Двухпроводная модель эквивалентной ЛП
Первичные параметры

Координата в линии передачи
В качестве модели эквивалентной ЛП рассмотрим двухпроводную длинную линию (рис. 12.1.1), к которой подключен генератор монохроматического излучения круговой частоты
, с нагрузкой
. Координату
отсчитываем от нагрузки в сторону генератора. Пусть
– комплексные амплитуды напряжения и тока в линии,
, Ом/м – погонное сопротивление,
, 1/Ом
м – погонная проводимость,
, Ф/м – погонная емкость,
, Гн/м – погонная индуктивность линии. Далее рассматриваем регулярную эквивалентную линию, в которой погонные параметры не зависят от
. Электрическая эквивалентная схема дифференциально малого участка
линии показана на рис. 14.2.1 (для удобства схема симметризована), стрелками показаны выбранные направления напряжения и тока.
Телеграфные уравнения
Сопротивление, проводимость, емкость и индуктивность участка
линии определяются равенствами
,
| (14.2.1)
|
отсюда приращения напряжения и тока на этом участке:
,
| (14.2.2)
|
где
– комплексное погонное сопротивление линии;
– комплексная погонная проводимость линии.
Поделив равенства (14.2.2) на
, получим телеграфные уравнения:
,
| (14.2.3)
|
определяющие связь между напряжением и током в любом сечении эквивалентной ЛП.
Уравнения Гельмгольца (волнового уравнения), коэффициент распространения
Исключим из первого уравнения ток, а из второго – напряжение. Для этого продифференцируем их по
и учтем, что в силу регулярности линии
,
| (14.2.4)
|
тогда
,
| (14.2.5)
|
и подставляя в эти равенства соотношения (14.2.3), получаем волновые уравнения (уравнения Гельмгольца):
,
| (14.2.6)
|
где
,
| (14.2.7)
|
важный частотно-зависимый параметр эквивалентной линии – коэффициент распространения волны в линии.
Решение любого из уравнений (14.2.6) вместе с граничными условиями на концах линии полностью описывает распространение волн напряжения и тока в линии, причем достаточно решить одно из уравнений, например, для напряжения, а вторую функцию координаты
можно получить из (14.2.3).
Падающие и отраженные волны, полное напряжение
Хотя достаточно решить одно из уравнений (14.2.6), для удобства дальнейшей интерпретации выпишем решения обоих уравнений. Общее решение однородных линейных уравнений второго порядка типа (14.2.6) хорошо известно и имеет вид:
,
| (14.3.1)
|
где
– не зависящие друг от друга произвольные постоянные размерности напряжения;
– не зависящие друг от друга произвольные постоянные размерности тока.
Решения волновых уравнений в виде (14.3.1) имеют весьма характерный вид: первое слагаемое в каждом решении есть падающая волна напряжения (тока), распространяющаяся от генератора к нагрузке, второе слагаемое – отраженная волна, распространяющаяся от нагрузки к генератору. Положив
, выясняем смысл коэффициентов:
– комплексные амплитуды падающих волн напряжения и тока соответственно на (в сечении) нагрузке,
– комплексные амплитуды отраженных волн напряжения и тока соответственно на (в сечении) нагрузке. Полное напряжение (ток) на нагрузке, как следует из (14.3.1), равно сумме падающего и отраженного напряжений (токов):
,
| (14.3.2)
|
а равенства (14.3.1) показывают, что то же самое справедливо для любого сечения
линии: полное напряжение
(ток
) в любом сечении равно сумме напряжений (токов) падающей и отраженной волн напряжения (тока). Мы пришли к важному выводу: характерной особенностью эквивалентных ЛП как «длинных линий» является возможность существования в них двух волн, распространяющихся навстречу друг другу: падающей, образованной подключенным к линии генератором, и отраженной, обязанной отражению падающей волны от нагрузки; все разнообразие процессов, происходящих в ЛП, определяется амплитудно-фазовыми соотношениями между падающей и отраженной волнами.
Поскольку нагрузка суть пассивный элемент, амплитуды отраженных волн напряжения и тока не могут превышать амплитуд падающих волн:
.
| (14.3.3)
|
Чтобы не возникало путаницы, заметим, что направление распространения волн определяется знаком в показателях экспонент в (14.3.1): при выборе направления оси
как на рис. 12.1.1 знак «плюс» – волна распространяется в отрицательном направлении оси
(падающая); «минус» – в положительном направлении оси
(отраженная). В частности, падающие волны напряжения и тока:
,
| (14.3.4)
|
а отраженные волны:
.
| (14.3.5)
|
Вторичные параметры ЭЛП (коэффициент затухания, коэффициент фазы, погонное затухание, линия без потерь, длина волны в линии, полная фаза, фазовая скорость, частотная дисперсия, волновое сопротивление)
Локальные параметры эквивалентной ЛП можно считать первичными параметрами линии. Рассмотрим теперь вторичные параметры эквивалентной ЛП, описывающие свойства распространяющихся в линии волн в целом и выражающиеся через первичные параметры. Начнем с введенного в (14.2.7) коэффициента распространения
. Поскольку в общем случае
суть комплексная величина, ее можно записать в виде:
.
| (14.4.1)
|
Действительная часть коэффициента распространения
, 1/м, называется коэффициентом затухания (ослабления) волны в линии, мнимая часть
, 1/м, – коэффициентом фазы волны. Смысл этих частотно-зависимых параметров будет понятен, если записать, например, комплексную амплитуду падающей волны напряжения по (14.3.4) в виде:

,
| (14.4.2)
|
т. е.
это логарифмический декремент затухания волны за счет потерь в металле и диэлектрике и, возможно, за счет потерь на излучение в сторону;
это сдвиг фазы на единицу длины линии. Если
– два сечения линии, отстоящие друг от друга на 1 м, то
.
Обычно вводят погонное затухание (ослабление):
, дБ/м,
связанное с
соотношением
,
Записав
и перейдя от комплексной амплитуды к мгновенному значению, имеем:
,
| (14.4.3)
|
откуда смысл
виден еще более ясно.
Из (14.4.1) легко получить выражения
и
через первичные параметры линии [14.5]:
;
| (14.4.4)
|
.
| (14.4.5)
|
| | |
В важном идеализированном частном случае отсутствия потерь (
) из этих равенств следует:
.
| (14.4.6)
|
Выражение (14.4.3) дает распределение мгновенного напряжения во времени и вдоль линии. Зафиксируем время, например,
, и найдем распределение вдоль линии в случае отсутствия потерь (
):
.
| (14.4.7)
|
Пространственный период этой косинусоиды
| (14.4.8)
|
называется длиной волны в линии.
Аргумент косинусоиды в (14.4.3) называется полной фазой волны в линии:
.
| (14.4.9)
|
Отсюда уравнение точек равных полных фаз
:
.
| (14.4.10)
|
Выражая отсюда
и дифференцируя по времени, получаем фазовую скорость волны частотой
:
.
| (14.4.11)
|
В общем случае
зависит от
нелинейно (см. (14.4.5)) и
зависит от
, т. е. имеет место частотная дисперсия. Однако, в идеализированном случае отсутствия потерь, как следует из (14.4.6), (14.4.11),
.
| (14.4.12)
|
|
Из электродинамики известно [14.1, 14.5], что
равно скорости света в той диэлектрической среде без потерь с относительными проницаемостями
, которая заполняет линию передачи. В свою очередь, эта скорость равна
. Таким образом, в линии без потерь скорость распространения волны
такая же, как скорость распространения в неограниченном диэлектрике с теми же
:
,
| (14.4.13)
|
а ограничивающие идеальные токонесущие поверхности не влияют на скорость распространения в линии [14.5]. В частности, в воздушной линии ( ), как и следовало ожидать, .
|
|
Из (14.3.4) следует, что комплексные амплитуды напряжения и тока в падающей волне отличаются лишь коэффициентами
. Найдем связь между ними, подставив оба равенства (14.3.4) в одно из телеграфных уравнений (14.2.3), например, в первое, и учитывая (14.2.7), тогда получим
, Ом.
| (14.4.14)
|
Поскольку
есть отношение комплексных амплитуд напряжения и тока в падающей волне, оно называется волновым сопротивлением эквивалентной ЛП. Это один из важнейших вторичных параметров ЛП. Как видно из (14.4.14), в общем случае волновое сопротивление – комплекснозначная функция
. Однако, в идеализированном случае отсутствия потерь (
)
действительно, не зависит от
и равно
.
| (14.4.15)
|
Аналогичным образом находим:
.
| (14.4.16)
|
Различие в знаках между (14.4.14) и (14.4.16) связано с тем, ток отраженной волны направлен противоположно току падающей волны.
Из (14.4.14) легко выразить модуль
и аргумент
волнового сопротивления:
,
| (14.4.17)
|
| (14.4.18)
|
Как и следовало ожидать, в идеализированном случае отсутствия потерь (
) (14.4.17) переходит в (14.4.15), а
, т. е. напряжение и ток синфазны.
Популярное: