Сходимость и сумма числового ряда. Необходимый признак сходимости.

Сходимость и сумма числового ряда. Необходимый признак сходимости.

Пусть задана бесконечная последовательность чисел

Выражение вида называется числовым рядом, где:

числа – члены ряда;

число – общий член ряда.

Сумма конечного числа n-первых членов ряда называется n-частичной суммой ряда . Если существует конечный предел n-частичной суммы ряда , то его называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится. Если же предел n-частичной суммы ряда не существует, то говорят, что ряд расходится и сумма не определена.

Свойства рядов:

1) Сходимость или расходимость ряда не нарушается, если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда;

2) Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд , где также сходится и его сумма будет равна ;

3) Если ряды с общими членами и сходятся и их суммы соответственно равны и , то ряд также сходится и его сумма равна .

Теорема 1 «Необходимый признак сходимости ряда»: если числовой ряд сходится, то предел общего члена ряда равен нулю.

Теорема 2 «Достаточный признак расходимости ряда»: если предел общего члена отличен от нуля, то ряд расходится.

Теорема 1 дает необходимое условие сходимости ряда, но не достаточное: из условия не следует, что ряд сходится. К примеру в гармоническом ряду, который имеет вид: предел общего члена ряда равен нулю, тем не менее данный яд всегда расходится.

Признаки Д’Аламбера и Коши сходимости числовых рядов с положительными членами.

Признак Д’Аламбера:

Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел отношения последующего члена к предыдущему: ;

· Если ряд сходится;

· Если ряд расходится;

· Если неопределённость; требуется дополнительное исследование ряда.

Признак Д’Аламбера применяется если:

- В общий член ряда входит какое-либо число в степени ( , причем не важно, стоит это число в числителе или в знаменателе общего члена ряда;

- В общий член ряда входит факториал ;

- В общий член ряда входит цепочка множителей .

Радикальный признак Коши:

пусть дан ряд с положительными членами и существует предел: ;

· Если ряд сходится;

· Если ряд расходится;

· Если неопределённость, требуется дополнительное исследование ряда.

Радикальный признак Коши обычно используют в тех случаях, когда общий член ряда полностью находится в степени, зависящий от n, либо, когда хорошо извлекается из общего члена ряда.

Интегральный признак Коши. Признаки сравнения.

Признаки сравнения рядов с положительными членами:

1) Если даны два ряда с положительными членами:

;

и выполняется неравенство: , то:

Ø Из сходимости ряда следует сходимость ряда ;

Ø Из расходимости ряда следует расходимость ряда ;

Ø Из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами;

Ø Из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с большими членами.

2) Предельный признак сравнения. Рассмотрим два положительных числовых ряда с общими членами и . Если предел отношения общих членов этих рядов равен конечному, отличному от нуля числу , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Признаки сравнения рядов с положительными членами применяются тогда, когда в общем члене ряда присутствуют многочлены, либо многочлены в знаменателе. Также один или оба многочлена могут находится под корнем.

Интегральный признак Коши:

Пусть члены ряда монотонно убывают и функция – непрерывная при и такая, что , тогда ряд и несобственный интеграл одновременно сходятся или расходятся.

Интегральный признак Коши применяется, когда в общем члене ряда есть некоторая функция и её производная.

Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в степенные ряды.

Если функция имеет производную в окрестности точки до -го порядка включительно, то данную функцию можно разложить в ряд Тейлора:

Существует частный случай формулы Тейлора – ряд Маклорена, когда :

Большинство элементарных функций имеют определённое разложение в ряд Маклорена по следующей таблице:

Элементы комбинаторики.

Комбинаторика – это область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству.

Существует две схемы выбора элементов из заданного множества:

1) Без возвращения: когда выбранные элементы не возвращаются в исходное множество;

2) С возвращением: когда выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента в исходное множество.

Пусть дано множество, состоящее из n различных элементов. Выберем из этого множества набор, содержащий k элементов. То есть сделаем выборку объемом k. Выборки могут отличаться друг от друга как составом, так и порядком расположения элементов. Если допустить, что среди элементов выборки есть одинаковые, то объем выборки в отдельных случаях может превышать объем исходного множества.

Размещениями из n элементов по k называются такие выборки, которые содержат по k элементов, выбранных из числа данных n элементов генеральной совокупности без повторений, и отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.

– число размещений c повторением из n по k.

Если элементы в выборке не повторяются, то её объем не может превысить объём исходного множества.

Число размещений из n по k можно определить следующим способом: первый объект выборки можно выбрать n способами, далее второй объект можно выбрать n-1 способом и т.д.

Преобразовав данную формулу, имеем:

Следует помнить, что 0! =1.

Если n=k, то различия выборки относятся только к порядкам элементов. Такие выборки называются перестановками из n элементов.

Число различных перестановок равно: .

Сочетаниями без повторений из n элементов по k называются такие выборки, которые содержат по k элементов, выбранных из числа данных n элементов генеральной совокупности без повторений, и отличаются друг от друга только составом элементов.

Число сочетаний из n элементов по k: .

Для числа справедливы следующие тождества:

; ; .

Формула Бернулли.

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.

Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A определённое количество раз при нескольких независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появление события равна событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), равна:

Или:

где .

Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит:

Менее k раз:

Более k раз: ;

Не менее k раз: ;

Не более k раз:

Равномерное распределение.

Непрерывная случайная величина. Х называется равномерно распределенной на отрезке [a, b], если плотность ее вероятности постоянна на этом отрезке, а вне его равна 0 (т.е. случайная величина Х сосредоточена на отрезке [a, b], на котором имеет постоянную плотность). По данному определению плотность равномерно распределенной на отрезке [a, b] случайной величины Х имеет вид:

где с есть некоторое число. Впрочем, его легко найти, используя свойство плотности вероятности для случайных величин, сосредоточенных на отрезке [a, b]: . Отсюда следует, что , откуда .

Поэтому плотность равномерно распределенной на отрезке [a, b] случайной величины Х имеет вид:

Нормальное распределение.

Данное распределение является предельным законом, к которому приближаются (при определенных естественных условиях) многие другие законы распределения. С помощью нормального закона распределения описываются также явления, подверженные действию многих независимых случайных факторов любой природы и любого закона их распределения. Перейдем к определениям.

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид:

где, a — математическое ожидание, — среднее квадратическое отклонение X. Вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (а, b):

где:

– функция Лапласа.

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа ,

В частности, при a = 0 справедливо равенство:

Асимметрия, эксцесс, мода и медиана нормального распределения соответственно равны: