. По мере появле­ния новых графиков MahCAD ставит в соответствие каждому одну из этих строк. Каждая строка имеет шесть полей.

Опция Legend Label (Имя кривой) — позволяет каждой кривой по­ставить в соответствие определенный текст, называемый легендой. Легенда отображается под рисунком вместе с образцом линии гра­фика.

Опция Symbol (Символ) — выбор символа-маркера, которым отме­чается каждая базовая точка на кривой. В качестве символов можно использовать х — наклонный крестик; + - прямой крестик; box — квадратик; dmnd — ромбик. Если точки расположены близко друг к другу, следует выбрать none (ничего).

Опция Line (Линия) - установка типа линий. Опция Line (Ли­ния) позволяет выделить графики отдельных функций следующими типами линий: none (ничего) — линия не строится; solid (сплош­ная) - непрерывная линия; dash (штрих) — пунктирная линия; dadot (штрихпунктир) — штрих пунктирная линия. Модифицируя тип линии, легко отличить немаркированные кривые в черно-белых рас­печатках.

Опция Color (Цвет) — цвет линий. Она задает следующие основ­ные цвета линий: red- красный, blu – синий, grl - зеленый, cya — голубой, brn — коричневый, blc — черный.

Опция Weight (Толщина) — толщина линий. Это поле управляет насыщенностью или толщиной линии графика (как правило рекомен­дуется толщина 1).

Опция Туре (Тип) — позволяет задать один из семи типов графи­ка: line — построение линиями; points — построение точками; err — построение вертикальными черточками с оценкой интервала погреш­ностей (этот вид графика строится с использованием двух функций); bar — построение в виде столбцов гистограммы; step - построение ступенчатой линией; draw — построение протяжкой от точки к точке.

Еще две опции связаны с возможностью удаления с графика вспо­могательных надписей: Hide Argument (Скрыть переменную) — пря­чет обозначение математического выражения по осям графика и Hide Legend (Скрыть имена) — прячет названия кривых графика.

Вкладка Label (Надписи) позволяет вводить в рисунок дополни­тельные надписи: Title (Заголовок) - титульная надпись к рисунку; X-Axis (Х-ось) — надпись по оси X; Y-Axis (Y-ось) — надпись по оси Y. В разделе Title содержатся опции Above (Сверху) и Below (Сни­зу) для размещения титульной надписи либо над рисунком, либо под ним. Опция Show Title (Показать заголовок) позволяет включать или не включать отображение титульной надписи.

Последняя вкладка Defaults (По умолчанию) возвращает прежние установки параметров рисунка - Change to Defaults (Вернуть зна­чения). Это позволяет отменить все изменения формата рисунка. которые были сделаны с момента его создания. Можно установить и зафиксировать новые выбранные параметры, которые следует ис­пользовать в дальнейшем при построении графиков функций одной переменной — Use for Defaults (Использовать для значений по умол­чанию) (т.е. для графиков того типа, с которыми проводилась теку­щая работа).

Для визуализации применяемых опций служит кнопка Apply (При­менить). Она позволяет наблюдать над производимыми изменениями еще до закрытия окна форматирования, что облегчает эксперимен­тирование с различными форматами графиков.

Поскольку в задании на построение графиков встречаются кусочно-непрерывные функции, рассмотрим приспособленную для таких це­лей конструкцию if:

if (cond, f1, f2).

Это функция, которая возвращает f1, если аргумент cond имеет зна­чение «истина», в противном случае выдается значение f2. Аргу­мент cond может быть любым логическим выражением, но чаще всего используются обычные отношения сравнения между вещественными скалярами (равенство и неравенство возможно и между комплексны­ми значениями):

Условие	Набор
x = y	Ctrl=
x > y	>
x < y	<
	Ctrl 0
	Ctrl 9
	Ctrl 3

 

   Можно объединять отношения, чтобы записать более сложные условия. Например, условие  действует подобно логическому «и», а выражение  действует подобно логическому «или».

 

Задание 1.

   Построить график состоящей из нескольких ветвей функции в заданном интервале изменения аргумента.

 

Порядок выполнения задания.

1. Задать конкретные значения констант a, b и т.д.

2. Определить функцию.

3. Задать диапазон изменения аргумента.

4. Построить график функции.

5. Варьировать параметры графика, изменяя цвет линий, толщину и пр., а также всеми другими доступными параметрами.

6. Задать другой диапазон изменения аргумента.

7. Добавить на рисунок еще одну зависимость, например, график стандартной функции sin x.

 

Варианты

 

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

 

 

Лабораторная  работа № 3.

 

Варианты

 

       1. .

       2. .

       3. .

       4. .

       5. .

       6. .

       7. .

       8. .

       9. .

       10. .

       11. .

       12. .

       13. .

       14. .

       15. .

 

                                                          

Задание 2

       Вычислить сумму (или произведение) как функцию от числа суммируемых членов n для n=1,2,…,10 при заданном значении аргумента x. Построить график зависимости, на котором обозначить точное значение. Точное значение для каждого варианта задания приведено в квадратных скобках в виде выражения, представляющего данную сумму или произведение как функцию от х или в виде табличного значения (при ), взятого из справочника.

 

                                                      Варианты

 

1.                                                            .

       2.                                                           .

       3. ,                                         .

       4. ,                                        .

       5.                                                         .

       6.                                                                 .

       7. ,                                               .

       8. ,                           .

       9. ,          .

       10.                                            .

       11.                                              .

       12.                                                                              .

       13.                                            .

       14.                                                     .

       15.                             .

 

                                                      Задание 3

 

       Вычислить двумя способами определенный интеграл от функции из задания к работе 2 на отрезке интегрирования, включающем все изломы графика функции. Первое значение получить непосредственно по всему промежутку, второе значение вычислить как сумму интегралов по промежуткам между изломами функций.

 

                                                      Задание 4

       Вычислить неопределенный интеграл , проверить правильность вычислений, взяв производную, и построить графики семейства первообразных.

 

                                          Порядок выполнения задания

 

1. Задать подынтегральную функцию как функцию аргумента х.

2. Найти первообразную, используя панель Symbolic (Символьные операции).

3. Определить первообразную как функцию переменной.

4. Найти производную первообразной, используя панель Symbolic

5. Построить на одном графике изображения нескольких первообразных.

6. Найти определенный интеграл от подынтегральной функции на отрезке [a,b].

7. Найти разность значений первообразной F(b)-F(a).

8. Сравнить полученные результаты.

 

Варианты

 

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

 

Пример: Вычисление сумм:

                      

 

Вычисление произведений:

 

Вычисление производных в точке:

 

Вычисление определенных интегралов:

 

 

Вычисление первообразной:

 

Лабораторная работа № 4

 

Задание 1.

Вычислить определитель матрицы М. Доказать равенство: М² = М.

Найти матрицу I = 2М - Е, где Е - единичная матрица, вычислить ее определитель и матрицу, обратную матрице I. Доказать, что I² = Е.

Порядок выполнения задания:

1. Ввести матицу М.
2. Вычислить det M и M².
3. Сравнить матрицы M и М², сделать вывод.
4. Ввести единичную матрицу Е той же размерности, что и матрица М.
5. Вычислить матрицу I = 2M - Е.
6. Вычислить матрицу I².
7. Доказать равенство I² = E.
8. Вычислить det I и I^-1.

 

Варианты:

1.                           2.

 

 3.                                 4.

5.                                   6.

7.                              8.

9.                            10.

11.                           12.

13.                       14.

15.                       16.

 

Лабораторная работа № 5.

 

Задание 1

Решить систему алгебраических уравнений и исследовать влияние коэффициентов системы на её решение.

 

Порядок выполнения задания

 

1. Определить и заполнить матрицу коэффициентов систем линейных алгебраических уравнений.
2. Вычислить определитель матрицы.
3. Вычислить четыре нормы матрицы ||A||₁,||A||₂,||A||_I,||A||_e.
4. Вычислить коэффициент обусловленности матрицы через стандартные функции cond1, cond2, condi, conde.
5. Определить и заполнить вектор правых частей системы уравнений – b₁.
6. Вычислить и вывести решение системы уравнений Ax₁=b₁.
7. Определить и заполнить второй вектор правых частей – b₂.
8. Вычислить и вывести решение системы уравнений Ax₂=b₂.
9. Вычислить относительную погрешность решения задачи и относительное возмущение вектора правых частей.
10. Вычислить отношение относительной погрешности решения к относительному возмущению вектора правых частей и сравнить полученное значение с коэффициентом обусловленности.
11. Исследовать подобным образом решение системы, изменяя диагональные элементы матрицы коэффициентов.

 

Варианты:

1.

 

2.

 

3.

 

4.

 

5.

 

6.

 

7.

 

 

8.

 

9.

 

 

10.

 

 

11.

 

 

12.

 

 

13.

 

 

14.

 

 

15.

 

 

16.

 

Лабораторная работа № 6.

 

ГРАФИК ПОВЕРХНОСТИ

 

Цель: научиться строить трехмерные графики с помощью программы MathCAD.

 

В отличие от двумерных графиков, которые используют дискрет­ные аргументы и функции, график поверхности, или трехмерный гра­фик, требует матрицы значений. Поэтому перед его построением все отображаемые значения должны быть организованы в виде двумер­ного массива. В качестве координат по осям х и у используются номера строк и столбцов. Элементы матрицы представляются на графике как высоты, расположенные выше или ниже плоскости Оху. После заполнения матрицы значений надо активизировать режим по­строения Surface Plot (График поверхности) либо через меню Grap­hics (Графики), либо нажатием кнопки на инструментальной панели Graph (Графика) (“горячие” клавиши CTRL-t-2). Под возникшей на экране на месте графического курсора рамкой следует в очерченном квадратике набрать имя подготовленной матрицы и нажать клавишу Enter или просто щелкнуть мышью за пределами графической обла­сти.

Типичный поверхностный график показывает значения функции двух переменных. Чтобы создать такой график, требуется выпол­нить следующие действия.

• Решить, сколько необходимо точек по осям х и у. Определить дискретные аргументы i и j, чтобы индексировать эти точки. На­пример, при 10-ти точках в каждом направлении вводятся ран­жированные переменные:

i :=0..9  j :=0..9

• Определить значения аргументов x_i, и y_j как равномерно распо­лагаемые точки в выбранных диапазонах на осях х и у:

x_i := x_i + i • h_x y_j := y₀+j • h_y

• Определить функцию двух переменных x и у — f( x, y).

• Заполнить матрицу М значениями функции f( x_i, y_j).

• Выбрать опцию Surface Plot (График поверхности) из меню “Гра­фика”.

• Напечатать М в поле ввода и щелкнуть вне области графика.

 

Программа MathCAD, особенно ее последние версии, предоставля­ет широкие возможности по изменению вида поверхностного графи­ка. Рассмотрим основные из тех, которые реализованы в MathCAD 6.0 PLUS.

Чтобы изменить любую характеристику графика, следует восполь­зоваться диалоговым окном Format 3D Plot (Формат 3D График), ко­торое вызывается двойным щелчком кнопкой мыши непосредственно на графике. Это окно содержит четыре вкладки: View (Вид), Axes (Оси), Color & Lines (Цвет и линии) и Title (Заголовок).

Вкладка View (Вид) позволяет редактировать общий вид графика. Здесь можно задать угол вращения графика, изменяя параметр на­стройки Rotation (Вращение). Если вращение равно 0, то линия сет­ки, соответствующая первому столбцу матрицы, располагается свер­ху вниз, а линия, соответствующая первой строке, — слева напра­во. Если вращение равно 90 (этот параметр измеряется в градусах), линия сетки, соответствующая первому столбцу матрицы, распола­гается справа налево, а линия, соответствующая первой строке, — сверху вниз.

Опция Tilt (Наклон) позволяет изменить ракурс наблюдения гра­фика. Увеличение наклона поднимает точку наблюдения над коорди­натной плоскостью х-у. Когда наклон равен 0, график виден сбоку; когда наклон равен 90, график виден сверху.

Чтобы управлять соотношением величин по вертикали, изменяют значение в поле Vert. Scale (Верт. Масштаб). Оно задается в про­центах. При 100%-м значении все изменения показываются в полном масштабе, соответственно при значениях в несколько процентов из­менения по высоте будут едва заметны.

Чтобы добавить или удалить рамку вокруг области графика, сле­дует щелкнуть на кнопке Show Border (Показать Рамку) в группе Fra­mes (Рамки). Рамкой называется обычный прямоугольник вокруг области графика. Чтобы заключить поверхность и оси внутрь ко­ординатного параллелепипеда, следует активизировать опцию Show Box (Показать Ящик).

Можно добавить координатные плоскости к оформлению графика, выбрав Show (Показать) в группе Back Planes (Грани), закрасить эти плоскости: Fill Color (Закрасить), выделить контуры граней другим цветом: Edge Color (Цвет ребер).

  Вкладка View (Вид) позволяет также преобразовывать полученный график поверхности в Другие типы трехмерных графиков. Для этого надо нажать соответствующую кнопку в группе Display As: (Отобра­зить как:): Contour Plot (Линии уровня), 3D Bar Chat (Гистограмма), Data Points (Точки данных).

Возможность изменения способа, окраски поверхности реализова­на на вкладке Color & Lines (Цвет и линии). Чтобы задать способ окраски графика, следует выбрать соответствующую кнопку в груп­пе Shading (Окраска).

• None (Нет) — поверхность не будет окрашена.

• Grayscale (Черно-белая) — максимальные значения матрицы бу­дут отображаться в белом свете, минимальные - в черном, а промежуточные — оттенками серого.

• Color (Цветная) максимальные значения матрицы будут ото­бражаться в красном свете, минимальные — в синем, а проме­жуточные - в диапазоне от желтого до зеленого.

Если выбран режим отображения поверхности без окраски, то она будет казаться прозрачной. В некоторых случаях, когда это свой­ство мешает восприятию, имеет смысл сделать поверхность непро­зрачной. Для этого надо выбрать в группе Fill Style (Стиль запол­нения) пункт Hidden Lines (Невидимые линии), и MathCAD скроет любые линии, которые находятся позади поверхности. Такой график требует больше времени для вывода, т.к. система должна опреде­лить, какие части поверхности открыты.

По умолчанию MathCAD накладывает сетку на окрашенные по­верхности. Пересечения линий, составляющих эту сетку, соответ­ствуют элементам исходной матрицы. Каждый фрагмент, выреза­емый этой сеткой, окрашивается в соответствии со значением эле­мента матрицы. Когда число элементов матрицы увеличивается, эта сетка может стать настолько плотной, что начнет затенять цвета. В этом случае можно убрать сетку, отметив мышью пункт Hide Mesh (Скрыть сетку) в группе Fill Style (Стиль заполнения). Поле Скрыть сетку доступно только для окрашенных графиков, поскольку, если убрать сетку с неокрашенного графика, он станет невидимым.

Здесь не ставится задача описания всех возможностей изменения графика поверхности. При желании можно пробовать любые возможности, предоставляемые пользователю в диалоговом окне фор­матирования, Чтобы увидеть производимые изменения, не закрывая диалоговое окно, следует нажимать кнопку Applay (Применить). Закрытие окна происходит при нажатии кнопки ОК или клавиши Enter на клавиатуре.

Задание 1.

Изобразить график поверхности, а также линии уровня функции

z = x^ky^mexp( ) в квадрате -а < х < а, —а < у < а. Указать приближенно координаты локальных экстремумов и седловых точек, если они есть. Изучить возможности изменения параметров рисунка.

В а р и а н т ы

Вариант определяет конкретный набор параметров заданной функ­ции:

№	k	m	A	B	a
1	1	1	3	4	4
2	2	1	3	4	4
3	1	2	3	4	4
4	2	2	3	4	4
5	2	2	3	2	4
6	2	2	2	2	2
7	2	2	4	2	4
8	2	1	4	2	4
9	1	2	4	2	4
10	1	1	3	9	3
11	1	2	3	5	4
12	2	1	3	4	4
13	2	2	3	2	4
14	2	1	4	5	3
15	1	2	3	3	4

Порядок выполнения задания

1. Определить дискретные аргументы i и j,

2. Определить в плоскости значения аргументов x_i и y_j,

3. Определить функцию двух переменных х и у: f( x, y).

4. Заполнить матрицу М значениями функции f(x_i,y_j).

5. Построить график поверхности.

6. Рассмотреть все возможности изменения графика с помощью диалогового окна форматирования (вращение, наклон, окрашивание и т.д.).

7. Построить график из линий равного уровня, или контурный

график, активизируя опцию Contour Plot (Линии уровня).

Пример:

 

n := 20 i := 0 .. n j := 0 .. n Задание дискретных аргументов

 

  Задание переменных

 

F(x, y) := sin(x² + y²)   Задание функции двух переменных

 

M_{i, j} := F(x_i, y_j)      Формирование матрицы значений

 

              График поверхности

 

 

Лабораторная работа № 7

 

Задание 1.

 

Найти все корни заданного алгебраического уравнения, используя функции root и polyroots. Сравнить полученные решения.

Порядок выполнения задания

1. Задать функцию, нули которой требуется найти.

2. Построить график функции для локализации ее нулей.

3. Задать начальное приближение.

4. Найти и вывести полученное значение вещественного корня.

5. Для поиска комплексных корней определить мнимую единицу.

6. Задать комплексное начальное приближение.

7. Последовательно найти все остальные корни исключая найденные корни из исходной функции.

8. Задать вектор коэффициентов многочлена.

9. Воспользоваться функцией polyroots для поиска корней.

Варианты

1. х⁵ - 2.2х³ + 0.5x² - 7х = 3.4.

2. х⁵ - 3.2х³ + 1.5x² - 7х = 5.4.

3. х⁵ - 5.2х³ + 2.5x² - 7х = 2.4.

4. х⁵ - 4.2х³ + 3.5x² - 7х = 7.4.

5. х⁵ - 2.2х³ + 7.5x² - 7х = 3.9.

6. x⁵ - 2.9x³ + 6.5x² - 7x = 5.4.

7. x⁵ - 3.2x³ + 9.5x² - 7x = 7.5.

8. x⁵ - 3.5x³ + 2.5x² - 7x = -6.4.

9. x⁵ - 9.2x³ + 5.5x² - 7x = -1.4.

10. x⁵ - 8.2x³ + 4.5x² - 7x = -6.5.

11. x⁵ - 3.2x³ + 2.5x² - 7x = -1.5.

12. x⁵ - 7.2x³ + 9.5x² - 7x = -2.5.

13. x⁵ - 5.2x³ + 5.5x² - 7x = -3.5.

14. х⁵ — 1.2x³ + 8.5x ² - 7x = -4.5.

16. х⁵ — 3.2x³ + 1.5x² - 7x = -9.5.

 

Задание 2.

Решить систему из двух нелинейных уравнений.

Порядок выполнения задания

1. Задать начальное приближение.

2. Открыть блок решения, набрав слово Given.

3. Определить все уравнения системы, используя знак жирного равенства.

4. Найти решение системы, используя функцию Find.

5. Проверить полученное решение.

Варианты

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Пример:

Лабораторная работа № 8.

 

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ

 

Цель: научиться аппроксимировать функциональные зависимости различными методами в среде MathCAD. 

При проведении научно-технических расчетов искомые функцио­нальные зависимости часто получаются в виде набора значений в определенных точках, количество которых ограничено. Возникает задача получения промежуточных значений функции между узловы­ми точками (интерполяция), а иногда и за их пределами (экстрапо­ляция). Эта задача решается аппроксимацией (заменой) исходной зависимости, то есть ее подменой какой-либо достаточно простой функцией.

Линейная интерполяция

Простейшей интерполяцией между двумя значениями является ли­нейная интерполяция — функция между узловыми значениями за­меняется отрезком линейной функции, проходящей через эти значе­ния. Графически это означает соединение узловых точек отрезком прямых. Если таких точек много, то получается ломаная линия, составленная из отрезков прямых. Интерполируемое значение для конкретного аргумента х есть ордината у соответствующей точки ломаной. Для вычисления этой ординаты в MathCAD используется функция

linterp(V_x, V_y, x).

Параметрами этой функции является вектор значений аргумента V_x, вектор задаваемых значений V_y и аргумент x, для которого требуется вычислить значение аппроксимируемой функции. Количество компо­нент векторов V_x и V_y должно быть одинаково. Вектор V_x должен содержать вещественные значения, расположенные в порядке возра­стания (см. пример 1).

 

Сплайн-интерполяция

Если узлов достаточно много, то лучшие результаты дает сплайн-интерполяция. При ней исходная функция заменяется частями куби­ческих полиномов, проходящих через три смежные узловые точки. Коэффициенты полинома рассчитываются так, чтобы непрерывными были первые и вторые производные. Линия, которую описывает сплайн-функция напоминает по форме гибкую линейку, закрепленную в узловых точках (splain - гибкая линейка)

Для осуществления сплайновой аппроксимации необходимо пред­варительно вычислить вектор вторых производных интерполяцион­ной кривой в задаваемых точках. Для этой цели в MathCAD преду­смотрена, функция

cspline (V_x, V_y),

ее аргументами являются векторы V_x и V_y, содержащие наборы значе­ний х и у, через которые нужно провести кубический сплайн. Когда получен вектор вторых производных, например, оператором присва­ивания:

V_s = cspline (V_x, V_y),

можно найти интерполируемое значение в произвольной точке х с помощью функции

interp (V_s, V_x, V_y , х).

(см. пример 3).

 

Линейная регрессия

Широко распространенной задачей обработки данных является представление их совокупности линейной зависимостью. Эта зави­симость проводится таким образом, чтобы сумма квадратов отклоне­ний от прямой линии была бы минимальной (аппроксимация методом наименьших квадратов). Задача нахождения линейной зависимости

у(х) = а + b • х

носит название задачи линейной регрессии. Для ее решения в MathCAD требуется обращение к двум функциям:

intercept (V_x, V_y) — возвращает значение параметра а (смещение);

slope (V_x, V_y) - возвращает значение параметра b (наклон).

Параметрами обеих функций являются векторы значений абсцисс и ординат.

 

Задание 1.

По таблице значений проинтерполировать табличную функцию тре­мя способами, построить графики интерполирующих функций.

Порядок выполнения задания

1. Ввести таблицу значений в. виде двух столбцов V_x и V_y , первый из которых содержит значения аргументов, а второй — значения интерполируемой функции.

2. Определить число точек, в наборах данных с помощью функции length.

3. Определить линейную интерполяционную функцию Ylin(x) с по­мощью системной функции linterp.

4. Определить интерполирующую функцию f( x) в форме полинома Лагранжа.

5. Задать множество значений аргумента для построения графи­ков функций.

6. Построить на одном рисунке графики полученных функций.

7. Вывести два значения полученных функций: одно в узле, другое вне узлов.

8. Реализовать сплайн-интерполяцию с построением сплайн-функции и выводом значений в тех же точках.

Варианты

 

№	i	1	2	3	4	5	6	7
п/п	xi	1.20	1.50	1.75	2.15	2.55	2.75	3.00
1	yi	-0.67	-0.065	0.177	0.606	1.154	1.221	2.308
2	yi	-9.56	-9.33	-9.11	-9.02	-8.71	-8.63	-8.57
3	yi	1.261	1.280	1.291	1.306	1.321	1.336	1.352
4	yi	-0.860	-0.818	-0.779	-0.641	-0.504	-0.370	-0.137
5	yi	33.11	34.81	36.59	38.47	40.44	37.52	34.70
6	yi	8.65	8.29	7.95	7.64	7.36	7.09	6.84
7	yi	0.991	0.951	0.913	0.876	0.807	0.775	0.744
8	yi	4.162	4.255	4.353	4.455	4.561	4.673	4.795
9	yi	4.48	5.47	6.68	8.16	9.97	12.18	10.61
10	yi	0.173	0.198	0.199	0.257	0.201	0.259	0.198
11	yi	20.19	19.61	18.94	18.17	17.30	16.31	15.19
12	yi	8.67	8.29	7.96	7.65	7.36	7.08	6.85
13	yi	5.04	5.18	5.32	5.47	5.63	5.81	5.98
14	yi	8.65	8.29	7.95	7.64	7.36	7.09	6.84
15	yi	6.62	6.40	6.19	6.00	5.82	5.65	5.49

 

Задание 2.

По заданной таблице значений найти регрессионные коэффициен­ты, построить график линейной регрессии и определить точку мак­симального отклонения.

Варианты

 

№	i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
п/п	xi	-2.0	-1.5	-1.0	-0.5	0.0	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5
1	yi	11.3	13.2	14.1	14.1	13.0	10.9	7.9	3.8	-1.3	-7.4
2	yi	-3.2	-1.8	-0.4	0.9	2.3	3.6	5.0	6.4	9.1	11.3
3	yi	11.0	8.5	6.7	5.2	4.0	3.1	2.4	1.9	1.5	1.2
4	yi	-20.5	-16.2	-12.3	-8.9	-6.0	-3.6	-1.7	-0.3	0.6	1.0
5	yi	1.1	1.3	1.5	1.6	1.7	1.7	1.8	1.9	1.9	.0
6	yi	6.4	4.4	2.7	2.3	0.3	-0.5	-0.9	-1.0	-0.8	-0.2
7	yi	-7.7	-6.7	-5.8	-4.9	-3.9	-3.0	-2.0	-1.1	-0.1	1.2
8	yi	0.93	0.81	0.73	0.65	0.65	0.65	0.52	0.51	0.52	0.52
9	yi	-4.9	-1.9	0.5	2.1	3.1	3.5	3.1	2.1	0.5	-1.9
10	yi	1.06	0.93	0.44	0.35	0.35	0.33	0.22	0.23	0.24	0.12
11	yi	10.2	3.8	-1.1	-4.7	-7.0	-7.9	-7.4	-5.6	-2.4	2.1
12	yi	-0.2	0.0	0.2	0.5	0.7	0.9	1.2	1.2	1.6	1.9
13	yi	0.8	1.1	1.4	1.6	1.8	1.9	2.1	2.3	2.5	3.1
14	yi	14.8	10.9	7.4	4.4	2.0	0.0	-1.5	-2.5	-2.9	-2.4
15	yi	0.0	0.1	0.2	0.3	0.5	0.6	0.7	0.9	1.2	1.6

 

Порядок выполнения задания

1. Ввести таблицу значений в виде двух столбцов V_x и V_y , первый из которых содержит значения аргументов, а второй эксперимен­тальные значения.

2. Определить число точек в наборах данных с помощью функции rows.

3. Вычислить регрессионные коэффициенты с помощью функций intercept и slope

4. Определить регрессионную линейную функцию у(х).

5. Задать ранжированную переменную i, принимающую значения от 0 до n.

6. Найти максимальное по абсолютной величине отклонение от линейной регрессии.

7. Найти номер точки максимального отклонения i_max.

8. Построить график линейной регрессии совместно с эксперимен­тальными значениями, отметив точку максимального отклонения.

 

Пример:

Задание наборов значений аргумента и функции:

   

Определение числа промежутков:

 

Линейная интерполяция

Значения в отдельных точках:

2. Интерполяция полиномом Лагранжа:

Формула Лагранжа:

Значения в отдельных точках:

Диапазон изменения аргумента:

Графики функций:

 

Сплайн-интерполяция

Значения в отдельных точках:

График сплайн-функции:

 

 

4. Линейная регрессия

Задание наборов значений аргумента и функции:

Определение числа промежутков:

Вычисление и вывод смещения:

Вычисление и вывод наклона прямой:

Определение линейной регрессии как функции у(х):

Нахождение максимального отклонения:

Определение номера точки максимального отклонения:

Вывод полученного значения:

Задание диапазона для аргумента с шагом 0.1 для построения графика:

График линейной регрессии (крестиком помечена точка максимального отклонения):

 

 

Лабораторная работа № 9.

Задание 1.

Решить на отрезке [ x ₀, x_end] задачу Коши для уравнения первого порядка с постоянным шагом. Получить и изобразить графики ре­шений, вычисленных с шагами h, и 4h. Сравнить с точным решением.

Порядок выполнение задания

 

1. Задать начальное значение функции как элемент вектора (т.е. в виде переменной с нулевым значением индекса).

2. Создать функцию D( x, y), которая вычисляет значение пере­менной при заданных значениях зависимой переменной и неизвестной функции.

3. Определить начальное и конечное значения отрезка интегриро­вания.

4. Указать число шагов интегрирования.

5. Вычислить численное решение при помощи функции rkfixed:

z := rkfixed ( у , a, b, N, D). Просмотреть результат вычислений — ма­трицу z с двумя столбцами, первый из которых содержит значе­ния независимой переменной, а второй - соответствующие значения функции.

6. Вычислить численное решение при учетверенном числе разби­ений.

7. Создать функцию для вычисления точного решения.

8.  Построить графики приближенных (двух) и точного решения.

9. Изменить число шагов N и проследить за решениями.

Варианты:

№	Уравнение	X0	Xend	y(x0)	Точное решение
1		0	1.5	1	y = sin x + cos x
2		1	3	1	xy = 1 - ln
3		0	4	1	y = (2x + 1) ln +1
4		1	3	e	y = ex(ln +1)
5					x
6		1	2	e
7		1	3	0
8		1	5	1/e	y = x2e-x
9		-1	1	e	y = e-x
10		1	5	(2 ln 2)-1
11		1	3	0
12		1	2	0
13		1	2	(2e)-1/2	2y2x4ex = 1
14		1.1	4		y2 = x2 - 1
15		0	2	0	y = x(1 + x2)

 

 

Задание 2.

Решить задачу Коши у'₁ = f₁(x, y₁, y₂), у' ₂ = f₂(x, y₁, y₂), у₁(a) = y_0,1, y₂(a) = y_0,2  на отрезке [а, b] с постоянным шагом h =0.1 Изобразить графики решений, вычисленных с шагами h  и 2 h.

Варианты

 

№	f1(x, y1, y2)	f2(x, y1, y2)	y0,1	y0,2	a	b
1			-1	1	0	4
2			1	0	0	5
3			0.2	0	-1	1
4			0	0	0	4
5			0.5	-0.5	-1	3
6			-0.6	2	2	5
7			0	0	-1	3
8			0.5	1.2	0	2
9			1	1	1	3
10			0.8	3.5	2	4
11			1	-1	2	4
12			0	0	0	2
13			-2	-1	1	4
14			0	1	-1	1
15			-1	1	0	4

 

 

Пример:

Лабораторная работа № 10

Разложение в ряд

 

Цель: научиться выполнять разложение в ряды при помощи пакета MathCAD

 

С помощью символьного процессора MathCAD возможно получить разло­жение выражения в ряд Тейлора по любой переменной x в точке x=0, т. е. представить выражение в окрестности точки x суммой вида a₀+a₁x+а₂х²+а₃х³+.. . Здесь а_х— некоторые коэффициенты, не зависящие от х, но, возможно, являющиеся функциями других переменных, входящих в ис­ходное выражение. Если выражение имеет в точке х=0 особенность, то соот­ветствующее разложение называют рядом Лорана.

Чтобы разложить выражение в ряд:

1. Введите выражение.

2. Выделите значение переменной, по которой требуется получить разложе­ние в ряд.

3. Выполните команду Symbolics / Variable / Expand to Series (Символика Переменная / Разложить в ряд).

4. В появившемся диалоговом окне введите желаемый порядок аппроксимации (Order Approximation) и нажмите кнопку ОК.

Результат разложения появится под выражением.

 

ВНИМАНИЕ

Не забывайте, что разложение строится только в точке х=0. Чтобы получить разложение в другой точке х=а, можно, к примеру, подставить вместо перемен­ной х значение х-а.

 

b*x + k* b*x + k*x2 + (-1)/6*b3 + (-1)/2*k*b2*x4 + (1/120*b5 – 1/2*k2*b)*x5+o(x6)   sin(k*x2 sin(k*x2 + b*x)

 Результат разложения в ряд Тейлора

 

Для разложения в ряд альтернативным способом, с помощью оператора символьного вывода, используйте ключевое слово series, вставляя его одноимённой кнопкой панели Symbolic(Символика). После ключевого слова series , через запятую, указывается имя переменной, по которой производится разложение, и порядок аппроксимации. Сравнение функции и ее разложений в ряды с разными порядками аппроксимация (для k=b=1). Видно, что разложение в ряд хорошо работает в окрестности точки х=о, а по мере удаления от нее все сильнее и сильнее отличается от функции.

Примечание

 

В MathCAD преобразование Фурье можно вычислить и с помощью численности процессора, использующего популярный алгоритм БПФ.

Прямое преобразование Фурье

 

cos (x) fourier, x → π*Dirac(ω–1) + π *Dirac(ω+1)

 

(x²+4) fourier, x → -2*π*Dirac(2,ω) + 8*π*Dirac(ω)

Обратное преобразование

-2*π*Dirac(2,ω) + 8*π*Dirac(ω) invfourier, ω → t² + 4

Преобразование Лапласа (Laplace)

 

Преобразованием Лапласа называют интеграл от f(х) следующего вида:

Рассчитывается преобразование Лапласа совершенно аналогично Фурье-преобразованию

 

Прямое и обратное преобразование Лапласа

 

x² + 4 laplace, х → 2/s³ + 4/s

 

2/s³ +4/s invlaplace , s → t² + 4

Z-преобразование ( Z )

Z-преобразование функции f(х) определяется через бесконечную сумму следующего вида:

.

 

Прямое и обратное Z-преобразование

 

         x² + 4 ztrans , x → z*(-7*z + 5 +4*z²)/(z-1)³

 

z*(-7*z + 5 +4*z²)/(z-1)³ invztrans , z → 4 + n²

 

Варианты:

1.    l= ;

 

2.   l= ;

 

3.      l=2;

 

4.       l= ;

 

5.       l= ;

 

6.    l= ;

 

 

7.    l= ;

 

8.    l=1;

 

9.    l=10;

 

10.   l= ;

 

11.     l= ;

 

12.    l= ;

 

13. l= ;

 

14.   l= ;

 

15.    l= ;

 

16.   l= ;

 

Лабораторная работа №11

 

ПОИСК ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ

 

Задачи поиска экстремума функции означают нахождение её максимума (наибольшего значения) или минимума (наименьшего значения) в некоторой области определения её аргументов. Ограничения значений аргументов, задающих эту область, как и прочие дополнительные условия, должны быть определены в виде системы неравенств и (или) уравнений. В таком случае говорят о задаче на условный экстремум.

 

Для решения задач поиска максимума и минимума в MathCAD имеются встроенные функции Minerr, Minimize, и Maximize. Все они используют те же градиентные численные методы, что и функции Find для решения уравнений. Поэтому вы можете выбирать численный алгоритм минимизации из уже рассмотренных нами численных методов.

 

Условный экстремум

 

В задачах на условный экстремум функции минимизации максимизации должны быть включены в вычислительный блок, т. е. Им должно предшествовать ключевое слово Given и функцией поиска экстремума с помощью булевых операторов записываются логические выражения (неравенства, уравнения), задающие ограничения на значения функции. В примерах, приведённых далее, показаны образцы поиска условного экстремума на различных интервалах, определённых неравенствами. Сравните результаты работы этих примеров с работой предыдущих примеров.

Три примера поиска условного экстремума

f(x) : = x⁴ + 5∙x³ - 10∙x

x : = 1

Given

-5 < x < -2

Minimize (f, x) = -3.552

x : = 1

Given

x > 0

Minimize (f, x) = 0.746

x : = 10

Given

-3 < x < 0

Maximize (f, x) = -0.944

 

Не забывайте о важности выбора правильного начального приближения и в случае задач на условный экстремум. Например, если вместо -3 < x < 0 в последнем примере задать –5 < x < 0, то при том же самом начальном x = -10 будет найден максимум Maximize (f,x) = -0.944, что неверно, поскольку максимальное значение достигается функцией f (x) на левой границе интервала при x = -5.

Выбор начального приближения x = -4 решает задачу правильно, выдавая в качестве результата Maximize (f,x) = -5.

 

Задание

Найти экстремумы функции.

 

 

Варианты

 

       1. .

       2. .

       3. .

       4. .

       5. .

       6. .

       7. .

       8. .

       9. .

       10. .

       11. .

       12. .

       13. .

       14. .

       15. .

 

 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

 

1. Измайлов Г.К. Информатика. Пакет MATHCAD. Лабораторный практикум. СПб: Издательство СПбГТУ, 2001.

2. MathCAD 6.0 PLUS /Пер. с англ. руководства пользователя. М.: Филинъ, 1996. 712с.

3. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MathCAD 8 PRO в матема­тике, физике и Internet.  М.: Нолидж; 1999. 504с.

3. Плис А.И., Сливина Н.А. MathCAD: математический практи­кум для экономистов и инженеров. М.: Финансы и статистика, 1999. 656с.

4. Херхагер М., Партолль X. MathCAD 2000. Полное руковод­ство. Киев: Ирина, BHV, 2000. 414с.

Кафедра автоматизации и систем управления

Методические указания

12345678910Следующая ⇒

Поделиться: