Числовые характеристики дискретных случайных величин.

Характеристикой среднего значения случайной величины служит матема1ическое ожидание. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

Если дискретная случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то:

причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

Свойство 3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

Свойство 4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании:

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Дисперсию удобно вычислять по формуле:

Дисперсия обладает следующими свойствами:

Свойство 1. Дисперсия постоянной равна нулю:

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

Свойство 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и не появления события в одном испытании:

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:

Биномиальный закон распределения. Распределение Пуассона.

Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины X—числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р; вероятность возможного значения Х = k; (числа k появлений события) вычисляют по формуле Бернулли:

Если число испытаний велико, а вероятность р появления события в каждом испытании очень мала, то используют приближенную формулу:

где k – число появлений события в n независимых испытаниях,  (среднее число появлений события в n испытаниях), и говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона.

Геометрическое распределение. Гипергеометрическое распределение.

Геометрическое распределение.

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события равна p(0 < p< 1) и, следовательно, вероятность его непоявления равна . Испытания заканчиваются, как только появится события A. Таким образом, если событие A появилось в k-ом испытании, то в предшествующих k-1 оно не появлялось.

Пусть в первых k-1 испытаниях событие A не наступило, а в k-ом испытании появилось. Вероятности этого «сложного» события, по теореме умножения вероятностей независимых событий,

Полагая k = 1, 2, … получим геометрическую прогрессию, по причине которой и названо это распределение – геометрическим.

Гипергеометрическое распределение.

Гипергеометрическое распределение – моделирует количество удачных выборок без возращения из конечной совокупности.

Пусть имеется конечная совокупность, состоящая из N элементов. Предположим, что D из них обладают нужным нам свойством. Оставшиеся N – M этим свойством не обладают. Случайным образом из общей совокупности выбирается группа из n элементов. Пусть X - случайная величина, равная количеству выбранных элементов, обладающих нужным свойством. Тогда функция вероятности X имеет вид:

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: