Качественный анализ нелинейных ДС

 

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

 

Логистическое отображение

 

Логистическое отображение

 

(отображение Ферхюльста)

 

Динамика непрерывной логистической системы.

 

> > g=@(t, x)[1*x-2*x^2];

> > [t, xa]=ode23(g, [0: 0.01: 20], [0.1]);

> > xlabel('t')

> > ylabel('x')

> > title('dx/dt = x-2*x^2')

 

 

Х.Гулд, Я.Тобочник

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ФИЗИКЕ: ЧАСТЬ 1., М.: Мир, 1990, 350 с.

 

ХАОТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

 

В этой главе изучаются простые детерминированные нелинейные модели динамических систем (ДС), обнаруживающие сложную структуру поведения. Понятия, которые будут обсуждаться в этой главе, основываются на применении компьютера в качестве инструмента для проведения эмпирических наблюдений. Исследования с помощью компьютера привели к значительному прогрессу в понимании нелинейных явлений.

Большинство явлений природы по сути своей нелинейны. Модели погоды и турбулентный режим движения жидкостей являются общеизвестными примерами нелинейных процессов. Несмотря на то, что мы отдаем себе отчет в значимости нелинейных эффектов во многих физических явлениях, некоторые основные понятия легче объяснить, если рассмотреть задачи теоретической экологии. В дальнейшем анализируется разностное уравнение с одной переменной:

 

 

где х является отношением численности популяции л-го поколения к численности предыдущего. Мы обнаружим, что динамические свойства уравнения (7.1) чрезвычайно сложны и играют важную роль в разработке более общей теории нелинейных явлений. Важность последних результатов выражается нижеследующей цитатой эколога Роберта Мэя, относящейся к исследованию разностного уравнения (7.1):

«...Исследование этого уравнения не требует познаний, выходящих за рамки элементарного анализа. Такое исследование развивает интуицию студента, касающуюся нелинейных систем. Не только в науке, но и в повседневной политической и экономической жизни мы делали бы меньше ошибок, если бы большинство людей осознало тот факт, что простые нелинейные системы необязательно обладают простыми динамическими свойствами».

 

7.2 ПРОСТОИ ОДНОМЕРНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ

 

Многие биологические популяции состоят из одного поколения, которое не перекрывается ни с предыдущим, ни с последующим. В качестве примера можно представить некий остров с популяцией насекомых, которые плодятся и откладывают яйца летом, а на следующее лето выводятся новые особи. Поскольку процесс развития популяции дискретен, то более уместно описывать развитие популяции разностными, а не дифференциальными уравнениями (ДУ). Простая модель развития популяции, не зависящая от плотности, связывающая численность популяции в (п + 1)-поколении с предыдущим п-м поколением, записывается в виде

 

 

где а – некоторая постоянная. Из разностного уравнения следует что, если а > 1, то численность каждого поколения будет в а раз больше предыдущего. Это приводит к геометрическому росту и, в конце концов, к неограниченной численности популяции. Представляется естественным сформулировать более реалистичную модель, в которой численность популяции ограничивается пропускной способностью окружающей среды. Простая дискретная модель прироста популяции, зависящая от плотности, записывается в виде

 

 

Заметим, что выражение (7.3), иногда называемое «логистическим» разностным уравнением, нелинейно из-за наличия квадратичного члена Рп. Первый член представляет естественный прирост численности популяции; квадратичный член представляет уменьшение естественного прироста, например, за счет перенаселения или распространения болезней.

Для удобства «перемасштабируем» численность популяции, положив Рп = (а/b)хn и переписав уравнение (7.3) в виде

 

 

Переход от переменной Рп к хп изменяет систему единиц, используемую для определения различных параметров. Чтобы записать уравнение (7.4) в стандартном виде (7.1), введем параметр «роста» г = а/4 и получим

 

 

где функция f(xn) записывается в виде

 

 

Функция, записанная в новых переменных (7.6), обладает желательным свойством, которое заключается в том, что ее поведение определяется единственным параметром г, который можно менять. Заметим, что если xn > 1, то значение хn+1 будет отрицательным. Чтобы избежать этой нефизической ситуации, наложим условия, которые ограничивают изменение переменной х и параметра г отрезками 0 < x< и 0 < r < 1.

Поскольку функция f(x) переводит любую точку отрезка в некоторую другую точку того же самого отрезка, функция f(x) называется одномерным отображением. В дальнейшем мы будем ссылаться на уравнение (7.6) для функции f(x) как на «стандартное» отображение.

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Качественный и количественный анализ
2. Решение нелинейных уравнений методом Ньютона.
3. Системы нелинейных дифференциальных уравнений различных порядков