Решатели (solver) ОДУ в MATLAB

 

Анализ поведения многих систем и устройств в динамике, а также решение многих задач в теории колебаний обычно базируется на решении систем ОДУ. Их, как правило, представляют в виде системы из дифференциальных уравнений (ДУ) первого порядка в форме Коши:

 

dy/dt = y′ = f(y, t)

(1.1)

 

с граничными условиями y(t₀, t_end, p) = y, где t_end, t₀ начальные и конечные точки интервалов. Параметр t (независимая переменная) необязательно означает время, хотя чаще всего решение ДУ ищется во временной области. Система ДУ в форме Коши записывается аналогично (1.1), но под y в этом случае подразумевается вектор-столбец зависимых переменных. Вектор p задает начальные условия.

Для решения ДУ второго и высшего порядка их нужно свести к системе ДУ первого порядка.

Возможны ДУ, не разрешенные относительно производной:

F(t, y, dy/dt) = 0.

(1.2)

 

Уравнения (1.2) аналитически к форме (1.1) обычно привести не удается. Однако численное решение особых трудностей не вызывает достаточно для определения f(y, t) решить (1.2) численно относительно производной при заданных y и t.

 

Решатели ОДУ

 

Для решения систем ОДУ в MATLAB реализованы различные численные методы. Их реализации названы решателями ОДУ.

В этом разделе обобщенное название solver (решатель) означает один из возможных численных методов решения ОДУ: ode45, ode23, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb, bvp4c или pdepe.

Решатели реализуют следующие методы решения систем ДУ:

• ode45 одношаговые явные методы Рунге-Кутта 4-го и 5-го порядков в модификации Дорманда и Принца. Это классический метод, рекомендуемый для начальной пробы решения. Во многих случаях он дает хорошие результаты, если система решаемых уравнений нежесткая.

• ode23 одношаговые явные методы Рунге-Кутта 2-го и 4-го порядков в модификации Богацки и Шампина. При умеренной жесткости системы ОДУ и низких требованиях к точности этот метод может дать выигрыш в скорости решения.

• ode113 многошаговый метод Адамса-Башворта-Мултона переменного порядка класса предиктор-корректор. Это адаптивный метод, который может обеспечить высокую точность решения.

• ode15s многошаговый метод переменного порядка (от 1 до 5, по умолчанию 5), использующий формулы численного «дифференцирования назад». Это адаптивный метод, его стоит применять, если решатель ode45 не обеспечивает решения и система ДУ жесткая.

• ode23s одношаговый метод, использующий модифицированную формулу Розенброка 2-го порядка. Может обеспечить высокую скорость вычислений при низкой точности решения жесткой системы ДУ.

• ode23t неявный метод трапеций с интерполяцией. Этот метод дает хорошие результаты при решении задач, описывающих колебательные системы с почти гармоническим выходным сигналом. При умеренно жестких системах ДУ может дать высокую точность решения.

• ode23tb неявный метод Рунге Кутта в начале решения и метод, использующий формулы «дифференцирования назад» 2-го порядка в последующем. Несмотря на сравнительно низкую точность, этот метод может оказаться более эффективным, чем ode15s.

• bvp4c служит для проблемы граничных значений систем ДУ вида y′ = f(t, y), F(y(a), y(b), p) = 0 (полная форма системы уравнений Коши). Решаемые им задачи называют двухточечными краевыми задачами, поскольку решение ищется при задании граничных условий как в начале, так и в конце интервала решения.

Все решатели могут решать системы уравнений явного вида y′ = F(t, y), причем для решения жестких систем уравнений рекомендуется использовать только специальные решатели ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb.

 

Использование решателей систем ОДУ

 

В описанных далее функциях для решения систем ДУ приняты следующие обозначения и правила:

• tspan вектор, определяющий интервал интегрирования [t₀ t_final]. Для получения решений в конкретные моменты времени t₀, t₁, …, t_final (расположенные в порядке уменьшения или увеличения) нужно использовать tspan = [_t0 t₁ … t_final];

• y₀ вектор начальных условий;

• options аргумент, создаваемый функцией odeset (еще одна функция odeget или bvpget (только для bvp4c) позволяет вывести параметры, установленные по умолчанию или с помощью функции odeset/bvpset);

• p1, p2, … произвольные параметры, передаваемые в функцию F;

• T, Y матрица решений Y, где каждая строка соответствует времени, возвращенном в векторе-столбце T.

Перейдем к описанию синтаксиса функций для решения систем ДУ (под именем solver подразумевается любая из представленных выше функций).

• [T, Y]=solver(@F, tspan, y₀) интегрирует систему ДУ вида y′ = F(t, y) на интервале tspan с начальными условиями y₀. @F дескриптор ОДУ-функции (можно также задавать функцию в виде 'F'). Каждая строка в массиве решений Y соответствует значению времени, возвращаемому в векторе-столбце T.

• [T, Y]=solver(@F, tspan, y₀, options) дает решение, подобное описанному выше, но с параметрами, определяемыми значениями аргумента options, созданного функцией odeset. Обычно используемые параметры включают допустимое значение относительной погрешности RelTol (по умолчанию 1e3) и вектор допустимых значений абсолютной погрешности AbsTol (все компоненты по умолчанию равны 1e6).

• [T, Y]=solver(@F, tspan, y₀, options, p₁, p₂…) дает решение, подобное описанному выше, передавая дополнительные параметры p₁, p₂, … в m-файл F всякий раз, когда он вызывается. Используйте options=[], если никакие параметры не задаются.

 

Решение ОДУ первого порядка

 

 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Изучить теоретическую часть. Выполните задания, соответствующие номеру Вашего варианта, и продемонстрируйте их преподавателю.

2. Оформите отчет по лабораторной работе, который должен содержать:

· титульный лист;

· исходные данные варианта;

· решение задачи;

· результаты решения задачи.

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Пример

Найти решение дифференциального уравнения на отрезке [1, 7; 2, 7], для которого у(1, 7) = 5, 3.

Создаем в Command Window функция пользователя

 

g=@(x, y)[x-cos(y/pi)];

 

В синтаксисе функции @(x, y) x независимая переменная, y зависимая переменная, x-cos(y/pi) правая часть ДУ.

 

Процесс решения осуществляется обращением в Command Window к решателю (солверу) следующим оператором:

 

[x, ya]=ode23(g, [1.7, 2.7], [5.3]);

 

Построение графика с сеткой осуществляется следующими операторами:

 

plot(x, ya)

grid on

 

Результат представлен на рис. 1.1

 

Рис. 1.2.1. Визуализация численного решения

ЗАДАНИЕ

1. Найдите решения ДУ первого порядка , удовлетворяющего начальным условиям у(х₀) = у₀ на промежутке [a, b].

2. Построить графики функции.

 

Варианты заданий.

 

№ варианта		у(х0)=у0	[a, b]
		y0(1, 8)=2, 6	[1, 8; 2, 8]
		y0(0, 6)=0, 8	[0, 6; 1, 6]
		y0(2, 1)=2, 5	[2, 1; 3, 1]
		y0(0, 5)=0, 6	[0, 5; 1, 5]
		y0(1, 4)=2, 2	[1, 4; 2, 4]
		y0(1, 7)=5, 3	[1, 7; 2, 7]
		y0(1, 4)=2, 5	[1, 4; 2, 4]
		y0(1, 6)=4, 6	[1, 6; 2, 6]
		y0(1, 8)=2, 6	[1, 8; 2, 8]
		y0(1, 7)=5, 3	[1, 7; 2, 7]
		y0(0, 4)=0, 8	[0, 4; 1, 4]
		y0(1, 2)=1, 4	[1, 2; 2, 2]

 

 

Лабораторная работа № 2

Решение систем ОДУ

 

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Сформировать у студентов представления о применении систем ДУ в различных областях; привить умения решать задачу Коши для систем ДУ.

 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Изучить теоретическую часть. Выполните задания, соответствующие номеру Вашего варианта, и продемонстрируйте их преподавателю.

2. Оформите отчет по лабораторной работе, который должен содержать:

· титульный лист;

· исходные данные варианта;

· решение задачи;

· результаты решения задачи.

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

 

Пример

Решить систему при данных начальных условиях с использованием решателя ode23().

Решение:

1. Создать в редакторе m-файл функции вычисления правых частей ДУ.

Пусть имя в редакторе файла sisdu.m, тогда функция может иметь следующий вид:

 

function z=sisdu(t, y)

z1=-3*y(2)+cos(t)-exp(t);

z2=4*y(2)-cos(t)+2*exp(t);

z=[z1; z2];

2. Выполнить следующие действия:

> > t0=0; tf=5; y0=[-3/17, 4/17];

> > [t, y]=ode23('sisdu', [t0, tf], y0);

> > plot(t, y)

> > grid on

 

 

Рис. 1.3.1. Визуализация численного решения, полученного с помощью функции ode23.

 

ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ

 

1. Что значит решить задачу Коши для системы ДУ?

2. Какие существуют методы решения систем ДУ?

 

ЗАДАНИЕ

 

1. Найдите решение системы ДУ

удовлетворяющее начальным условиям на промежутке [0, 1];

2. Построить графики функций.

 

Для примера приводится функция решения 8-го варианта:

 

function z=ssisdu(t, y)

% вариант 8

a=0.8; m=2.7;

z1=-a*y(1)+a*y(2);

z2=a*y(1)-(a-m)*y(2)+2*m*y(3);

z3=a*y(2)-(a-m)*y(3)+3*m*y(4);

z4=a*y(3)-3*m*y(4);

z=[z1; z2; z3; z4];

 

> > [t, y]=ode23('ssisdu', [0 1], [1 0 0 0]);

> > plot(t, 100*y)

> > grid on

 

 

Рис. 1.3.2. Визуализация численного решения, полученного с помощью функции ode23.

 

Варианты заданий.

 

№ варианта	Задания
a	m
	0, 1	1, 2
	0, 2	1, 5
	0, 3	1, 7
	0, 4	1, 9
	0, 5
	0, 6	1, 9
	0, 7	2, 3
	0, 8	2, 7
	0, 9
	0, 1	1, 5
	0, 2	1, 1
	0, 3

 

 

 

Лабораторная работа № 3

 

1.4Решение ОДУ n-го порядка

 

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

 

Сформировать у студентов представления о применении ДУ высших порядков в различных областях; привить умения решать задачу Коши для ДУ высших порядков с помощью прикладных программ; развить навыки проверки полученных результатов.

 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

 

1. Изучить теоретическую часть. Выполните задания, соответствующие номеру Вашего варианта, и продемонстрируйте их преподавателю.

2. Оформите отчет по лабораторной работе, который должен содержать:

· титульный лист;

· исходные данные варианта;

· решение задачи;

· результаты решения задачи.

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Пример 1.

Решить ДУ второго порядка при данных начальных условиях .

Решение:

Сначала приведем ДУ к системе:

1. Создать m-файл функции вычисления правых частей ДУ.

Пусть имя файла sisdu_3.m, тогда функция может иметь следующий вид:

 

function z=sisdu_3(x, y)

z1=y(2);

z2=6*x*exp(x)+2*y(2)+y(1);

z=[z1; z2];

2. Выполнить следующие действия:

> > x0=0; xf=10; y0=[0, 1];

> > [x, y]=ode23('sisdu_3', [x0, xf], y0);

> > plot(x, y(:, 1))

> > grid on

 

 

 

Рис. 1.4.1. Визуализация численного решения, полученного с помощью функции ode23.

 

ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ

1. Что значит решить задачу Коши для ДУ высших порядков?

2. Как привести ДУ m-го порядка к системе ДУ?

ЗАДАНИЕ

1. Найдите решение ДУ, удовлетворяющее начальным условиям на промежутке [0, 10].

2. Построить графики функций.

 

Варианты заданий.

№ варианта	Задания
Уравнения	Начальные условия

 

 

Лабораторная работа № 4 – 5

 

Динамические системы (ДС)

 

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Знакомство студентов с основными понятиями ДС, их классификация, фазовое пространство ДС, кинематическая интерпретация системы ДУ, эволюция ДС. Уравнение движения маятника. Динамика осциллятора Ван дер Поля.

 

2. Динамическая система (ДС) математический объект, соответствующий реальным системам (физическим, химическим, биологическим и др.), эволюция которых однозначно определяется начальным состоянием. ДС определяется системой уравнений (дифференциальных, разностных, интегральных и т.д.), допускающих существование на бесконечном интервале времени единственность решения для каждого начального условия.

Состояние ДС описывают набором переменных, выбираемых из соображений естественности их интерпретации, простоты описания, симметрии и т.п. Множество состояний ДС образует фазовое пространство, каждому состоянию отвечает точка в нём, а эволюция изображается (фазовыми) траекториями. Чтобы определить близость состояний, в фазовом пространстве ДС вводят понятие расстояния. Совокупность состояний в фиксированный момент времени характеризуется фазовым объёмом.

Описание ДС в смысле задания закона эволюции также допускает большое разнообразие: оно осуществляется с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, с помощью теории графов, теории марковских цепей и т.д. Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей ДС.

Математическая модель ДС считается заданной, если введены динамические переменные (координаты) системы, определяющие однозначно ее состояние, и указан закон эволюции состояния во времени.

В зависимости от степени приближения одной и той же системе могут быть поставлены в соответствие различные математические модели. Исследование реальных систем идет по пути изучения соответствующих математических моделей, совершенствование и развитие которых определяется анализом экспериментальных и теоретических результатов при их сопоставлении. В связи с этим под динамической системой мы будем понимать именно ее математическую модель. Исследуя одну и ту же ДС (к примеру, движение маятника), в зависимости от степени учета различных факторов мы получим различные математические модели.

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. G. Переживание неодушевленной материи и неорганических процессов
2. S:Укажите верную характеристику предложения: Вода была теплей воздуха, и парное тепло от разгоряченных водяных туш усиливало ощущение одухотворенности природы - море казалось живым.(В.Гроссман)
3. XIV. РЕПРОДУКТИВНАЯ И ОПЕРАТИВНАЯ ПАМЯТЬ
4. Альдостерон-продуцирующая аденома
5. Анализ затрат на производство и реализацию продукции.
6. Анализ портфеля бизнесов (продукции)
7. Анализ производства и реализации продукции
8. Анализ рынков сбыта продукции и закупок сырья
9. Анализ финансовых результатов от реализации продукции, услуг
10. Аудит издержек производства и готовой продукции
11. Бактериальные токсины в продуктах питания
12. Бездефектное изготовление продукции на Саратовском авиационном заводе