Формулы ДПФ для вещественного сигнала.

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 6Следующая ⇒

Пусть рассматривается сигнал , . По отсчетам можно найти значений коэффициентов , , в том числе значений и значений . Эти коэффициенты определяют среднее значение сигнала и гармоник сигнала, . Поэтому в ДПФ получается только отрезок ряда Фурье, который в размерных переменных имеет вид

(2.10)

или

(2.11)

Это обратное ДПФ. Прямое ДПФ определено формулами для коэффициентов , при переходе от интегралов к суммам

,	(2.12)
,	(2.13)
.	(2.14)

В безразмерном виде основные формулы ДПФ имеют вид:

(2.15)

или

(2.16)

Формула (2.15) позволяет восстанавливать форму сигнала по его известному спектру и поэтому ее называют обратным ДПФ. Если же сигнал задан, т.е. известен массив и нужно определить его спектр, то применяется прямое ДПФ. Оно дает синусные и косинусные коэффициенты в (2.15) путем суммирования всех отсчетов сигнала.

	(2.17)
	(2.18)

Эти формулы применимы для гармоник с номерами , а для нулевой гармоники ( ) и последней в них нужно заменить коэффициент на . Из (2.18) следует, что и произвольные, т.к. Из (2.17) для нулевой и последней гармоник получаем

,	(11.19)
	(11.20)

Из (2.19) следует, что коэффициент определяет средний уровень сигнала на периоде, т.е. амплитуду постоянной составляющей .
Формулы (2.17), (2.18) можно пояснить также следующим образом. Суммирование произведений в них означает проверку ортогональности сигнала и гармонического колебания определенной частоты. Их ортогональность, соответствующая нулевым или малым коэффициентам и означает, что они непохожи, т.е. таких колебаний нет в сигнале.

Сравнение ДПФ и АПФ

АПФ – это аналоговое преобразование Фурье. Оно определяет коэффициенты Фурье для аналогового сигнала, т.е. для непрерывной функции . Его формулы записаны в выше. Здесь укажем лишь на различия формул ДПФ и АПФ для периодического сигнала.

В (2.15), (2.16) суммируется конечное количество гармоник, а в АПФ их количество может быть бесконечным.
В (2.17), (2.18), (2.19), (2.20) при вычислении коэффициентов используются суммы, а в АПФ – интегралы, т.е. рассматривается бесконечно большое количество отсчетов на периоде.
С помощью интегралов в АПФ могут быть легко вычислены спектры лишь нескольких простых сигналов, а основное достоинство ДПФ – это возможность вычисления спектров любых дискретных сигналов.

Периодичность спектра.

Выше указывалось, что ДПФ дает гармоники с номерами от до . Что будет, если вычислить гармонику с номером ?

Пусть , т.е. . Используем (2.17) получим

(2.21)

т.к. .

Получили

(2.22)

Аналогичным образом получим

(2.23)

Эти формулы означают, что спектр ДПФ периодический по , т.к. . Кроме того, относительно имеется симметрия для и антисимметрия для .
Следовательно, если амплитудный спектр известен для гармоник , то далее все повторяется и поэтому вычисления при никогда не проводятся, см.рис.2.3.

Рис.2.3. Периодичность спектра ДПФ.

Отметим, что с помощью ДПФ (при ) правильно вычисляется половинка любой " шапочки" рис.2.3, что используется при вычислении спектров модулированных сигналов, например, для .

Применение ДПФ для интерполяции и аппроксимации

Если задан дискретный периодический сигнал , то прямое ДПФ (2.15) можно использовать для его интерполяции, т.е. для определения значений для любых вещественных , а не только для . При этом по аналогии со сплайном сначала должны быть вычислены все коэффициенты , , а затем выполнена интерполяция. Но этот способ мало эффективен из-за большого количества операций для вычислений функций sin, cos.
Полученная непрерывная функция будет точно проходить через заданные точки, соответствующие целым значениям . Но если при вычислении суммы в (2.15) часть гармоник отбросить, то получим аппроксимацию, т.е. непрерывная функция будет близка к исходным точкам. Это позволяет, например, устранять шумы или помехи в сигналах.

ЭФФЕКТ НАЛОЖЕНИЯ ЧАСТОТ И КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА ДПФ.

Наложение частот в ДПФ.

Этот эффект проявляется в тех случаях, когда количество отсчетов сигнала на периоде выбрано недостаточно большим.
Рассмотрим произвольный аналоговый сигнал . Пусть - его амплитудный спектр, который в общем случае содержит бесконечное количество гармоник. Пусть рассматриваемый сигнал дискретизирован и по его точкам с помощью ДПФ вычислен спектр , содержащий гармоник.
Если значение N выбрано правильно, то спектры и совпадают. Если же недостаточно велико, то спектры и существенно различаются, что показано на рис.2.4.

Рис. 2.4. Спектры аналогового и дискретного сигнала при правильном (б) и неправильном (в) выборе значения

На рис.2.4в даны только гармоники для рабочего диапазона ДПФ , а далее эти гармоники повторяются в соответствии с рис.2.3. Большие погрешности в спектре рис.2.1в обусловлены тем, что в исходном аналоговом сигнале есть гармоники с номерами , а в ДПФ они не рассматриваются из-за периодичности спектра.
Пусть - отсчет исходного аналогового сигнала , т.е. , .
Далее знак суммы по будет означать суммирование по этим значением , т.е. по всем отсчетам. Используем целый индекс для гармоник аналогового сигнала, в общем случае. Тогда аналоговое преобразование Фурье (АПФ) можно записать в соответствии с (2.2) в виде

(2.24)

По отсчетам (2.24) вычисляем прямое ДПФ, т.е. подставляем (2.24) в (2.17) или (2.19). Получим двойную сумму вида

(2.25)

Раскроем скобки и используем известные формулы для произведений, например,

Можно показать, что

При этом учитывается, что . Поэтому для коэффициента (или ) большинство слагаемых в двойной сумме (2.25) по k и p будет равно нулю и останутся только слагаемые с и слагаемые, для которых кратно .
Если аккуратно провести все указанные преобразования, то из (2.25) получим

(2.26)

и аналогичную формулу для . Из (2.26) делаем следующие выводы:
1. В вещественном ДПФ вычисляются гармоники с номерами , хотя в исходном аналоговом сигнале могут присутствовать гармоники с номерами .
2. Если в спектре исходного аналогового сигнала есть гармоники с номерами то при вычислении ДПФ они накладываются на гармоники с номерами и искажают их. Наложение происходит для гармоник с номерами и , если кратно . Это и есть эффект наложения частот (см. рис.2.5). При этом исходный спектр складывается как бы " гармошкой".

Рис.2.5. Эффект наложения частот при ДПФ.

- амплитудный спектр аналогового сигнала; здесь для ДПФ

, т.к.

3. Для устранения эффекта наложения частот нужны фильтры верхних частот для аналогового сигнала или большие значения N, т.к. спектр аналогового сигнала не должен иметь гармоник с номерами . Если такие гармоники есть, то они не должны превышать заданной погрешности вычисления спектра.
Пример. Пусть в аналоговом сигнале имеем , , , , выбрано . Это ошибка, т.к. при ДПФ гармоники 50 и 49 накладываются на нулевую и первую соответственно, что даст погрешность 20%. Нужно выбрать .

2.10. Теорема отсчетов.

Другое название теоремы – теорема Котельникова, которое используется в отечественной литературе. Пусть исходный сигнал имеет спектр, ограниченный частотой , которая соответствует номеру гармоники , где – период сигнала.
При дискретизации должно выполняться условие

(2.27)

т.е. отсчетов должно быть не меньше удвоенного количества гармоник.
Условие (2.27) можно записать в обычной для ДПФ форме

(2.28)

которая использовалась выше.
Формулы (2.27) и (2.28) – это теорема отсчетов в безразмерных переменных. Используя размерные переменные , , (см. раздел 13.3) и частоту дискретизации эти формулы можно записать в более известном виде

(2.29)

или .

Пример телевизионного сигнала

Спектр телевизионного радиосигнала имеет полосу 8 МГц от МГц до МГц. Здесь – несущая частота конкретного канала. Пусть МГц. Получаем МГц. За период выберем длительность одной строки мксек, т.е. основная частота МГц.
При дискретизации высокочастотного сигнала по (12.4)
на периоде, что соответствует частоте дискретизации МГц.
Это нереальная частота дискретизации. Если же радиосигнал демодулировать и перенести спектр в диапазон от 0 до 8 МГц, то получим значение и МГц, реализуемые в современной цифровой обработке.

Контроль точности.

Если спектр сигнала неизвестен, то использовать (2.27) для выбора нельзя. В этом случае выбирается произвольное и определяется гармоник. Затем шаг дискретизации уменьшается в 2 раза и ДПФ вычисляют по точкам, что дает гармоник. Можно также выполнить контроль, взяв точки через одну, т.е. по отсчетам сигнала.
Сравнивая амплитуды гармоник с одинаковыми номерами s в двух расчетах, получим погрешности вычислений по аналогии с (2.26). Если погрешность больше допустимой, то значения должны быть увеличены, т.е. следует использовать значения и , например.

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 Следующая ⇒