Дискретное логистическое отображение

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 7

Зависимость динамики логистического отображения X_n от номера шага n.

а) устойчивая неподвижная точка (период 1);

(б) предельный цикл периода 2;

(в) предельный цикл периода 4.

%logistic_guld

clear all

r=[0.1 0.6 0.8 0.9];

for i=1: 4

clear x

x(1)=0.75;

for n=2: 25%150

l(i)=4*r(i);

x(n)=4*r(i)*x(n-1)*(1-x(n-1));

end

plot(x)

ss=num2str(r(i));

ssl=num2str(l(i));

title(['r = ' ss ' lambda = ', ssl])

xlabel('n');

ylabel('x');

grid on

figure

end

Рнс. 7.1, а. График итерированных значений х в зависимости от номера итерации для случаев г = 0.1 и г = 0.6.

Рис. 7.1, 6. График итерированных значений х в зависимости от номера итерации для случаев г = 0.8 и г = 0.9.

Много интересных свойств стандартного отображения были открыты Фейгенбаумом в 1978г. с помощью программируемого калькулятора.

Заметим, что несколько начальных итераций отображения {(х) ведут себя странным образом, но тем не менее, за исключением случая г = 0.9, проявляется некая закономерность. Начальный отрезок последовательности называется переходным режимом, а остальная часть является установившимся режимом. Последовательность значений хп называется орбитой отображения.

ЗАДАЧА 7.1. Исследование удвоения периода

а. Изучите динамическое поведение стандартного отображения (7.6) для значений параметра г = 0.2 и г = 0.24 и для различных значений источника дс0. Покажите, что х = 0 является устойчивой неподвижной точкой. Иначе говоря, для достаточно малого значения параметра г итерации х сходятся к х = 0 независимо от начального условия x0. В том случае, когда переменная представляет собой численность популяции насекомых, качественно охарактеризуйте динамику этой популяции.

б. Исследуйте динамическое поведение стандартного отображения (7.6) для значений параметра г = 0.26, 0.5, 0.7, 0.72, 0.74 и 0.748. (В случае г = 0.748 для сходимости итерационного процесса необходимо приблизительно 1000 итераций.) Сходится ли процесс к значению х = 0? Неподвижная точка называется неустойчивой, если для почти всех значений х0 итерационный процесс расходится.

Свидетельствуют ли ваши результаты о том, что х = 0 – неустойчивая неподвижная точка? Покажите, что через много поколений итерированные значения переменной х постоянны, т.е. динамический режим является стационарным или имеет период, равный 1. Каковы устойчивые неподвижные точки для различных значений параметра г?

Последовательность итераций x0, х1, …, xn называется орбитой, или траекторией х. Покажите, что для любого из предложенных значений параметра г орбиты х по прошествии начального переходного периода не зависят от начального значения.

в. Исследуйте динамическое поведение стандартного отображения (7.6) для значений параметра г = 0.752, 0.76, 0.8 и 0.862. (В случае г = 0.752 для сходимости итерационного процесса необходимо приблизительно 1000 итераций.) Покажите, что если параметр становится чуть больше 0.75, то после переходного режима х осциллирует между двумя значениями, т.е. вместо устойчивого цикла с периодом, равным 1, соответствующего одной неподвижной точке, у системы имеется устойчивый цикл с периодом 2.

Значение параметра г, при котором единственная неподвижная точка х" расщепляется, или происходит бифуркация на два осциллирующих значения х1* и x2* равно г = 3/4. Пара величин (х1* и х2*) образует устойчивый аттрактор с периодом 2.

г. Опишите экологический сценарий популяции насекомых или человеческого общества, которые ведут себя аналогично отображению из п. «в».

д. Что является устойчивым аттрактором стандартного отображения (7.6) для значений параметра г = 0.863 и 0.88? Чему равен период в каждом случае?

е. Что является устойчивым аттрактором стандартного отображения и чему равны соответствующие периоды для значений параметра г = = 0.89, 0.891 и 0.8922?

ЗАДАЧА 7.2. Хаотический режим

а. Область значений параметра г > гc = 0.892486417967... называется хаотическим режимом, в котором две близлежащие начальные точки разбегаются по различным траекториям после небольшого числа итераций. В качестве примера выберите такие источники x0 = 0.500 и 0.501. Сколько итераций необходимо для того, чтобы последующие значения различались между собой более чем иа 10%?

б. Известно, что точность представления чисел с плавающей запятой в компьютере конечна. Для проверки влияния конечной точности вашего компьютера выберите сначала значения г = 0.91 и x0 = 0.5 и получите численное значение х после приблизительно 200 итераций. Затем модифицируйте свою программу так, чтобы последовательно выполнялись операции х = x/10 и х = 10*х Эта комбинация действий обрезает последнюю десятичную цифру, которую хранит компьютер. (Аналогичного эффекта можно добиться с помощью функции truncate в языке True BASIC.) Получите итерированное значение х при тех же условиях и сравните результаты. Будет ли такое же несовпадение и в случае г < rc?

в. Каковы динамические свойства системы для значения параметра г = 0.958. Можете ли вы найти другие «окна» в этом хаотическом режиме?

Рис. 7.2. График итерированных значений х в зависимости от параметра роста г. Обратите внимание на переход от периодического движения к хаотическому. Обратите также внимание на узкие окна периодического движения внутри областей хаоса.

Другой способ представить поведение (7.6) заключается в построении

графика зависимости х от управляющего параметра г (рис. (7.2). На рис. 7.2 нанесены итерированные значения х, полученные только после завершения переходного периода.

ЗАДАЧА 7.3. Качественные особенности квадратичного отображения

а. Модифицируйте программу так, чтобы итерации хп строились в виде графика, зависящего от г. Не нужно наносить на график первые n итераций. Начните с диапазона 0.8 < r < 0.9. Сколько удвоений периода вы можете различить?

б. Измените масштаб так, чтобы вы могли наблюдать итерации х от периода 4 до периода 32. Как выглядит график в этом масштабе по сравнению с графиком для отображения с периодом 4 в исходном масштабе?

в. Дайте краткое качественное описание поведения кривой вблизи точек бифуркации.

Рис. 7.3. Итерации отображения xn+1 = 4rxn(l – xn) с г = 0.6 и начальным значением x0 = 0.05. Неподвижная точка х = 0 –неустойчива, а неподвижная точка х = 0.58333 является устойчивой.

7.3. УДВОЕНИЕ ПЕРИОДА

Приведенные выше «машинные эксперименты», касающиеся поведения стандартного отображения, привели к созданию нового словаря для описания наших наблюдений и, вероятно, убедили вас в том, что свойства простых динамических систем могут быть очень сложными!

Для понимания зависимости динамического поведения от параметра г представим простой и элегантный графический метод итерирования f(x). На рис. 7.3 приведен график f(x) для значения параметра г = 0.6. Наклонная прямая, соответствующая функции у = х, пересекает кривую у = f(x) в двух неподвижных точках х* = 0 и х* = 0.58333, т.е. повторение итераций функции {(х) для значений х* = 0 и х* = = 0.58333 дает постоянную последовательность. Если х0 не является одной из неподвижных точек, мы можем найти орбиту следующим образом. Сначала проводим вертикальную прямую из точки {х = х0, у = 0} до пересечения с кривой у = f(x) в точке {x0, у0 = f(x0)}. Затем проводим горизонтальную прямую из точки {x0, y0) до пересечения с наклонной прямой в точке {y0, y0}. Поскольку на этой наклонной прямой значение у равно значению х, то значение х в точке пересечения является первой итерацией х1 = у0. Аналогично можно найти вторую итерацию x2. Из точки {x1, y0} проводим вертикальную прямую до пересечения с кривой у = f(x). Фиксируем точку у = у1 = f(x1) и проводим горизонтальную прямую до пересечения с наклонной; значение х в точке пересечения дает х2. Дальнейшие итерации можно иайти, повторяя следующую процедуру:

1) двигаемся по вертикали до пересечения с кривой у = f(x);

2) двигаемся по горизонтали до пересечения с наклонной прямой у = x;

3) повторяем шаги 1 и 2 бесконечное число раз.

Этот графический метод иллюстрируется на рис. 7.3 для х0 = 0.05 и г = 0.6. Заметим, что если начинать итерации из любой точки x0 (х ≠ 0 и х ≠ 1), то итерационный процесс будет сходиться к неподвижной точке x* = 7/12 ≈ 0.58333. (С помощью карандаша проверьте этот факт на рис. 7.3.) Такие неподвижные точки называются устойчивыми (аттрактор с периодом 1). По сравнению с этим независимо от близости x0 к неподвижной точке х = 0 итерационный процесс будет расходиться. Такая неподвижная точка называется неустойчивой.

Как можно объяснить качественное различие между неподвижными точками x* = 0 и х* = 0.58333 для r = 0.6? Локальная кривизна кривой у = f(x) определяет горизонтальное смещение при каждой итерации f. Крутой наклон (более 45°) приводит к удалению x от начального значения. Следовательно, критерий устойчивости неподвижной точки заключается в том, что величина наклона в неподвижной точке должна быть менее 45⁰, т.е. если |df(x)/dx|_x=x* < 1, то точка х* является устойчивой, и, наоборот, если |df(x)/dx|_x=x* > 1, тогда точка х* неустойчива. Внимательное изучение функции f(x), изображенной на рис. 7.3, показывает, что x = 0 – неустойчивая точка, поскольку тангенс угла наклона кривой f(x) в точке x = 0 больше единицы. В противоположность этому значение производной f(x) в точке х = 0.58333 меньше единицы. В приложении 7А, используя аналогичные соображения, мы показываем аналитически, что

Таким образом, для значений 0 < г < 3/4 конечное поведение известно.

Что происходит, если r лежит в интервале 3/4 < г < 1? Нам известно из наблюдений, что по мере роста r неподвижная точка функции f становится неустойчивой и приводит к рождению (бифуркации) цикла с периодом 2. Теперь только после каждой второй итерации х принимает то же самое значение, т.е.

и аттракторы функции f(x) являются неподвижными точками функции g(x) = f(f(x)). Что произойдет, если дальше увеличивать значение параметра г? В конце концов, величина наклона неподвижных точек g(x) достигнет единичного значения и неподвижные точки удвоятся. Теперь период f равен 4 и можно изучать устойчивость неподвижных точек четырежды итерированной функции h(x) = g(g(x)) = f(f(f(f(x)))). Эти неподвижные точки также в конце концов удваиваются и наблюдается явление удвоения периода, т.е. период 1 → период 2 → период 4 → период 8 → период 16 → период 32 → .... что мы и видели в задаче 7.4.

ЗАДАЧА 7.4. Качественные свойства неподвижных точек

а. Используйте программу map_graph и покажите графически, что при г < 3/4 у функции f(x) существует единственная устойчивая неподвижная точка. Функция f(x) четна относительно точки х = 1/2, в которой f(x) имеет максимум. Каковы качественные особенности второй итерации этой функции g(x) = f(f(x)? Четна ли функция g(x) относительно точки x = 1/2? Является ли точка х* также неподвижной точкой функции g(x)? При каком значении х функция g(x) имеет минимум? Пусть r1 – значение r, при котором неподвижная точка функции f(x) становится неустойчивой. Убедитесь в том, что r1 = -0.75.

б. Охарактеризуйте орбиту функции f(x) для значения параметра г = 0.785. Чему равен период f(x)? Чему равны численные значения неустойчивых аттракторов? Проитерируйте g(x) и найдите две неподвижные точки х1* и x2* этого отображения. (Попробуйте два начальных значения х0 = 0.1 и x0 = 0.3.) Являются ли неподвижные точки отображения g(x) устойчивыми нли неустойчивыми? Как соотносятся значения х1* и x2* со значениями неустойчивых аттракторов отображения f(x)? Убедитесь в том, что наклоны функции g(x) в точках х1* и х2* одинаковы.

в. Проверьте следующие свойства неподвижных точек отображения g(x). По мере увеличения параметра г неподвижные точки g(x) расходятся и наклон g(x) в неподвижных точках уменьшается. При каком значении г = r⁽¹⁾ одна из неподвижных точек g равна 1/2? Чему равно значение другой неподвижной точки? При этом значении параметра г наклон в обеих неподвижных точках равен нулю. При дальнейшем увеличении г наклоны в неподвижных точках становятся отрицательными. Наконец, при г = г₂ = 0.8623 наклоны в обеих неподвижных точках функции g(x) становятся равными -1 и эти две неподвижные точки превращаются в неустойчивые.

г. Покажите, что для значений г, чуть больших г2, например г ≈ ~ 0.87, у функции h(x) = g(g(x)) имеются четыре неподвижные точки. Чему равно значение г = r⁽²⁾, при котором одна из неподвижных точек равна 1/2? Чему равны значения трех остальных неподвижных точек при г = r⁽²⁾. При каком значении r = г3 четыре неподвижные точки отображения h становятся неустойчивыми?

7.4. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

До сих пор мы изучали простое отображение (7.6). Для выяснения общих закономерностей удвоения периода рассмотрим в задаче 7.5 два других одномерных отображения.

ЗАДАЧА 7.5. Другие одномерные отображения

Проведите численные эксперименты для определения качественных свойств отображений

Как ведет себя (7.9) для г ~ 2 и г ~ 2.7? Заметим, что для отображения (7.10) г и начальное значение х должны лежать между 0 и 1. Проявляют ли эти отображения сходные качественные свойства, например удвоение периода и существование хаотической области? Отображение (7.9) использовалось экологами (Мэй) для изучения популяции, ограниченной при больших плотностях эпидемиями. Несмотря на то, что данное отображение является более сложным по сравнению с (7.6), у него имеется одно важное преимущество, состоящее в том, что численность популяции всегда положительна независимо от выбираемого начального значения. Не существует никаких ограничений на максимальное значение r, но если величина r становится достаточно большой, то x в итоге будет фактически равняться нулю, следовательно, популяция вымирает.

В дальнейшем мы убедимся в том, что удобно определять «порядок» отображения. Пусть х_max – значение, при котором f(x) достигает максимума, т.е. df/dx = 0 при х = х_max. Если при x = х_max производные d^mf/dx^m = 0 для m < n, a dⁿf/dxⁿ < 0, то f(x) является отображением n-го порядка. Покажите, что этот критерий означает, что отображения (7.6) и (7.9) являются отображениями второго порядка или квадратичными. Покажите, что по сравнению с этим отображение (7.10) имеет четвертый порядок, т.е. d²f/dx² = d³f/dx³ = 0, a d⁴f/dx⁴ < 0 прн х = 1/2.

Приведем качественные соображения, свидетельствующие о том, что некоторые количественные свойства стандартного квадратичного отображения (7.6) в режиме удвоения периода присущи также всем квадратичным отображениям. Рассмотрим f(x, r) при таком значении г, что период f(x, r) равен 4 (рис. 7.4).

Рис. 7.4. Итерации f(x) для г = 0.88. Заметьте, что для этого значения г функция f(x) имеет период, равный 4.

Теперь рассмотрим вторую итерацию g(x, r) = f(f(x, r)) для того же самого значения г (рис. 7.5).

Рис. 7.5. Итерации g(x) для г = 0.88, стартующие из x0 = 0.5. Обратите внимание на форму g(x) внутри «циркуляционного прямоугольника», ограниченного значениями х1* = 0.373 и x2* = 0.512.

Ясно, что g(x, r) имеет период 2 и при начальном значении x₀ = 0.5 осциллирует между обеими неподвижными точками x1* = 0.373 и х2* = 0.512. Можно видеть, что g(x, r) качественно ведет себя подобно f(x, r'), где г' – меньшее значение г, для которого f(x, r') имеет период 2. На рис. 7.6 показана f(x, r') для произвольно выбранного значения г' = 0.8. Заметим, что f(x, r = 0.8) колеблется между значениями 0.513 и 0.799. Теперь сравним форму g(x, r = 0.88) внутри циркуляционного прямоугольника на рис. 7.5 и форму f(x, r' = 0.8) внутри циркуляционного прямоугольника, показанного на рис. 7.6.

Рис. 7.6. Двухпериоднческое поведение функции f(x) для г = 0.8. Сравните вид функции f(x) в циркуляционном прямоугольнике, ограниченном значениями x1* = 0.513 и x2* = 0.799, с поведением функции g(x) в циркуляционном прямоугольнике, показанном на рис. 7.5.

Мы видим, что если повернуть g вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр прямоугольника, а затем увеличить g так, чтобы циркуляционные прямоугольники для f и g имели одинаковые размеры, то обе функции внутри прямоугольников будут качественно одинаковы. Можно определить коэффициент увеличения a, заметив, что диапазон изменения g(x, r = 0.88) равен 0.512-0.373 = 0.139, а диапазон изменения f(x, r = 0.8) равен 0.799-0.513 = 0.286. Следовательно, если выбрать a = 0.286/0.139 = 2.06, то обе функции будут вести себя сходным образом. Эта процедура иллюстрируется иа рис. 7.7, где наложены циркуляционные прямоугольники функций f(х, г = 0.8) и g(x, r = 0.88).

Рнс. 7.7. Наложение соответственно увеличенных циркуляционных прямоугольников для функций f (х, г = 0.8) и g (x, r = 0.88).

Рассмотренный выше множитель представляет собой пример масштабного множителя; чтобы сравнить g с f, мы отмасштабировали g и изменили (перенормировали) значение г. Наши доводы были наводящими. Например, мы не объяснили выбор г' = 0.8. Оказывается, что достаточно сравнить циркуляционные прямоугольники для значений г, соответствующих неподвижной точке х = 1/2 и неподвижной точке, ближайшей к х = 1/2. Более строгий подход показывает, что если продолжить сравнение итераций более высокого порядка, например h(x) с g(x) и т.д., то для всех отображений одного н того же порядка совмещение функций будет сходиться к некой универсальной функции, не зависящей от вида начальной функции f(x).

Число a можно определить из родственных соображений. Посмотрите на «камертонные» бифуркации, изображенные на рис. 7.3 и 7.8. Заметим, что каждый камертон порождает «двойню» новых поколений, более плотно упакованных по сравнению с предыдущим поколением. Для количественной характеристики роста плотности неподвижных точек рассмотрим поведение функции f(x) при значениях r = r⁽ⁿ⁾ для которых одна из неподвижных точек равна 1/2.

Рис. 7.8. Зависимость х от параметра роста г. Значение d является расстоянием от х* =1/2 до ближайшего элемента аттрактора с периодом 2ⁿ.

Например, в задаче 7.4 мы нашли r(1) ≈ 0.809 и r(2) ≈ 0.875. Одной из мер плотности может служить величина dn = xn* – 1/2, где хn* – значение неподвижной точки, ближайшей к неподвижной точке х* = 1/2. Первые два значения dn показаны на рнс. 7.8, где d₁ ≈ 0.309 и d2 ≈ 0.117. Заметим, что неподвижная точка, ближайшая к х = 1/2, переходит с одной стороны прямой х = 1/2 на другую. Определим величину a с помощью отношения

Оценка a = 0.309/0.117 = 2.64 согласуется с нашими предыдущими оценками и асимптотическим пределом a = 2.5029078750958928485... (Целый ряд десятичных цифр приведен для того, чтобы показать, что это число известно с большой точностью! )

Мы можем количественно описать процесс удвоения периода с последующим переходом к хаосу. Напомним, что rn является значением г, при котором впервые появляются 2ⁿ циклов. В задаче 7.4 мы нашли значения г₁ = 0.75, г2 = 0.862 и г3 = 0.880. Фейгенбаум показал (с помощью калькулятора), что по мере роста я значение гп приближается к предельному значению г_c по простому закону:

Замечательный результат работы Фейгенбаума заключается в том, что постоянная d, как и a, является универсальной, т.е. d не зависит от детальных свойств fx), а зависит только от порядка отображения. Напротив, постоянная А зависит от детальной структуры функции f(x). Из формулы (7.12) непосредственно выводится, что d можно также определить с помощью соотношении

Используя приведенные выше значения r1, r2 и r3 получим d ≈ 6.22; асимптотическое значение равно d = 4.66920160910299097....

ЗАДАЧА 7.6. Дальнейшие оценки универсальных постоянных a и d

а. Пользуясь рассуждениями, аналогичными тем, которые приведены в тексте, сравните поведение g(x) в циркуляционном прямоугольнике при х = 1/2 для г = r(2) ≈ 0.875 с поведением f(x) в соответствующем циркуляционном прямоугольнике для г⁽¹⁾ ≈ 0.809. Найдите соответствующий масштабный множитель a и наложите fна перемасштабированную функцию g.

б. Проведите анализ, аналогичный п. «а», и сравните h(x) при г = r(3) ≈ 0.880 с g(x) при г = г(2). Определите масштабный множитель и наложите эти две функции.

в. Вычислите значения гn для процессов удвоения периода 8 → 16 и 16 → 32. Используйте эти значения rn для улучшения оценки d.

г. Получите дополнительные значения для г⁽ⁿ⁾, значений г, при которых 2ⁿ итераций функции f(x) имеют неподвижную точку при х* = 1/2. Получите дополнительные оценки d, воспользовавшись выражением (7.13) с заменой r_n на r(n).

д. Вычислите a и d для отображений (7.9) и (7.10).

Из приведенных выше рассуждений можно сделать вывод о том, что существуют универсальные постоянные a и d, не зависящие от конкретного вида f(х). Почему универсальность бифуркаций и существование универсальных постоянных относятся к чрезвычайно редким явлениям? Одна из причин заключается в том, что едва ли популяция будет эволюционировать в точном соответствии с отображением (7.6) или любым другим из ранее рассмотренных нами отображений. Однако если поведение не зависит от деталей функции, описывающей его, то могли бы существовать реальные системы, динамика которых была бы аналогична поведению простых отображений, которые мы рассмотрели. Если бы динамика была аналогичной, то мы бы узнали, что динамику системы со многими степенями свободы можно при определенных условиях упростить.

Конечно, физические системы обычно описываются дифференциальными, а не разностными уравнениями. Может ли происходить в таких системах удвоение периода? Некоторые исследователи (Теста и др.) сконструировали нелинейную RLC-цепь, присоединенную к генератору гармонического напряжения. Выходное напряжение испытывало бифуркации, а измеренные значения a и d согласовываются со значениями, предсказанными для простого квадратичного отображения.

Поскольку электрические цепи можно описать с помощью нескольких переменных, то не могло вызвать удивления, что они ведут себя подобным образом. Более интересный случай представляет собой природа турбулентности в жидкости, которая является одной из главных областей исследования учеными различных специальностей. Рассмотрим, например, поток воды, обтекающий несколько препятствий. Из опыта известно, что при малых скоростях поток является регулярным и постоянным во времени и называется ламинарным течением. По мере роста скорости потока (определяемой с помощью безразмерного параметра, который называется числом Рейнольдса) появляются завихрения, но движение все еще постоянно. Если еще более увеличить скорость потока, то вихри опрокидываются и начинается движение нижних слоев. Поток, который мы наблюдаем, находясь на уступе, становится нестационарным. Если и дальше скорость увеличивается, то поток становится очень сложным и выглядит хаотическим. Мы говорим, что течение воды совершило переход из ламинарного режима в турбулентный.

Это качественное описание перехода к хаосу в гидродинамических системах внешне выглядит аналогично описанию простого квадратичного отображения. Можно ли гидродинамические системы проанализировать с помощью простых моделей такого типа, которые мы здесь обсуждали? В некоторых частных случаях, таких как турбулентная конвекция в подогретом соуснике, удвоение периода и других, наблюдались переходы в турбулентный режим. Вообще такого типа теория и анализ, который мы провели, породили новые концепции и подходы. Тем не менее истинное представление природы турбулентных потоков остается предметом многих современных исследований.

% logistic_5

clear all

for r=0.5: 0.001: 1

lambda=4*r;

x(1)=0.5;

for n=2: 1000

x(n)=lambda*x(n-1)*(1-x(n-1));

if n> 150

plot(lambda, x(n)), hold on

end

title('Бифуркационная диаграмма в зависимости от параметра \lambda')

xlabel('\lambda');

ylabel('x');

--------------------------------------------------------------------------------------------

% logistic_5

clear all

for r=0.(73: 0.001: 1

lambda=4*r;

x(1)=0.5;

for n=2: 1000

x(n)=lambda*x(n-1)*(1-x(n-1));

if n> 150

plot(lambda, x(n)), hold on

end

title('Бифуркационная диаграмма в зависимости от параметра \lambda')

xlabel('\lambda');

ylabel('x');

___________________________________________________________

% logistic_5

clear all

for r=0.85: 0.001: 1

lambda=4*r;

x(1)=0.5;

for n=2: 1000

x(n)=lambda*x(n-1)*(1-x(n-1));

if n> 150

plot(lambda, x(n)), hold on

end

title('Бифуркационная диаграмма в зависимости от параметра \lambda')

xlabel('\lambda');

ylabel('x');

______________________________________________________________

% logistic_5

clear all

for r=0.95: 0.0001: 0.9(75

lambda=4*r;

x(1)=0.5;

for n=2: 1000

x(n)=lambda*x(n-1)*(1-x(n-1));

if n> 150

plot(lambda, x(n)), hold on

end

title('Бифуркационная диаграмма в зависимости от параметра \lambda')

xlabel('\lambda');

ylabel('x');

Литература и электронные ресурсы

Андреев В.В. MATLAB в научных и экономических расчётах. Казань, КГЭУ. – 2013, 148 с.

Анищенко В.С, Вадивасова Т.Е. Лекции по нелинейной динамике: учеб. пособие для вузов. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2011. 516 с.

Ануфриев. И. MATLAB 5.3/6.x: Самоучитель. СПб.: БХВ Петербург, 2002.

Ануфриев И. Е., Смирнов А. Б., Смирнова Е. Н. MATLAB 7. СПб.: БХВ Петербург, 2005.

Дьяконов В. П. Internet: Настольная книга пользователя. Изд. 5е, перераб. и доп. М.: СОЛОН Пресс, 2005.

Дьяконов В.П. MATLAB 7.*/R2006/R2007: Самоучитель. М.: ДМК Пресс, 2008. 768 с.

Кетков Ю.Л., Кетков А.Ю., Шульц М.М. MATLAB 7: программирование, численные методы. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 752 с

Кузнецов А.П., Савин А.В., Тюрюкина Л.В. Введение в физику нелинейных отображений Саратов: изд-во «Научная книга», 2010, 134 с.

Максимова А.П., Малова Н.А. Лабораторный практикум по вычислительной математике. Методические указания по выполнению лабораторных работ. Чебоксары: Волжский филиал МАДИ (ГТУ), 2008. 91 с.

Новые информационные технологии: Учебное пособие / Под ред. В. П. Дьяконова. М.: СОЛОН Пресс, 2005.

Numerical Computing with MATLAB (text book) The Math Works, Inc. (www.mathworks.com/moler)

www.femto.com.ua

Higham D.J., Higham N.J. MATLAB Guide. 2nd ed. SIAM, 2005. – 382 p. (177-179)

Hunt, Brian R. Matlab R2007 с нуля^®! Книга + Видеокурс.: [пер. с англ.] / Brian R. Hunt [и др.]. – М.: Лучшие книги, 2008. – 352 с.: ил. + CD-ROM. – (Серия «Книга + Видеокурс»). (сс. 216-220)

Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005, 528 с. (с. 348-353)

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 67