Определение адекватности трендовой модели.

Независимо от вида и способа построения экономико-математической модели вопрос о возможности ее применения в целях анализа и прогнозирования экономического явления может быть решен только после установления адекватности, т.е. соответствия модели исследуемому процессу или объекту. При моделировании имеется в виду адекватность не вообще, а по тем свойствам модели, которые считаются существенными для исследования.

Трендовая модель  конкретного временного ряда y_t считается адекватной, если правильно отражает систематические компоненты временного ряда. Это требование эквивалентно требованию, чтобы остаточная компонента  (t = 1, 2, ..., n) удовлетворяла свойствам случайной компоненты временного ряда: случайность колебаний уровней остаточной последовательности, соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения, равенство математического ожидания случайной компоненты нулю, независимость значений уровней случайной компоненты.

Проверка случайности колебаний уровней остаточной последовательности означает проверку гипотезы о правильности выбора вида тренда. Для исследования случайности отклонений от тренда необходимо рассмотреть набор разностей      

 (t = 1, 2, …, n)                                               (49)   

Характер этих отклонений изучается с помощью ряда непараметрических критериев. Одним из таких критериев является критерий серий, основанный на медиане выборки. Ряд из величин ε _t располагают в порядке возрастания их значений и находят медиану ε _m полученного вариационного ряда, т.е. срединное значение при нечетном n или среднюю арифметическую из двух срединных значений при n четном. Возвращаясь к исходной последовательности ε _t и сравнивая значения этой последовательности с ε _m, будем ставить знак «плюс», если значение ε _t, превосходит медиану, и знак «минус», если оно меньше медианы; в случае равенства сравниваемых величин соответствующее значение ε _t опускается. Таким образом, получается последовательность, состоящая из плюсов и минусов, общее число которых не превосходит n. Последовательность подряд идущих плюсов или минусов называется серией. Для того чтобы последовательность ε _t была случайной выборкой, протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее число серий - слишком малым.

Протяженность самой длинной серии обозначается через K_max, а общее число серий - через ν. Выборка признается случайной, если выполняются следующие неравенства для 5%-ного уровня значимости:

;                                                  (50)

,                                             (51)

где квадратные скобки означают целую часть числа.

Если хотя бы одно из этих неравенств нарушается, то гипотеза о случайном характере отклонений уровней временного ряда от тренда отвергается и, следовательно, трендовая модель признается неадекватной.

Другим критерием для данной проверки может служить критерий пиков (поворотных точек). Уровень последовательности ε _t считается максимумом, если он больше двух рядом стоящих уровней, т.е.

ε _t-1 < ε _t > ε _t+1,                                                       (52)

и минимумом, если он меньше обоих соседних уровней, т.е.

ε _t-1 > ε _t < ε _t+1.                                                     (52’)

 В обоих случаях ε _t считается поворотной точкой; общее число поворотных точек для остаточной последовательности ε _t обозначим через p.

В случайной выборке математическое ожидание числа точек поворота р и дисперсия  выражаются формулами:

; .                                     (53)

Критерием случайности с 5%-ным уровнем значимости, т.е. с доверительной вероятностью 95%, является выполнение неравенства

 ,                                                     (54)

где квадратные скобки означают целую часть числа. Если это неравенство не выполняется, трендовая модель считается неадекватной.

Проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения может быть произведена лишь приближенно с помощью исследования показателей асимметрии (γ ₁) и эксцесса (γ ₂), так как временные ряды, как правило, не очень велики. При нормальном распределении показатели асимметрии и эксцесса некоторой генеральной совокупности равны нулю. Мы предполагаем, что отклонения от тренда представляют собой выборку из генеральной совокупности, поэтому можно определить только выборочные характеристики асимметрии и эксцесса и их ошибки:

 ; ;                                  (55)

; ;                          (56)

В этих формулах - выборочная характеристика асимметрии; - выборочная характеристика эксцесса; и - соответствующие среднеквадратические ошибки.

Если одновременно выполняются следующие неравенства:

 ; ,                                          (57)

то гипотеза о нормальном характере распределения случайной компоненты принимается.

Если выполняется хотя бы одно из неравенств

 ; ,                                           (58)

то гипотеза о нормальном характере распределения отвергается, трендовая модель признается неадекватной. Другие случаи требуют дополнительной проверки с помощью более сложных критериев.

Кроме рассмотренного метода известен ряд других методов проверки нормальности закона распределения случайной величины: метод Вестергарда, RS-критерий и т. д. Наиболее простой из них - основанный на RS-критерии. Этот критерий численно равен отношению размаха вариации случайной величины R к стандартному отклонению S.

R = ε _max - ε _min,  .                                      (59)

Вычисленное значение RS-критерия сравнивается с табличными (критическими) нижней и верхней границами данного отношения, и если это значение не попадает в интервал между критическими границами, то с заданным уровнем значимости гипотеза о нормальности распределения отвергается; в противном случае эта гипотеза принимается.

Проверка равенства математического ожидания случайной компоненты нулю, если она распределена по нормальному закону, осуществляется на основе t-критерия Стьюдента. Расчетное значение этого критерия задается формулой

.                                                   (60)

где - среднее арифметическое значение уровней остаточной последовательности ε _t;

- стандартное (среднеквадратическое) отклонение для этой последовательности.

Если расчетное значение t меньше табличного значения t_α статистики Стьюдента с заданным уровнем значимости α и числом степеней свободы n-1, то гипотеза о равенстве нулю математического ожидания случайной последовательности принимается; в противном случае эта гипотеза отвергается и модель считается неадекватной.

Проверка независимости значений уровней случайной компоненты, т.е. проверка отсутствия существенной автокорреляции в остаточной последовательности может осуществляться по ряду критериев, наиболее распространенным из которых является d-критерий Дарбина—Уотсона. Расчетное значение этого критерия определяется по формуле

.                                                (61)

Расчетное значение критерия Дарбина-Уотсона в интервале от 2 до 4 свидетельствует об отрицательной связи; в этом случае его надо преобразовать по формуле  и в дальнейшем использовать значение .

Расчетное значение критерия d (или d') сравнивается с верхним d₂ и нижним d₁ критическими значениями статистики Дарбина-Уотсона.

Вывод об адекватности трендовой модели делается, если все указанные выше четыре проверки свойств остаточной последовательности дают положительный результат.

 

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: