Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода.

Если функция  имеет период , то её ряд Фурье записывается в виде:

, где:

;

;

.

Если периодическая функция  – чётная, то она разлагается в ряд Фурье только по косинусам и имеет вид: , где:

;

;

Если периодическая функция  – нечётная, то она разлагается в ряд Фурье только по синусам и имеет вид: , где:

.

 

12 Классическое, аксиоматическое и статистическое определения вероятности. Геометрическая вероятность.

Теория вероятности – математическая наука, изучающая закономерности в массовых случайных явлениях.

Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта (испытания, эксперимента) протекает каждый раз несколько по-иному.

Теория вероятности рассматривает не сами реальные явления, а их упрощенные схемы – математические модели.

Классическое определение вероятности:

Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных исходов опыта в котором может появиться это событие. Вероятность события А обозначают через Р(А). В соответствии с определением P(A)= , где:

m – число исходов испытания, благоприятствующих для события А;

n – число всех исходов данного испытания.

Аксиоматическое определение вероятности:

Вероятностью события А называется число Р(А), которое сопоставляется каждому событию рассматриваемого множества событий и которое удовлетворяет следующим аксиомам:

Аксиома 1: (неотрицательности) Вероятность любого события неотрицательна.

Аксиома 2: (нормировки) Вероятность достоверного события равна 1.

Аксиома 3: (сложения) Вероятность суммы любого конечного множества попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Аксиома 4: (однозначности) Эквивалентные события имеют равные вероятности.

Следствия из аксиом:

1. Вероятность невозможного события равна 0.

2. Вероятность события противоположного событию А

3. Вероятность любого события

Аксиомы теории вероятностей позволяют вычислить вероятности любых событий через вероятности элементарных событий.

Статистическое определение вероятности:

Понятие относительной частоты: относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие наступило к числу всех испытаний:

, где      m – число выполнений события А;

n – общее число испытаний.

Таким образом, чем выше число испытаний, тем больше значение относительной частоты  приближается к значению вероятности события А.

Геометрическая вероятность:

Геометрическое определение вероятности применимо для несовместных событий, в которых число равновозможных исходов бесконечно, например, попадания точки на участок отрезка, плоскости, пространства, объёма.

Общая формула для определения геометрической вероятности:

P(A)= ;

Геометрической вероятность события А называется отношение меры области g, благоприятствующей событию А, к мере всей области G.

Элементы комбинаторики.

Комбинаторика – это область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству.

Существует две схемы выбора элементов из заданного множества:

1) Без возвращения: когда выбранные элементы не возвращаются в исходное множество;

2) С возвращением: когда выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента в исходное множество.

Пусть дано множество, состоящее из n различных элементов. Выберем из этого множества набор, содержащий k элементов. То есть сделаем выборку объемом k. Выборки могут отличаться друг от друга как составом, так и порядком расположения элементов. Если допустить, что среди элементов выборки есть одинаковые, то объем выборки в отдельных случаях может превышать объем исходного множества.

Размещениями из n элементов по k называются такие выборки, которые содержат по k элементов, выбранных из числа данных n элементов генеральной совокупности без повторений, и отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.

 – число размещений c повторением из n по k.

Если элементы в выборке не повторяются, то её объем не может превысить объём исходного множества.

Число размещений из n по k можно определить следующим способом: первый объект выборки можно выбрать n способами, далее второй объект можно выбрать n-1 способом и т.д.

Преобразовав данную формулу, имеем:

Следует помнить, что 0! =1.

Если n=k, то различия выборки относятся только к порядкам элементов. Такие выборки называются перестановками из n элементов.

Число различных перестановок равно: .

Сочетаниями без повторений из n элементов по k называются такие выборки, которые содержат по k элементов, выбранных из числа данных n элементов генеральной совокупности без повторений, и отличаются друг от друга только составом элементов.

Число сочетаний из n элементов по k: .

 

Для числа  справедливы следующие тождества:

            ;             ; .

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: