Функциональные ряды. Область сходимости. Понятие равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.

Ряд, членами которого являются функции от  – называется функциональным. Один и тот же функциональный ряд может при одних и тех же значениях  сходится, а при других расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной , при которых ряд сходится. Совокупность тех значений , при которых ряд сходится называется областью сходимости.

В области сходимости функционального ряда определены:

· n-частичная сумма ряда; ;

· сумма ряда ;

· Остаток ряда ; .

Понятие равномерной сходимости:

Ряд сходится равномерно к функции на некотором промежутке, если для любого значения (заранее выбранного и сколь угодно малого) и СРАЗУ ДЛЯ ВСЕХ «икс» из данного промежутка найдётся натуральный номер (зависящий от «эпсилон»), ТАКОЙ, что для всех номеров будет выполнено неравенство .

Иными словами, равномерная сходимость подразумевает тот факт, что какой бы мизерный «коридор» мы ни рассмотрели – всегда найдётся частичная сумма , график которой ПОЛНОСТЬЮ окажется внутри «коридора», т.е. будет отличаться от точной суммы по модулю меньше, чем на «эпсилон»:
. Для ВСЕХ «икс» из промежутка сходимости.

И, разумеется, внутри -окрестности также окажутся все приближения более высоких порядков

Признак Вейерштрасса:

Если существует сходящийся числовой ряд , такой, что для всех и ДЛЯ ВСЕХ из некоторого промежутка выполнено неравенство , то функциональный ряд в данном промежутке сходится, причём равномерно и абсолютно.

Свойства равномерно сходящихся рядов:

1) Теорема о непрерывности суммы ряда. Если члены ряда - непрерывные на отрезке функции и ряд сходится равномерно, то и его сумма является непрерывной функцией на отрезке .

2) Теорема о почленном интегрировании ряда. Равномерно сходящийся на отрезке ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.

3) Теорема о почленном дифференцировании ряда. Если члены ряда сходящегося на отрезке представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.

Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов.

Среди функциональных рядов в математике и её приложениях особую роль играет ряд, членами которого являются степенные функции аргумента . То есть так называемый степенной ряд: .

Действительные или комплексные числа  – называются коэффициентами ряда. Ряд  расположен по степеням .

Рассматривают также степенной ряд, расположенный по степеням . То есть ряд вида , где  – некоторое постоянное число.

Теорема Абеля:

1) Если степенной ряд  сходится при некотором значении , то он сходится абсолютно при всяком значении , удовлетворяющему условию .

2) Если степенной ряд  расходится при некотором значении , то он расходится при любых значениях , для которых .

Степенные ряды  и  всегда сходятся при .

Из теоремы Абеля следует, что если , то  – точка сходимости степенного ряда, следовательно интервал  – весь состоит из точек сходимости данного ряда, при всех значениях  вне этого интервала ряд расходится.

Интервал  – интервал сходимости ряда. Обозначим  через ; число  – половина длины интервала сходимости называют радиусом сходимости степенного ряда.

Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое , что при всех , таких что  – ряд абсолютно сходится, а при всех  – ряд расходится.

1). Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная в интервале сходимости ряда.

2). Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать неограниченное число раз, причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости.

3). Степенной ряд можно неограниченное число раз почленно интегрировать в пределах от 0 до , если , причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: