Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:

где  – плотность распределения случайной величины Х. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.

В частности, если возможные значения принадлежат интервалу (a, b), то:

Все свойства математического ожидания, указанные выше для дискретных случайных величин (см. вопрос №20), сохраняются и для непрерывных величин.

Если  – функция случайного аргумента X, возможные значения которого принадлежат всей оси Ох, то:

В частности, если возможные значения X принадлежат интервалу (а, b), то:

Если математическое ожидание М(X) существует и кривая распределения симметрична относительно прямой х=С, то М(Х)=С.

Модой  непрерывной случайной величины X называют то её возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения. В частности, если распределение имеет два одинаковых максимума, то его называют бимодальным.

Медианой   непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которое определяется равенством:

Геометрически медиану можно истолковать как точку, в которой ордината f(х) делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения.

Дисперсия непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:

или равносильным равенством:

В частности, если все возможные значения X принадлежат интервалу (а, b), то:

или:

Все свойства дисперсии, указанные выше для дискретных случайных величин (см. вопрос №20), сохраняются и для непрерывных величин.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной величины:

Если  – функция случайного аргумента X, причем возможные значения X принадлежат всей оси Ох, то:

или:

В частности, если все возможные значения X принадлежат интервалу (а, b), то:

или:

Начальный теоретический момент порядка k непрерывной случайной величины X определяется равенством:

Центральный теоретический момент порядка k непрерывной случайной величины X определяется равенство:

В частности, если все возможные значения X принадлежат интервалу (а, b), то:

Очевидно, что если k=1, то если k=2, то

Центральные моменты выражаются через начальные моменты по формулам:

,

,

.

Равномерное распределение.

Непрерывная случайная величина. Х называется равномерно распределенной на отрезке [a, b], если плотность ее вероятности постоянна на этом отрезке, а вне его равна 0 (т.е. случайная величина Х сосредоточена на отрезке [a, b], на котором имеет постоянную плотность). По данному определению плотность равномерно распределенной на отрезке [a, b] случайной величины Х имеет вид:

 ,

где с есть некоторое число. Впрочем, его легко найти, используя свойство плотности вероятности для случайных величин, сосредоточенных на отрезке [a, b]: . Отсюда следует, что , откуда .

Поэтому плотность равномерно распределенной на отрезке [a, b] случайной величины Х имеет вид:

 .

Нормальное распределение.

Данное распределение является предельным законом, к которому приближаются (при определенных естественных условиях) многие другие законы распределения. С помощью нормального закона распределения описываются также явления, подверженные действию многих независимых случайных факторов любой природы и любого закона их распределения. Перейдем к определениям.

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид:

где, a — математическое ожидание,  — среднее квадратическое отклонение X. Вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (а, b):

где:

 – функция Лапласа.

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа ,

В частности, при a = 0 справедливо равенство:

Асимметрия, эксцесс, мода и медиана нормального распределения соответственно равны:

                   где .

 

⇐ Предыдущая123456

Поделиться: