Оценка количества операций в БПФ.

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6

В ДПФ было примерно операций, см. раздел 14.6. В БПФ одна гармоника требует одной операции в соответствии с (2.35) или (2.36). На каждом уровне расщепления вычисляется гармоник (равное числу отсчетов) для каждого из сигналов, т.е. всего гармоник. Так как количество уровней расщепления равно , то всего нужно определить гармоник, т.е.выполнить операций, где . Следовательно, БПФ требует операций вместо в ДПФ, т.е. оно в раз эффективнее.
Следует отметить, что БПФ дает существенный выигрыш при вычислениях всех гармоник, но если нужны только некоторые гармоники, то можно использовать ДПФ.
Оценим время выполнения БПФ, положив производительность ПК равной тактовой частоте 1000МГц, т.е. 10⁹опер./сек. Пусть , а количество операций и при этом учитываем, что вычисление комплексной exp(ihks) и комплексное умножение соответствуют нескольким десяткам машинных операций. В таблице 2.2 приведены оценки времени выполнения БПФ, а также количества телевизионных строк и пути ракеты за это время.
Таблица 2.2

	ДПФ	БПФ ПК	Специальный процессор для БПФ
Операции
Время выполнения	10 сек =	10 мсек =	1мсек
Телевизионных строк за
Путь ракеты за	10 км	10	1м

Таблица показывает, что БПФ можно использовать при цифровой обработке сигналов для практических задач.

ВЕЙВЛЕТ АНАЛИЗ

Основные понятия

Вейвлетное преобразование сигналов является обобщением спектрального

анализа, типичный представитель которого – классическое преобразование Фурье. Термин " вейвлет" (wavelet) в переводе с английского означает " маленькая (короткая) волна". Вейвлеты – это обобщенное название семейств математических функций определенной формы, которые локальны во времени и по частоте, и в которых все функции получаются из одной базовой (порождающей) посредством ее сдвигов и растяжений по оси времени. Вейвлет-преобразования рассматривают анализируемые временные функции в терминах колебаний, локализованных по времени и частоте. Как правило, вейвлет-преобразования (WT) подразделяют на дискретное (DWT) и непрерывное (CWT). DWT используется для преобразований и кодирования сигналов, CWT - для анализа сигналов. Вейвлет-преобразования в настоящее время принимаются на вооружение для огромного числа разнообразных применений, нередко заменяя обычное преобразование Фурье. Это наблюдается во многих областях, включая молекулярную динамику, квантовую механику, астрофизику, геофизику, оптику, компьютерную графику и обработку изображений, анализ ДНК, исследования белков, исследования климата, общую обработку сигналов и распознавание речи.

Вейвлетный анализ представляет собой особый тип линейного преобразования

сигналов и физических данных. Базис собственных функций, по которому проводится вейвлетное разложение сигналов, обладает многими специфическими свойствами и возможностями. Вейвлетные функции базиса позволяют сконцентрировать внимание на тех или иных локальных особенностях анализируемых процессов, которые не могут быть выявлены с помощью традиционных преобразований Фурье и Лапласа. К таким процессам в геофизике относятся поля различных физических параметров природных сред. В первую очередь это касается полей температуры, давления, профилей сейсмических трасс и других физических величин. Вейвлеты имеют вид коротких волновых пакетов с нулевым средним значением, локализованных по оси аргументов (независимых переменных), инвариантных к сдвигу и линейных к операции масштабирования (сжатия/растяжения). По локализации во временном и частотном представлении вейвлеты занимают промежуточное положение между гармоническими функциями, локализованными по частоте, и функцией Дирака, локализованной во времени.

Теория вейвлетов не является фундаментальной физической теорией, но она дает удобный и эффективный инструмент для решения многих практических задач. Основная область применения вейвлетных преобразований – анализ и обработка сигналов и функций, нестационарных во времени или неоднородных в пространтве, когда результаты анализа должны содержать не только частотную характеристику сигнала (распределение энергии сигнала по частотным составляющим), но и сведения о локальных координатах, на которых проявляют себя те или иные группы частотных составляющих или на которых происходят быстрые изменения частотных составляющих сигнала. По сравнению с разложением сигналов на ряды Фурье вейвлеты способны с гораздо более высокой точностью представлять локальные особенности сигналов, вплоть до разрывов 1-го рода (скачков). В отличие от преобразований Фурье, вейвлет-преобразование одномерных сигналов обеспечивает двумерную развертку, при этом частота и координата рассматриваются как независимые переменные, что дает возможность анализа сигналов сразу в двух простран-ствах.

Одна из главных и особенно плодотворных идей вейвлетного представления сигналов на различных уровнях декомпозиции (разложения) заключается в разделении функций приближения к сигналу на две группы: аппроксимирующую – грубую, с достаточно медленной временной динамикой изменений, и детализирующую - с локальной и быстрой динамикой изменений на фоне плавной динамики, с последующим их дроблением и детализацией на других уровнях декомпозиции сигналов. Это возможно как во временной, так и в частотной областях представления сигналов вейвлетами.

Истоки вейвлет-преобразования

История спектрального анализа восходит к И. Бернулли, Эйлеру и Фурье, ко-

торый впервые построил теорию разложения функций в тригонометрические ряды. Однако это разложение долгое время применялось как математический прием и не связывалось с какими-либо физическими понятиями. Спектральные представления применялись и развивались сравнительно узким кругом физиков–теоретиков. Однако, начиная с 20-х годов прошлого века, в связи с бурным развитием радиотехники и акустики, спектральные разложения приобрели физический смысл и практическое применение. Основным средством анализа реальных физических процессов стал гармонический анализ, а математической основой анализа - преобразование Фурье. Преобразование Фурье разлагает произвольный процесс на элементарные гармонические колебания с различными частотами, а все необходимые свойства и формулы выражаются с помощью одной базисной функции exp(jω t) или двух действительных функций sin(ω t) и cos(ω t). Гармонические колебания имеют широкое распространение в природе, и поэтому смысл преобразования Фурье интуитивно понятен независимо от математической аналитики. Преобразование Фурье обладает рядом замечательных свойств. Областью определения преобразования является пространство L² интегрируемых с квадратом функций, и многие физические процессы в природе можно считать функциями, принадлежащими этому пространству. Для применения преобразования разработаны эффективные вычислительные процедуры типа быстрого преобразования Фурье (БПФ). Эти процедуры входят в состав всех пакетов прикладных математических программ и реализованы аппаратно в процессорах обработки сигналов. Было также установлено, что функции можно разложить не только по синусам и косинусам, но и по другим ортогональным базисным системам, например, полиномам Лежандра и Чебышева, функциям Лагерра и Эрмита. Однако практическое применение они получили только в последние десятилетия ХХ века благодаря развитию вычислительной техники и методов синтеза цифровых линейных систем обработки данных. Непосредственно для целей спектрального анализа подобные ортогональные функции не нашли широкого применения из-за трудностей интерпретации получаемых результатов. По тем же причинам не получили развития в спектральном анализе функции типа " прямоугольной волны" Уолша, Радемахера, и пр. Теоретические исследования базисных систем привели к созданию теории обобщенного спектрального анализа, которая позволила оценить пределы практического применения спектрального анализа Фурье, создала методы и критерии синтеза

ортогональных базисных систем. Иллюстрацией этому является активно развивающаяся с начала 80-х годов прошлого столетия теория базисных функций типа вейвлет. Благодаря прозрачности физической интерпретации результатов анализа, сходной с " частотным" подходом в преобразовании Фурье, ортогональный базис вейвлетов стал популярным и эффективным средством анализа сигналов и изображений в акустике, сейсмике, медицине и других областях науки и техники. Вейвлет-анализ является разновидностью спектрального анализа, в котором роль простых колебаний играют функции особого рода, называемые вейвлетами. Базисная функция вейвлет – это некоторое " короткое" колебание, но не только. Понятие частоты спектрального анализа здесь заменено масштабом, и, чтобы перекрыть " короткими волнами" всю временную ось, введен сдвиг функций во времени. Базис

вейвлетов – это функции типа , где b - сдвиг, а – масштаб. Функция должна иметь нулевую площадь и, еще лучше, равными нулю первый, второй и прочие моменты. Фурье-преобразование таких функций равно нулю при ω =0 и имеет вид полосового фильтра. При различных значениях масштабного параметра 'a' это будет набор полосовых фильтров. Семейства вейвлетов во временной или частотной области используются для представления сигналов и функций в виде суперпозиций

вейвлетов на разных масштабных уровнях декомпозиции (разложения) сигналов.

Рисунок 3.1 – Вейвлет Хаара

Первое упоминание о подобных функциях (которые вейвлетами не называ-

лись) появилось в работах Хаара (Haar) еще в начале прошлого века. Вейвлет Хаара - это короткое прямоугольное колебание на интервале [0, 1], показанное на рис. 3.1.

Однако он интересен больше теоретически, так как не является непрерывно дифференцируемой функцией и имеет длинные " хвосты" в частотной области. В 30-е годы физик Paul Levy, исследуя броуновское движение, обнаружил, что базис Хаара лучше, чем базис Фурье, подходит для изучения деталей броуновского движения. В настоящее время специальные пакеты расширений по вейвлетам присутствуют в основных системах компьютерной математики (Matlab, Mathematica, Mathcad, и др.), а вейвлет-преобразования и вейвлетный анализ используются во многих областях науки и техники для самых различных задач. Многие исследователи называют вейвлет-анализ " математическим микроскопом" для точного изучения внутреннего состава и структур неоднородных сигналов и функций. Не следует рассматривать вейвлет-методы обработки и анализа сигналов в качестве новой универсальной технологии решения любых задач. Возможности вейвлетов еще не раскрыты полностью, однако это не означает, что их развитие приведет к полной замене традиционных средств обработки и анализа информации, хорошо отработанных и проверенных временем. Вейвлеты позволяют расширить

инструментальную базу информационных технологий обработки данных.

Преобразование Фурье

В основе спектрального анализа сигналов лежит интегральное преобразование

и ряды Фурье. Напомним некоторые математические определения.

В пространстве функций, заданных на конечном интервале (0, T), норма, как

числовая характеристика произвольной функции s(t), вычисляется как корень квадратный из скалярного произведения функции. Для комплексных функций, квадрат нормы (энергия сигнала) соответствует выражению:

(3.1)

где s*(t) – функция, комплексно сопряженная с s(t).

Если норма функции имеет конечное значение (интеграл сходится), то гово-

рят, что функция принадлежит пространству функций L²

[R], R=[0, T], интегрируемых с квадратом (пространство Гильберта), и имеет конечную энергию. В пространстве Гильберта на основе совокупности ортогональных функций с нулевым скалярным произведением

может быть создана система ортонормированных " осей" (базис пространства), при этом любой сигнал, принадлежащий этому пространству, может быть представлен в виде весовой суммы проекций сигнала на эти " оси" – базисных векторов. Значения проекций определяются скалярными произведениями сигнала с соответствующими функциями базисных " осей". Базис пространства может быть образован любой ортогональной системой функций. Наибольшее применение в спектральном анализе получила система комплексных экспоненциальных функций. Проекции сигнала на данный базис определяются выражением:

(3.2)

где – частотный аргумент векторов. При известных выражениях базисных функций сигнал s(t) однозначно определяется совокупностью коэффициентов Sn и может быть абсолютно точно восстановлен (реконструирован) по этим коэффициентам:

(3.3)

Уравнения (3.2) и (3.3) называют прямым и обратным преобразованием

Фурье сигнала s(t). Любая функция гильбертова пространства может быть представлена в виде комплексного ряда Фурье (3.3), который называют спектром сигнала или его Фурье-образом.

Ряд Фурье ограничивается определенным количеством членов N, что означает

аппроксимацию с определенной погрешностью бесконечномерного сигнала N – мерной системой базисных функций спектра сигнала. Ряд Фурье равномерно сходится к s(t):

(3.4)

Таким образом, ряд Фурье - это разложение сигнала s(t) по базису простран-

ства L² (0, T) ортонормированных гармонических функций exp(jn  t) с изменением частоты, кратным частоте первой гармоники  1= . Отсюда следует, что ортонормированный базис пространства L² (0, T) построен из одной функции с помощью масштабного преобразования независимой переменной.

Для коэффициентов ряда Фурье справедливо равенство Парсеваля сохранения

энергии сигнала в различных представлениях:

(3.5)

Разложение в ряд Фурье произвольной функции y(t) корректно, если функция

y(t) принадлежит этому же пространству L2(0, T), т.е. квадратично интегрируема с конечной энергией:

(3.6)

при этом она может быть периодически расширена и определена на всей временной оси пространства так, что

при условии сохранения конечности энергии в пространстве

С позиций анализа произвольных сигналов и функций в частотной области и точного восстановления после преобразований можно отметить ряд недостатков разложения сигналов в ряды Фурье, которые привели к появлению оконного преобразования Фурье и стимулировали развитие вейвлетного преобразования. Основные из них:

- Ограниченная информативность анализа нестационарных сигналов и практи-

чески полное отсутствие возможностей анализа их особенностей (сингулярно-

стей), т.к. в частотной области происходит «размазывание» особенностей сиг-

налов (разрывов, ступенек, пиков и т.п.) по всему частотному диапазону спек-

тра.

- Гармонические базисные функции разложения не способны отображать пере-

пады сигналов с бесконечной крутизной типа прямоугольных импульсов, т.к.

для этого требуется бесконечно большое число членов ряда. При ограничении

числа членов ряда Фурье в окрестностях скачков и разрывов при восстановле-

нии сигнала возникают осцилляции (явление Гиббса).

- Преобразование Фурье отображает глобальные сведения о частотах исследуе-

мого сигнала и не дает представления о локальных свойствах сигнала при

быстрых временных изменениях его спектрального состава. Так, например,

преобразование Фурье не различает стационарный сигнал с суммой двух си-

нусоид от нестационарного сигнала с двумя последовательно следующими

синусоидами с теми же частотами, т.к. спектральные коэффициенты (3.2)

вычисляются интегрированием по всему интервалу задания сигнала. Преобра-

зование Фурье не имеет возможности анализировать частотные характеристи-

ки сигнала в произвольные моменты времени.

Оконное преобразование Фурье

Частичным выходом из этой ситуации является оконное преобразование

Фурье с движущейся по сигналу оконной функцией, имеющей компактный носитель. Временной интервал сигнала разделяется на подинтервалы и преобразование выполняется последовательно для каждого подинтервала в отдельности. Тем самым осуществляется переход к частотно-временному (частотно-координатному) представлению сигналов, при этом в пределах каждого подинтервала сигнал " считается" стационарным. Результатом оконного преобразования является семейство спектров, которым отображается изменение спектра сигнала по интервалам сдвига окна преобразования. Это позволяет выделять на координатной оси и анализировать особенности нестационарных сигналов. Размер носителя оконной функции w(t) обычно устанавливается соизмеримым с интервалом стационарности сигнала. По существу, таким преобразованием один нелокализованный базис разбивается на определенное количество базисов, локализованных в пределах функции w(t), что позволяет представлять результат преобразования в виде функции двух переменных - частоты и временного положения окна.

Оконное преобразование выполняется в соответствии с выражением:

(3.7)

Функция w*(t-b) представляет собой функцию окна сдвига преобразования по

координате t, где параметром b задаются фиксированные значения сдвига. При сдвиге окон с равномерным шагом значения bk принимаются равными . В качестве окна преобразования может использоваться как простейшее прямоугольное окно, так и специальные весовые окна (Бартлетта, Гаусса, и пр.), обеспечивающие малые искажения спектра при вырезке оконных отрезков сигналов (нейтрализация явления Гиббса).

Пример оконного преобразования для нестационарного сигнала на большом

уровне шума приведен на рис. 3.2. По спектру сигнала можно судить о наличии в

его составе гармонических колебаний на трех частотах, определять соотношение между амплитудами этих колебаний и конкретизировать локальность колебаний по интервалу сигнала.

Координатная разрешающая способность оконного преобразования определяется шириной оконной функции и обратно пропорциональна частотной разрешающей способности. При ширине оконной функции, равной b, частотная разрешающая

способность определяется значением . При требуемой величине частотного разрешения соответственно ширина оконной функции должна быть равна . Для оконного преобразования Фурье эти ограничения являются принципиальными. Так, для рис. 3.2 при размере массива данных N = 300 и ширине оконной функции = 100 частотная разрешающая способность результатов преобразования уменьшается в N/ = 3 раза по сравнению с исходными данными, и графики по координате n для наглядного сопоставления с графиком по-

строены с шагом по частоте , т.е. по точкам n = 0, 3, 6, …, N.

Рисунок 3.2 – Пример оконного преобразования

Частотно-временное оконное преобразование применяется для анализа не-

стационарных сигналов, если их частотный состав изменяется во времени. Функция оконного преобразования (3.7) может быть переведена в двухмерный вариант с независимыми переменными и по времени, и по частоте:

(3.8)

На рис. 3.3 приведен пример вычисления и представления (модуль правой

части главного диапазона спектра) частотно-временной спектрограммы при дискретном задании входного сигнала sq(n). Сигнал представляет собой сумму трех последовательных радиоимпульсов с разными частотами без пауз, с отношением сигнал/шум, близким к 1. Оконная функция wi задана с эффективной шириной окна b~=34 и полным размером М =50. Установленный для результатов шаг по частоте 0.1 несколько выше фактической разрешающей способности Для обеспечения работы оконной функции по всему интервалу сигнала задавались начальные и конечные условия вычислений (продление обоих концов сигнала нулевыми значениями на M точек).

Рисунок 3.3 – Пример представления частотно-временной спектрограммы

Как видно по результатам вычислений, оконное преобразование позволяет

выделить информативные особенности сигнала и по времени, и по частоте. Разрешающая способность локализации определяется принципом неопределенности Гейзенберга, который гласит, что невозможно получить произвольно точное частотно-временное представление сигнала. Чем уже окно, тем лучше временное разрешение, но хуже частотное, и наоборот.

На рис. 3.4 приведен пример частотно-временного оконного преобразования

сигнала, состоящего из 4-х непересекающихся интервалов, в каждом из которых сумма двух гармоник разной частоты.

Рисунок 3.4 – Пример частотно-временного оконного преобразования сигнала

В качестве окна применена гауссова функция разной ширины. Узкое окно обеспечивает лучшее временное разрешение и четкую фиксацию границ интервалов, но широкие пики частот в пределах интервалов. Широкое окно напротив – четко отмечает частоты интервалов, но с перекрытием границ временных интервалов. При решении практических задач приходится выбирать окно для анализа всего сигнала, тогда как разные его участки могут требовать применения разных окон. Если сигнал состоит из далеко отстоящих друг от друга частотных компонент, то можно пожертвовать спектральным разрешением в пользу временного, и наоборот.

Принцип вейвлет-преобразования

Гармонические базисные функции преобразования Фурье предельно локали-

зованы в частотной области (до импульсных функций Дирака при ) и не локализованы во временной (определены во всем временном интервале от ). Их противоположностью являются импульсные базисные функции типа импульсов Кронекера, которые предельно локализованы во временной области и " размыты" по всему частотному диапазону. Вейвлеты по локализации в этих двух представлениях можно рассматривать как функции, занимающие промежуточное положение между гармоническими и импульсными функциями. Они должны быть локализованными как во временной, так и в частотной области представления. Однако при проектировании таких функций мы неминуемо столкнемся с принципом неопределенности, связывающим эффективные значения длительности функций и ширины их спектра. Чем точнее мы будем осуществлять локализацию временного положения функции, тем шире будет становиться ее спектр, и наоборот, что наглядно видно на рис. 3.5.

Рисунок 16.5 – Спектры функции

Отличительной особенностью вейвлет-анализа является то, что в нем можно использовать семейства функций, реализующих различные варианты соотношения неопределенности. Соответственно, исследователь имеет возможность гибкого вы-бора между ними и применения тех вейвлетных функций, которые наиболее эффективно решают поставленные задачи.

Вейвлетный базис пространства L² , целесообразно конструировать из финитных функций, принадлежащих этому же пространству, которые должны стремиться к нулю на бесконечности. Чем быстрее эти функции стремятся к нулю, тем удобнее использовать их в качестве базиса преобразования при анализе ре-

альных сигналов. Допустим, что такой функцией является psi - функция , равная нулю за пределами некоторого конечного интервала и имеющая нулевое среднее значение по интервалу задания. Последнее необходимо для задания локализации спектра вейвлета в частотной области. На основе этой функции сконструируем базис в пространстве L² (R) с помощью масштабных преобразований независимой переменной.

Функция изменения частотной независимой переменной в спектральном пред-

ставлении сигналов отображается во временном представлении растяжени-

ем/сжатием сигнала. Для вейвлетного базиса это можно выполнить функцией типа

, т.е. путем линейной операции растяжения/сжатия, обеспечивающей самоподобие функции на разных масштабах представления. Однако локальность функции на временной оси требует дополнительной независимой переменной последовательных сдвигов функции вдоль оси, типа , для перекрытия всей числовой оси пространства . C учетом обеих условий одновременно структура базисной функции может быть принята следующей:

(3.10)

Для упрощения дальнейших выкладок значения переменных m и k примем це-

лочисленными. При приведении функции (3.10) к единичной норме, получаем:

(3.11)

Если для семейства функций выполняется условие ортогональности:

(3.12)

то семейство можно использовать в качестве ортонормированного базиса пространства L² (R). Произвольную функцию этого пространства можно разложить в ряд по базису :

(3.13)

где коэффициенты Smk – проекции сигнала на новый ортогональный базис

функций, как и в преобразовании Фурье, определяются скалярным произведением

(3.14)

при этом ряд равномерно сходиться:

При выполнении этих условий базисная функция преобразования называется ортогональным вейвлетом.

Простейшим примером ортогональной системы функций такого типа являются функции Хаара. Базисная функция Хаара определяется соотношением

( 16.15)

Легко проверить, что при а = 2, m = 0, 1, 2, ..., k = 0, 1, 2, … две любые функции, полученные с помощью этого базисного вейвлета путем масштабных преобразований и переносов, имеют единичную норму и ортогональны. На рис. 3.6 приведены примеры функций для первых трех значений m и b при различных их комбинациях, где ортогональность функций видна наглядно.

Рисунок 3.6 – Функции Хаара

Вейвлетный спектр

Вейвлетный спектр, в отличие от преобразования Фурье, является двумерным

и определяет двумерную поверхность в пространстве переменных m и k. При гра-

фическом представлении параметр растяжения/сжатия спектра m откладывается по оси абсцисс, параметр локализации k по оси ординат – оси независимой переменной сигнала. Математику процесса вейвлетного разложения сигнала в упрощенной форме рассмотрим на примере разложения сигнала s(t) вейвлетом Хаара с тремя последовательными по масштабу m вейвлетными функциями с параметром а=2, при этом сам сигнал s(t) образуем суммированием этих же вейвлетных функций с одинаковой амплитудой с разным сдвигом от нуля, как это показано на рис. 3.7.

Рисунок 3.7 – Скалярные произведения сигнала с вейвлетами

Для начального значения масштабного коэффициента сжатия m определяется

функция вейвлета ( на рис. 3.7), и вычисляется скалярное произведение сигнала с вейвлетом с аргументом по сдвигу k. Для наглядности результаты вычисления скалярных произведений на рис. 3.7 построены по центрам вейвлетных функций (т.е. по аргументу k от нуля со сдвигом на половину длины вейвлетной функции). Как и следовало ожидать, максимальные значения скалярного произведения отмечаются там, где локализована эта же вейвлетная функция. После построения первой масштабной строки разложения, меняется масштаб вейвлетной функции ( на рис. 3.7) и выполняется вычисление второй масштабной строки спектра, и т.д.

Как видно на рис. 3.7, чем точнее локальная особенность сигнала совпадает с

соответствующей функцией вейвлета, тем эффективнее выделение этой особенности на соответствующей масштабной строке вейвлетного спектра. Можно видеть, что для сильно сжатого вейвлета Хаара характерной хорошо выделяемой локальной особенностью является скачок сигнала, причем выделяется не только скачок функции, но и направление скачка.

На рис. 3.8 приведен пример графического отображения вейвлетной поверхности реального физического процесса. Вид поверхности определяет изменения во времени спектральных компонент различного масштаба и называется частотно-временным спектром. Поверхность изображается на рисунках, как правило, в виде изолиний или условными цветами. Для расширения диапазона масштабов может применяться логарифмическая шкала.

Рисунок 3.8 – Пример вейвлетного преобразования

Рисунок 3.9 – Вейвлет-преобразование чистого гармонического сигнала

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 56