Частные решения волнового уравнения

Решение граничной задачи

Вернемся к общим решениям (14.3.1). Для нахождения частных решений необходимо задавать граничные условия и определять коэффициенты . Как отмечено выше, решения для напряжения и тока в (14.3.1) не являются независимыми; действительно, подставив в (14.4.14) и (14.4.16) , получаем

,

(14.5.1)

и решения (14.3.1) можно переписать в виде

.

(14.5.2)

Таким образом, для получения частного решения необходимо определить только два коэффициента . Удобно и физично в качестве граничных условий взять напряжение и ток на нагрузке ( ):

.

(14.5.3)

Тогда из (14.5.2) при найдем:

.

(14.5.4)

Подставив (14.5.4) в (14.5.2) и учитывая равенства

,

(14.5.5)

получим:

.

(14.5.6)

Если в (14.3.4) и (14.3.5) положить , то окажется, что комплексные коэффициенты суть комплексные амплитуды падающих и отраженных волн напряжения и тока на нагрузке:

.

(14.5.7)

Если эти комплексные амплитуды считать заданными, то равенства (14.3.1) также можно считать частными решениями волновых уравнений (14.2.6). Разница между частными решениями (14.3.1) и частными решениями (14.5.6) состоит в том, что первые выражены через комплексные амплитуды падающих и отраженных волн на нагрузке, а вторые – через комплексные амплитуды полных напряжения и тока на нагрузке.

В идеализированном случае отсутствия потерь ( ) и с учетом равенств

(14.5.8)

решения (14.5.6) можно записать в виде

.

(14.5.9)

Это же выражение можно получить и из (14.3.1), используя (14.3.2) и (14.5.1). С другой стороны, учтя (14.5.7), можно в случае отсутствия потерь записать (14.3.1) в виде:

.

(14.5.10)

Коэффициент отражения и входное сопротивление

Обозначим отношение комплексных амплитуд напряжений падающей и отраженной волн на нагрузке:

.

(14.6.1)

Комплексная величина называется коэффициентом отражения по напряжению, является важным параметром системы «ЛП+нагрузка» и, как показано ниже, зависит от соотношения нагрузки и волнового сопротивления ЛП .Аналогичное отношение токов, которое можно назвать коэффициентом отражения по току, в силу (14.5.1), равно:

,

(14.6.2)

и на практике не применяется, поэтому слова «по напряжению» в названии можно отбросить.

Теперь решения (14.5.10) можно переписать в виде:

.

(14.6.3)

Другим важным параметром системы «ЛП+нагрузка» является входное сопротивление нагруженной линии

,

(14.6.4)

связанное с трансформирующими свойствами отрезка линии.

ЛП с малыми потерями

Как показано выше, такие вторичные параметры ЛП, как коэффициент ослабления , коэффициент фазы , фазовая скорость , длина волны в линии , волновое сопротивление , и такие функции, как , и др., выражаются через первичные параметры , , , . В общем случае произвольных первичных параметров эти выражения сложны и громоздки (см. (14.4.4), (14.4.5)), что мешает практическому использованию теории эквивалентных ЛП. С другой стороны, в предположении отсутствия потерь (и в металле, и в диэлектрике) эти соотношения резко упрощаются, но само это предположение является теоретической идеализацией, и использование получаемых простых соотношений создает ошибки, исследование величин которых представляет собой непростую задачу.

Оказывается, однако, что современные ЛП часто, если не сказать всегда, принадлежат к классу линий с малыми потерями, для которых приближенные соотношения вторичных и первичных параметров компромиссны по сложности, а оценки ошибок очевидны. Примем в качестве критерия малости потерь линии условия [14.6]:

.

(14.7.1)

Представив постоянную распространения в виде:

,

(14.7.2)

разложим ее по степеням отношений , удерживая члены второго порядка этих отношений, тогда получим:

;	(14.7.3)
,	(14.7.4)

где – волновое сопротивление линии без потерь (см. (14.4.15)),

– коэффициент фазы линии без потерь (см. (14.4.6)).

Относительная ошибка при использовании этих формул определяется модулем первого отброшенного члена в разложении.

В современных ЛП потери в диэлектрике пренебрежимо малы по сравнению с потерями в металле, это означает, что члены с в обеих формулах пренебрежимы, и формулы упрощаются:

;	(14.7.5)
.	(14.7.6)

Для конкретной ЛП, т. е. при заданных первичных параметрах, условия (14.7.1) выполняются тем лучше, чем больше частота; начиная с некоторой частоты и для более высоких частот становится приемлемым нулевое приближение в используемом разложении ( ), т. е. предположение об отсутствии потерь.

Связь коэффициента отражения с нагрузкой

Пусть эквивалентная ЛП нагружена на, в общем случае – комплексное, сопротивление (рис. 12.1.1). Комбинируя (14.3.2), (14.4.14), (14.4.16), (14.5.1) и очевидное равенство

,

(14.8.1)

получим [14.5]:

.

(14.8.2)

Поделив числитель и знаменатель на и учтя определение (14.6.1) коэффициента отражения , найдем:

,

(14.8.3)

откуда

,

(14.8.4)

т. е. коэффициент отражения полностью определяется (комплексным) отношением сопротивления нагрузки и волнового сопротивления.

В большинстве случаев при конструировании радиотехнических устройств СВЧ –диапазона требуется добиваться, насколько возможно, согласования ЛП и нагрузки. Так, «…со знанием параметров рассеяния транзистора конструирование усилительных, осцилляторных и смесительных цепей сводится к задаче импедансного согласования» [14.3]. В измерительных приборах СВЧ-диапазона проблема согласования стоит особенно остро, т. к. именно рассогласованиям обязан ряд ошибок измерения. Из формулы (14.8.4) видно, что единственный способ избежать отражения от нагрузки, т. е. добиться равенства , – это выбрать сопротивление нагрузки равным волновому сопротивлению линии: . Если волновое сопротивление ЛП чисто активно: , то согласующее сопротивление должно быть также активным и равным волновому: .

Подставляя в (14.8.4) выражения ; , получим:

.

(14.8.5)

На практике ЛП рассчитываются и изготавливаются так, чтобы волновое сопротивление было чисто активным, т. е. =0. Учитывая это, перепишем предыдущее выражение:

.

(14.8.6)

Отсюда найдем модуль коэффициента отражения:

.

(14.8.7)

Поскольку и (вследствие пассивности нагрузки и ЛП), знаменатель подкоренного выражения не больше числителя, т. е.

.

(14.8.8)

Это условие эквивалентно (14.3.3) и означает, что амплитуда отраженной волны не превосходит амплитуду падающей волны.

Рекомендуемые страницы: