Теорема сложения и умножения вероятностей. Если А и В – совместные события, то А+В означает наступление или события А

Суммой нескольких событий называется событие, состоящие в наступлении хотя бы одного из данных событий.

Если А и В – совместные события, то А+В означает наступление или события А, или события В, или обоих событий.

Если А и В – несовместные, то А+В означает наступление или события А, или событие В.

Замечание: если два события в заданных условиях могут происходить одновременно, то их называют совместными, а те, которые происходить одновременно не могут – несовместными.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

Вероятность появления одного из двух несовместных событий (безразлично какого) равна сумме вероятностей этих событий.

;

Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий (безразлично какого) равно сумме вероятностей этих событий:

;

Теорема: Сумма вероятностей событий , образующих полную группу равна единице.

;

Теорема умножения вероятностей:

События А и В называются независимыми, если при наступлении события А вероятность события В не меняется (событие называется независимым, если появление одного из них не влияет на появление другого).

События А и В называются зависимыми, если вероятность каждого из них зависит от того, произошло или нет другое событие (события называются зависимыми, если появление одного из них влияет на появление другого).

Произведением двух событий А и называют событие С, состоящее в совместном выполнении события А и события В.

Теорема умножения вероятностей независимых событий:

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению: ;

Следствие: вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности равна произведению вероятностей этих событий:

;

Теорема умножения вероятностей зависимых событий:

Вероятность совместного появления равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленного в предположении, что событие уже наступило.

;

Следствие: вероятность совместного события равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность остальных, причем вероятность каждого события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились.

В частности для трех событий: ;

Следствия из теорем сложения и умножения:

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: ;

Теорема может быть обобщена на любое число совместных событий.

Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий: , образующих полную систему, когда известны их вероятности находится по формуле полной вероятности:

, где  – вероятность гипотезы .

 – условная вероятность события А, при этой гипотезе.

Формула Байеса:

Формула Байеса позволяет найти вероятность каждой из гипотез о том, в результате какого из событий, образующих полную систему, наступило событие А.

Поэтому формула Байеса представляет собой отношение произведения вероятности одного из событий системы на условную вероятность этого события относительно соответствующего события системы к полной вероятности наступления события A с учётом всех событий системы.

Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Формула Бернулли.

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.

Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A определённое количество раз при нескольких независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появление события равна  событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), равна:

Или:

где .

Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит:

Менее k раз:         

Более k раз:           ;

Не менее k раз:     ;

Не более k раз:     

 

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: